北京市师大附中2017_2018学年高二数学下学期期中试题理

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 北京师大附中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理

科）

说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上） 1．已知i 为虚数单位，复数1

3z i

=

-在复平面上对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2．若直线31,5

:42,5⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩

x t l y t （t 为参数）的倾斜角为α，则 ( )

A ．3sin 5α=

B ．3tan 4α=

C ．4

tan 3

α= D ．tan 2α=- 3．设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的虚轴长为2

，焦距为为 ( )

A

．y = B ．2y x =±

C

．y x = D ．12

y x =± 4．计算定积分

1

(2)x

e

x dx +=⎰ ( )

A ．1

B ．e-1

C ．e

D ．e+1 5．下面为函数sin cos y x x x =+的递增区间的是 ( )

A ．3,22ππ⎛⎫

⎪⎝⎭ B ．35,22ππ⎛⎫

⎪⎝⎭

C ．(),2ππ

D ．()2,3ππ

6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中

取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是1,

3

x t y t =+⎧⎨

=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是

4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为 ( )

A ．14

B ．214

C ．2

D ．22

7．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD⊥EF，则线段DF 长度的最小值为 ( )

A 2553

55

．55 D ．22 8．已知函数(1)y f x =+的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，()'()0f x xf x +>成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若()

0.20.222a f =（）, (ln 2)(ln 2)b f =，

2211

(log )(log )44

c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）

A ．a>b>c

B ．b>a>c

C ．c>a>b

D ．c>b>a

二、填空题（每小题5分，共30分） 9．若复数z 满足

1z

i i

=-，其中i 为虚数单位，则|z|=____________． 10．在极坐标系中，极点到直线:sin()24

l π

ρθ+

=________．

11．如图，圆2

2

2

:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是_____________．

12．设曲线x

y e =过点(0，0)的切线与曲线1

(0)y x x

=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为____________．

13．已知函数()3

2

f x x ax bx c =+++在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线

33y x =-+在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。

14．定义在区间[a ，b]上的连续函数y=f(x)，如果[,]a b ξ∃∈，使得

()()'()()f b f a f b a ξ-=-，则称ξ为区间[a,b]上的“中值点”．

下列函数：①()32f x x =+；②()2

1f x x x =-+；③()()ln 1f x x =+；

④()3

1

()2

f x x =-中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为_________．（写出所．

有．

满足条件的函数的序号）

三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．己知函数()3

31f x x x =-+．

( I)求函数f(x)的极值：

(II)求函数f(x)在[0，2]上的最大值；

16．设F 为抛物线2

:4C y x =的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个动点，O 为坐标原点． (I)若直线AB 经过焦点F ，且斜率为2，求线段AB 的长度|AB|； (II)当OA⊥OB 时，求证：直线AB 经过定点M(4，0)． 17．已知函数()1

(1)ln f x kx k x x

=-

-+，k∈R． (I)求函数f(x)的单调区间；

(II)当k>0时，若函数f(x)在区间(1，2)内单调递减，求k 的取值范围．