北京市师大附中2017_2018学年高二数学下学期期中试题理

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北京师大附中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理
科）

说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，
请将答案填在答题纸上）
1．已知i为虚数单位，复数13zi在复平面上对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若直线31,5:42,5xtlyt（t为参数）的倾斜角为α，则 ( )
A．3sin5 B．3tan4 C．4tan3 D．tan2
3．设双曲线22221(0,0)xyabab的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程
为 ( )
A．2yx B．2yx

C．22yx D．12yx
4．计算定积分10(2)xexdx ( )
A．1 B．e-1 C．e D．e+1
5．下面为函数sincosyxxx的递增区间的是 ( )

A．3,22 B．35,22 C．,2 D．2,3
6．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中
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取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是1,3xtyt（t为参数），圆C的极坐标方程是
4cos
，则直线l被圆C截得的弦长为 ( )

A．14 B．214 C．2 D．22
7．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点G与E分别是A1B1和CC
1

的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为 ( )

A．255 B．355 C．55 D．22
8．已知函数(1)yfx的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，
()'()0fxxfx
成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若0.20.222af（）, (ln2)(ln2)bf，
22
11
(log)(log)44cf
，则a，b，c的大小关系是（ ）

A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a

二、填空题（每小题5分，共30分）
9．若复数z满足1zii，其中i为虚数单位，则|z|=____________．
10．在极坐标系中，极点到直线:sin()24l的距离是________．
11．如图，圆222:Oxy内的正弦曲线sinyx与x轴围成的区域记为M（图中阴影
部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是_____________．
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12．设曲线xye过点(0，0)的切线与曲线1(0)yxx上点P处的切线垂直，则P的坐
标为____________．
13．已知函数32fxxaxbxc在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线
33yx
在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。

14．定义在区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，如果[,]ab，使得
()()'()()fbfafba
，则称为区间[a,b]上的“中值点”．

下列函数：①32fxx；②21fxxx；③ln1fxx；
④31()2fxx中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为_________．（写出所
．

有．满足条件的函数的序号）

三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．己知函数331fxxx．
( I)求函数f(x)的极值：
(II)求函数f(x)在[0，2]上的最大值；
16．设F为抛物线2:4Cyx的焦点，A、B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．
(I)若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求线段AB的长度|AB|；
(II)当OA⊥OB时，求证：直线AB经过定点M(4，0)．
17．已知函数1(1)lnfxkxkxx，k∈R．
(I)求函数f(x)的单调区间；
(II)当k>0时，若函数f(x)在区间(1，2)内单调递减，求k的取值范围．
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18．已知椭圆2229Cxy：，点P(2，0)．
(I)求椭圆C的短轴长与离心率；
( II)过(1，0)的直线l与椭圆C相交于M、N两点，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|
的大小，并证明你的结论．
19．已知函数lnxfxx
(I)求函数在点(1，0)处的切线方程；
(II)设实数k使得f(x)< kx恒成立，求k的范围；
(III)设函数 ()hxfxkxkR，求函数h(x)在区间1[,]ee上的零点个数．
20．数列12:,,(4)nnAaaanL
满足：111,,0nkkaamaa或1（k=1,2,…,n－1）．
对任意i，j，都存在s，t，使得ijstaaaa，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两
两不相等．
（I）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
①1,1,1,2,2,2； ②1,1,1,1,2,2,2,2； ③1,1,1,1,1,2,2,2,2
（II）记12nSaaaL．若m=3，求S的最小值；
（III）若m=2018，求n的最小值．
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参考答案
一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
/）
1 2 3 4 5 6 7 8
A C C C B D A B

二、填空，题（每小题5分，共30分）
9．2； 10．2； 11．34； 12．,eee；
13．32 86fxxxx； 14．①④；

三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．解：（I）极大值(1)3f，极小值(1)1f；（II）最大值(2)3f
16．解：（I）由题意，得F（1,0），则直线AB的方程为2(1)yx．

由22(1)4yxyx，消去y，得2310xx．
设点1122(,),(,)AxyBxy，则△>0，且12123,1xxxx,
所以212121255()45ABxxxxxx．
（II）因为A，B是抛物线C上的两点，所以设22(,),(,)44tsAtBs，
由OA⊥OB，得2()016stOAOBst•uuuruuur，所以16st．
22(4,),(4,),44tsMAtMBsuuuruuur由22
()(16)(4)(4)04416tststsst


，知

MAMBuuuruuurP
，即直线AB经过定点M（4,0）．

17．解：（I）函数()fx的定义域为|0xx．
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222
11(1)1(1)(1)'()kkxkxkxxfxkxxxx



（1）当0k时，令'()0fx，解得01x，此时函数()fx为单调递增函数；
令'()0fx，解得1x，此时函数()fx为单调递减函数．
（2）当0k时，
①当11k，即1k时，
令'()0fx，解得10xk或1xk，此时函数()fx为单调递增函数；
令'()0fx，解得11xk，此时函数()fx为单调递减函数．
②当1k时，'()0fx恒成立，函数()fx在(0,)上为单调递增函数；
③当11k，即01k时，
令'()0fx，解得01x或1xk，此时函数()fx为单调递增函数；
令'()0fx，解得11xk，此时函数()fx为单调递减函数．
综上所述，
当0k时，函数()fx的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为(1,)；
当01k时，函数()fx的单调递增区间为（0,1），1(,)k，单调递减区间为1(1,)k；
当1k时，函数()fx的单调递增区间为(0,)；
当1k时，函数()fx的单调递增区间为1(0,)k，(1,)，单调递减区间为1(,)k．
（II）2(1)(1)'()kxxfxx．
因为函数()fx在（1，2）内单调递减，所以不等式在2(1)(1)0kxxx在（1,2）上成
立．
因为(1,2)x，则10x，所以等价于10kx，即1kx，所以102k．

18．解：（I）22:1992xyC，故222999,,,22abc
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有3a，322bc．
椭圆C的短轴长为232b，离心率为22cea．
（II）方法1：结论是：TPTM．
当直线l斜率不存在时，:1,02lxTPTM
当直线l斜率存在时，设直线1122:(1),(,),(,)lykxMxyNxy
22
29(1)xyykx





，整理得：2222(21)4290kxkxk

22222
(4)4(21)(29)64360kkkk

故22121222429,2121kkxxxxkk
1212
(2)(2)PMPNxxyy•
uuuuruuur

2
1212
(2)(2)(1)(1)xxkxx

222
1212
(1)(2)()4kxxkxxk

22
222

22

294(1)(2)42121kkkkkkk




2
2
65021kk





故90MPN，即点P在以MN为直径的圆内，故TPTM．
（II）方法2,：结论是TPTM．
当直线l斜率不存在时，:1,02lxTPTM
当直线l斜率存在时，设直线1122:(1),(,),(,),(,)TTlykxMxyNxyTxy
22
29(1)xyykx





，整理得：2222(21)4290kxkxk

22222
(4)4(21)(29)64360kkkk