线面角、面面角优秀课件

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P
EB
O
C
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线段MN长6，M到平面β的距离是1，N到平面 β的距离是4，求MN与平面β所成角的余弦值。
N ∠MOM'就是MN
与平面β所成的角 N
M O M' β
移出图 N'
M6
4
1
O
N'
M'
解：当M，N在平面同则时有
OM 1
sin MOM '
OM 6 4
OM=2
cos MOM '
1 2 3
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角
内一点，且P到两个半
β
平面的距离都等于P到
B
p
棱的距离的一半，则这
个二面角的度数是多少？
O
α A
60º
ι
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3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影
是 底 面 Rt△ABC 斜 边 AC 的 中 点 O ， 若 PB=AB=1 ， BC= ，求二面角P-2AB-C的正切值。
D1
C1
分析：找出AD1在平 面A1D1CB内的射影。
A1
B1
O
1 OA 2 AD1
D
C
AD1O 300.
A
B
求直线（或斜线）与平面所成的角关键
是确定斜线在平面的射影
其步骤是：一找，二证，三求。
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半平面及二面角的定义
1、半平面：
平面内的一条直线，把这个平面分成 两部分，每一部分都叫做半平面。
2、二面角：
l
B
A
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角与二面角的比较
图形
角
顶点 O
A 边
边B
定义
从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
构成
边—点—边 （顶点）
表示法
∠AOB
二面角
A 棱a 面
B面
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
面—直线—面 （棱）
二面wk.baidu.com—l— 或二面角—AB—
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以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
从一条直线引出的两个半平面所组成的图
形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，
这两个半平面叫做二面角的面。
半
半
l 平
平
面
面
棱l
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二面角的画法与记法
2、二面角的记法： 面1－棱－面2
（1）、以直线 l 为棱，
以 ,为 半平面的二
面角记为： l
（2）、以直线AB 为棱，
以 , 为半平面的二面角
记为： AB
二面角的平面角必须满足：
注 1）角的顶点在棱上
意 2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
B
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A
B
O
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二面角的 平面角的定义、范围及作法
思考: AOB的大小与点O在L上的位置
有关吗?为什么?
AOB = AOB
O l
A
B
注关:，两（（等只1边2）角与）和二二二定面面面另理角角角一的：的是个平张用如面角它角果角大的的与一小平两点有面个的关角边角位。来分置的度别无 量的平，行一，个二并面且角方的平向面相角同多大，，那就么
.
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二面角
如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、 β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º ， 求此二面角的度数。
解：在PB上取不同于P 的一点O，
在α内过O作OC⊥AB交PM于C，
C Mα
在β内作OD⊥AB交PN于D，
APO
B
连CD，可得
∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
解：取AB 的中点为E，连PE，OE
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º
∴OE∥BC且 OE OE⊥AB ，因此
BC12 PE⊥AB
A
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中，BE ，12 PB=1，PE
3 2
在Rt△POE中， OE ，22PO
1 2
∴ tan PEO 2
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
D Nβ
∴CO=a， DO= a ， PC a ，2PD a 2
C
又∵∠MPN=60º
∴CD=PC a 2
∴∠COD=90º
P aO
因此，二面角的度数为90º
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O
B A
说这这（个两3二）个面平角面角是角相多是等少直度角。的的二二面面角角。叫做
直二面角。
（4）二面角的取值范围一般规定
为（0,π）。
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二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明此平面角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
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二面角
基础练 习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
1、平面的斜线和平面所成的角
平面的一条斜线
和它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这 条直线和这个平面所 成的角。
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们 所成的角是0 的角。
直线和平面所成角的范围是[0，90]。
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例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求AD1 和平面A1D1CB所成的角。