高考数学二轮专题突破：第1讲-集合与简单逻辑用语(含答案)

专题一 会合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用
第 1 讲 会合与简单逻辑用语
1. 命题 “若 α＝ π
，则 tan α ＝ 1”的逆否命题是
______________________________ ． 4
π
答案：若
tan α ≠ 1，则 α≠
4
2. 会合 M ＝ {x|lgx>0} ，N ＝{x|x 2≤ 4} ，则 M ∩N ＝________． 答案： (1， 2]
分析：∵ M ＝(1，＋ ∞)，N ＝ [－2， 2]，∴ M ∩N ＝(1， 2]．
3. 若命题 “$ x ∈ R ，使得 x 2 ＋ (a － 1)x ＋ 1<0”是真命题，则实数 a 的取值范围是
______________．
答案： (－ ∞，－ 1)∪ (3，＋ ∞) ＝ (a － 1)2－ 4＞0.
分析：不等式对应的二次函数张口向上，则
1 ， － 2≤ x ≤ 2}， B ＝ y y ＝2－ 1
， 0<x ≤1 ， 则 A ∪ B ＝ 4. 若 集 合 A ＝ {y|y ＝ x 3
x
______________．
答案： (－ ∞，
3
2]
分析：会合 A ＝[－ 3 2， 3
2]， B ＝(－∞，1]，
∴ A ∪B ＝(－∞， 3
2]．
5. 某班有 36 名同学参加数学、 物理、化学课外研究小组， 每名同学至多参加两个小组． 已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13，同时参加数学和物理小组的有 6 人， 同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有 ____________人 .
答案： 8
分析：画韦恩图． 设同时参加数学和化学小组的有
x 人，则 20－ x ＋ 11＋ x ＋ 4＋9－ x ＝ 36，
x ＝ 8.
6. 设 p ：|4x － 3| ≤1，q ：x 2 － (2a ＋ 1)x ＋ a(a ＋ 1) ≤0，若非 p 是非 q 的必需不充足条件，则实数 a 的取值范围是 ________________ ．
1
答案：
0， 2
分析： p ： |4x － 3| ≤1 －1≤4x －3≤1，
∴
1
≤ x ≤ 1；
2
q ：x 2 －(2a ＋ 1)x ＋ a(a ＋ 1) ≤0 (x － a)[x － (a ＋ 1)] ≤0，∴ a ≤x ≤ a ＋ 1.
1
1 1 由题意知 p 是 q 的充足不用要条件，故有 a ≤ ， 或 a ＜ ，
2
2 则 0≤a ≤
a ＋ 1＞ 1，
a ＋ 1≥1，
2
.
4 ， B ＝ 1 7. 已知 a 、 b 均为实数，设会合 A ＝ x
≤ x ≤a＋ x － ≤ x ≤
5 3 ，且 A 、B 都是集
合 {x|0 ≤x ≤的1}子集．假如把 n － m 叫做会合 {x|m ≤x ≤n}的 “长度 ”，那么会合 A ∩B 的 “长度 ”的最小值是 ________．
答案： 2
15
a ≥0，
1 分析：
4
0≤ a ≤ 1，
b －3≥0， 1
≤ b ≤ 1，利用数轴分类议论可得会合A ∩B 的 “长
a ＋ ≤1
5
3
b ≤ 1
5
度 ”的最小值为 1－1＝ 2
3 5
15
.
8. 已知 M ＝ （ x ， y ） |
y － 3
＝ a ＋ 1 ，N ＝ {(x ，y)|(a 2 － 1)x ＋ (a －1)y ＝ 15} ，若 M ∩N＝ ? ，x
－ 2
a 的 ________．
5
答案： 1，－ 1， 2，－ 4
M ∩N＝ ? 知，
分析：会合 M 表示挖去点 (2， 3)的直 ，会合
N 表示一条直 ，所以由
点 (2， 3)在会合 N 所表示的直 上或两直 平行，由此求得
a 的 1，－ 1，5
，－ 4.
2 9. n ∈ N ＋ ， 一 元 二 次 方 程 x 2 － 4x ＋ n ＝ 0 有 正 整 数 根 的 充 要 条 件 是 n ＝ ________________ ．
答案：3或4
分析：令 f(x) ＝ x 2－ 4x ＋ n ，n ∈ N * ，f(0) ＝ n ＞ 0，∴ f(2) ≤0即 n ≤4，故 n ＝1，2，3，4，
， n ＝ 3， 4 合适，或直接解出方程的根， x ＝ 2± 4－ n ， n ∈ N * ，只有 n ＝ 3， 4 合适．
10. 随意两个会合
M 、 N ，定 ： M － N ＝ {x|x ∈ M ，且 x
N} ， M*N ＝ (M － N)∪ (N －
M) ， M ＝ {y|y ＝ x 2， x ∈R } ， N ＝ {y|y ＝ 3sinx ， x ∈ R } ， M*N ＝ ____________ ．
答案： {y|y>3 或－ 3≤y<0}
分析：∵ M ＝ {y|y ＝ x 2， x ∈R } ＝ {y|y － N ＝ {y|y>3} ， N － M ＝ {y| － 3≤y<0}，∴
{y|y>3 或－ 3≤ y<0}．
≥ 0}， N ＝ {y|y ＝ 3sinx ， x ∈ R } ＝ {y| － 3≤y ≤3}，∴ M M*N ＝ (M － N) ∪ (N － M) ＝ {y|y>3} ∪ {y| － 3≤y<0} ＝
11. 函数 f(x) ＝ x ＋ 3
的定 域
A ， g(x) ＝ lg[(x － a － 1)(2a － x)](a<1) 的定 域
2－
x ＋ 1
B.
(1) 求会合 A ；
(2) 若 B íA, 求 数 a 的取 范 ．
解： (1) 2－
x ＋ 3≥ 0 T 2x ＋ 2－（ x ＋ 3） ≥ 0 T
x － 1
≥0 T
(x － 1)(x ＋1) ≥0且 x ≠－
x ＋ 1 x ＋ 1
x ＋ 1
1 T x ≥ 1 或 x ＜－ 1.
∴ 会合 A ＝ {x|x ≥1或 x ＜－ 1} ．
(2) (x － a － 1)(2a － x)＞ 0(a<1) (x － a － 1)(x － 2a)＜ 0.∵ a ＜ 1，∴ 2a ＜ a ＋1.∴ 2a ＜ x ＜ a ＋
1.∴ 不等式的解 2a ＜ x ＜a ＋ 1.∴ 会合 B ＝ {x|2a ＜ x ＜ a ＋ 1} ．
∵ B A ，∴ 2a ≥1 或 a ＋ 1≤－ 1，∴ a ≥ 1
或 a ≤－ 2.
í 2
1
又 a<1， 数 a 的取 范 是 (－ ∞，－ 2]∪ 2， 1 .
12. 已知会合 A ＝ {x|x 2 － 3x ＋ 2≤0}，会合 B ＝ {y|y ＝ x 2－ 2x ＋ a} ，会合 C ＝ {x|x 2 － ax －
4≤ 0}．命 p ： A ∩B ≠ ?
í
；命 q ： A C.
(1) 若命 p 假命 ，求 数 a 的取 范 ；
(2) 若命 p ∧ q 真命 ，求 数 a 的取 范 ．解： (1) A ＝ [1， 2]， B ＝ [a － 1，＋ ∞)，
若 p 假命 ， A ∩B＝ ? ，故 a － 1＞ 2，即 a ＞ 3.
(2) 命 p 真， a ≤ 3.
命 q 真，即 化 当 x ∈ [1，2] ， f(x) ＝x 2 －ax － 4≤0恒建立，
f （ 1）＝ 1－ a － 4≤0，
(解法 1) 解得 a ≥0.
f （ 2）＝ 4－ 2a － 4≤0，
4 (解法 2)当 x ∈ [1， 2] ， a ≥ x － x 恒建立，
4 4
而 x － x 在 [1， 2]上 增，故 a ≥
x －
x max ＝ 0.
故 数 a 的取 范 是 [0， 3]．
13. 数列 {a n } 的各 都不 零，求 ： 随意
n ∈ N * 且 n ≥2，都有
1 ＋ 1
＋⋯＋
1 a a
a a
n －
1 n
a a
＝n－1
建立的充要条件是 {a n} 等差数
列． a1a n
明： (充足性 )若 {a n} 等差数列，其公差d，
1＋1＋⋯＋
1＝
1
[(
1
－
1
)＋(
1
－
1
)＋⋯＋(
1
－
1
)]
a1a2a2a3a n－1a n d a1a2a2 a3a n－1 a n
1 1
－
1a n－ a1n－ 1
＝
d a1a n
＝
da1a n
＝
a1a n
.
1＋
1 ＋⋯＋
1＝ n－ 1，
(必需性 )若a1a2a2a3a n－1a n a1 a n
1＋1＋⋯＋
1＋1＝n，
a1a2a2a3a n－1a n a n a n＋1a1a n＋1
两式相减得
1
＝
n n－ 1
a1＝ na n－(n－ 1)a n＋1.①
a a－
a a a1a n
n n
＋
1 1 n
＋
1
于是有 a1＝ (n＋ 1)a n＋1－na n＋2，②
由①②得 na n－ 2na n＋1＋ na n＋2＝ 0，
所以 a n＋1－ a n＝ a n＋2－ a n＋1 (n ≥ 2)．
又由
1
＋
1
＝
2
a3－ a2＝ a2－ a1，所以 n∈N*，2a n＋1＝a n＋2＋ a n，故 {a n} 等差数列．a1a2a2a3a1a3。