上海市13区2019届高三上期末(一模)考试数学题目分类汇编立体几何

上海市 13 区 2019 届高三上期末(一模 )考试数学题目分类汇编立体几何
上海市 13 区 2019 届高三上期末（一模）考试数学试题分类汇编
立体几何
一、填空、选择题
1 、（宝山区2019 届高三）将函数y 1 x
2 的图像绕着 y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是．
2、（崇明区 2019 届高三）设一个圆锥的侧面张开图是半径为 2 的半圆，则此圆锥的体积等于
3、（虹口区 2019 届高三）对于三个不同样平面、、与直线 l ，下来命题中的假命题是（）
A. 若，则内必然存在直线平行于
B.若与不垂直，则内必然不存在直线垂直于
C. 若，，I l ，则 l
D. 若，则内所有直线垂直于
4（、金山区 2019 届高三）在
120 的二面角内放置一个半径为 6 的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是
5、（浦东新区2019 3
，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为
届高三）已知圆锥的体积为
3 3
6、（浦东新区2019 届高三）以下命题正确的选项是（）
A.若是两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
B.若是两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
C.若是两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
D.若是两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
7、（普陀区 2019 届高三）如图，正四棱柱ABCD ABC D
的底面边长为4，记
AC I B D F
，
1111 1 1 1 1
BC1 I B1C E ，若AE BF ，则此棱柱的体积为
8、（青浦区 2019 届高三）已知直角三角形△ABC 中， A 90 ，AB 3 ，
AC 4 ，则△ ABC 绕直线 AC 旋转一周所得几何体的体积为
9、（徐汇区 2019 届高三）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂
直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽经过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为: 4 .若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）
（A）16（B）163（C）16
（D）
128
3 3
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10 、（杨浦区2019 届高三）若圆锥的母线长 l 5(cm) ，高 h 4(cm) ，则这个圆锥的体积等于
( cm3 )
11 、（长宁区2019 届高三）若圆锥的侧面面积为 2 ，底面面积为，则该圆锥的体积为
12 、（闵行区2019 届高三）如图，在过正方体ABCD A1 B1C1 D1的任意两个极点的所有直线中，与直线 AC1 异面的直线的条数为
13、（闵行区2019 届高三）已知a、b为两条不同样的直线，、为两个不同样的平面，I a ，a∥ b ，则下
列结论不可以能成立的是（）
A. b，且b∥
B. b，且b∥
C. b∥，且b∥
D. b与、都订交
14、（青浦区2019 届高三）对于两条不同样的直线
m 、n 和两个不同样的平面、，以下结论正确的选项是（）
A. 若m，n∥，m、n是异面直线，则、订交
B. 若m，m，n∥，则n∥
C. m，n∥，m、n共面于，则m∥ n
D. 若m，n，、不平行，则m 、 n 为异面直线
参照答案
一、填空、选择题
2
2、3
3、 D
4、2
5、3
6、D
1、
3 3
7、32 2 8、12π9、C 10、12 11、
3 3
12、12 13、 D 14、C
二、解答题
1、（宝山区2019 届高三）如图，在四棱锥P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，正方形 ABCD 的边长为2，PA 4 ，设 E 为侧棱 PC 的中点．
（1）求正四棱锥E ABCD的体积V；
（2）求直线BE与平面PCD所成角的大小．
2/13 2
2、（崇明区 2019 届高三）如图，设长方体 ABCD A1B1C1 D1中，AB BC 2，
直线 A1C 与平面ABCD所成的角为.
4
（1）求三棱锥A A1 BD 的体积；
（2）求异面直线A1 B 与 B1 C 所成角的大小.
3、（奉贤区2019 届高三）如图，三棱柱ABC A1B1C1中，AA1 底面ABC ，AB AC ，D是BC 的中点.
（1）求证：BC 平面A1 AD1；
（2）若， BC ，三棱柱
1 1 1 的体积是，求异面直线 1 与 1 所成角的大小.
4、（虹口区2019 届高三）在以以下列图的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的
中点，
点 D是母线 PA的中点.
（1）求该圆锥的侧面积与体积；
（2）求异面直线AB 与CD所成角的大小.
3/13 3
5、（金山区2019 届高三）如图，三棱锥P ABC 中，PA 底面ABC， M 是BC的中点，若底
面
ABC是
边长为 2 的正三角形，且PB 与底面ABC所成的角
为
. 求：
3
（1）三棱锥P ABC的体积；
（2）异面直线 PM 与 AC 所成角的大小 .
（结果用反三角函数值表示）
6、（浦东新区2019 届高三）已知直三棱柱A1B1C1ABC 中， AB AC AA11，BAC 90 .
（1）求异面直线A1B与B1C1所成角；
（2）求点B1到平面A1BC的距离 .
7、（普陀区 2019 届高三）以以下列图，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其构造能使它任意抛至水
平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为A（
i ）
i 1,2,3,4 . （1）记OA i a （ a 0 ），当A1、A2、 A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3 所成
角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3 2cm2，要用某种线型资料复制100
枚这种“钉”（耗资忽略不计），共需要该种资料多少米？
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8、（青浦区 2019 届高三）已知正四棱柱ABCD A1B1C1 D1的底面边长为3，A1D 5 .
（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；
（2）若E为线段A1D的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小 .
9、（徐汇区 2019 届高三）如图，已知正方体ABCD A'B'C 'D ' 的棱长为1.
（1）正方体ABCD A' B 'C ' D '中哪些棱所在的直线与直线A' B 是异面直线？
（2）若M ,N分别是A ' B, BC '的中点，求异面直线MN 与 BC 所成角的大小.
10、（杨浦区 2019 届高三）如图，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD为矩形，PA AB 1， AD 2 ，点F是PB
的中心，点 E 在边 BC上搬动 .
（1）求三棱锥E PAD的体积；
（2）证明：无论点 E 在边 BC的哪处，都有 AF⊥ PE.
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11、（长宁区 2019 届高三）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的周围体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢构造
能够抽象为空间图形阳马，以以下列图，在阳马P ABCD 中， PD底面ABCD .
（1）已知（精准到
AD CD
0.01m ）
4m ，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15 ，求立柱PD 的长；
（2）求证：周围体PDBC 为鳖臑.
参照答案
二、解答题
1、解：（ 1）因为正方形ABCD 的边长为2，所以S ABCD 4，2分
V P ABCD 1
S
ABCD
PA 16
， 4 分3 3
因为 E 为侧棱 PC 的中点，所以
V 1
V
P ABCD
8
6 分2
.
3
（2）成立空间直角坐标系，A(0,0,0) ，
以以下列
图：B(2,0,0) ， P(0,0,4), C (2,2,0), E(1,1,2) ，8分
uuur uuur
2,2, uuur
2,0,0,
BE 1,1,2 , PC 4 ,DC 9 分
r
设平面 PCD 的一条法向量为n (a, b, c)
6/13 6
13 2019 ( )
uuur r
0 2a 2b 4c
PC n uuur r 0
2a 0
CD n
c
r
(0, 2,1)
11
1n
uuur r
sin
BE n 2 30
uuur r 13
BE n
15
BEPCD arcsin
2 30
.
14
15
17. 21AC
AA 1
平面 ABCD
A 1CA A 1 C ABCD 2
ACA
AA
2
24
1
4 1
V A ABD
1 A 1 A
4
V A ABD S ABD
27
1
1
3
3
2A 1D BD
A 1
B 1 / /CD A 1D / /B 1C
BA 1D A 1B B 1C
3
(2 3) 2 (2 3)2 (2 2) 2
2 VBA 1D cos BA 1 D
2 2
3 2 3
3
BA 1 D
2
6
arccos 3
2
A 1
B B 1
C arccos
7
3
3
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4、
5、
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13 2019 ( )
61
A 1
B 1
C 1 ABCAA 1
AB
AA 1
AC ,AB
AC
AA 1 1, BAC
90
A 1 B
A 1C BC 2 2
BC // B 1C 1
A 1 BCA 1
B B 1
C 1 4
A 1BC A 1B
A 1C BC
2
A 1
B B 1
C 1 7
3
2 B 1
A 1BC
h
1S A 1BC
1
2
2 sin
3
9
2 3
2
S
A 1
B 1B
1 1 1 1 11 2
2
V B 1
A 1BC
V C
A 1
B 1B
12
1 S A 1BC h 1 S A 1B 1B CAh
3
3 3
3
B 1
A 1BC
3
14
3
1
A 1
B B 1
C 1
A 1 B
1 , 0 , 1 1
1 1 0 4
1 B C
, ,
9/13
9
132019() cos
A1 B B1C1 1 1
A1B B1 C1 2 2 2 3
A1 B B1C1 7
3
2A1BCn u ,v ,w
n BC ,n A1BBC 1,1,0 A1 B 1,0 , 1 9
n BC 0 u v 0 1,1,1
12
n
n A1 B 0 u w 0
B1A1BC d
B1 B n 3
n 14
3
7
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13 / 15
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(一模 )考试数学题目分类汇编立体几何
8、解：（ 1）在正四棱柱 ABCD
A 1
B 1
C 1
D 1 中，
∵ AA 1 平面 ABCD ， AD 平面 ABCD ，
∴ AA 1
AD ，故 AA 1 25 9 4 ， ∴正四棱柱的侧面积为 (4 3) 4 48 ，
体积为 (32) 4 36．
（2）成立如图的空间直角坐标系 O xyz ，由题意
可得 D (0,0,0) , B(3,3,0) , A 1 (3,0,4) , D(0,0,0) , E(
3
,0,2) ,
2
uuur uuur
3
, 3,2) ，
AA 1 (0,0,4) ， BE (
2
uuur uuur
设 AA 1 与 BE 所成角为
uuur uuur
AA 1 BE
则 cos
uuur uuur |AA 1| |BE|
，直线 BE 与平面 ABCD 所成角为 ，
8 4 61， 61
61
4
4
uuur
4 61
arcsin
4 61
又 AA 1 是平面 ABCD 的一个法向量，
故 sin
cos
， ．
61
61
所以直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 arcsin
4
61 ．
61
9、解： (1)由异面直线的定义可知，棱 AD , DC ,CC ', DD ', D 'C ', B 'C ' 所在的直线与直线
线
分.6
11/13
A'B 是异面直
11
14 / 15
13 2019 ( )
(2)
BC ',A'C ' M ,N A'B, BC ' MN A'C' BC B'C'
MN BC
A'C 'B'().9
A' B'
B'C ', A'B'C' 90o
A 'C '
B ' 45o
13
MN BC
45o .
.14
D'
C'
A'
B'
N
M
D
C
A
B
101V P
ADE
1
PA S ADE 1
6
3
3
2AF 面 PBC
PA 面ABCD PA BCBC
AB
BC 面PAB BC AF
10
PABPA ABFPBAF
PB
12 AF
面PBC E BC AF PE
.
14
111PD ABCD
PB ABCD DB
PBDPBABCD PBD 15 2
PDB
PDB
90 ,
DB
AD 2
CD 2
4 2 ( )
3
m
tan
PBD
PD
PD
PD
1.52 (m) 5
tan15
2
DB
4
PD1.52 m
6
2ABCD
BCD
2
PD
ABCD
PD
DC , PD DB ,PD
BC
PDC PDB
4
BC DC BC PDPD DC
D DC ,PD
PDC
BC PDC
6
PC
PDCBC
PC
12/13
12
132019()
PBC 7
PDBC 8
13/1313
15 / 15。