汕头市澄海区第一学期期末考试高三文科数学试卷

澄海区2008-2009学年度第一学期期末考试
高三文科数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：
1．答第一部分(选择题)前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3．考生务必将第二部分(非选择题)的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分． 4．考试结束后，监考员将第一部分的答题卡和第二部分的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：
柱体的体积公式Sh V =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．
锥体的体积公式Sh V 3
1
=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
第一部分（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑．
1．已知集合}|{},023|{2a x x N x x x M >=>-+=，若N M ⊆，则实数a 的取值范围是
A ．),3[+∞
B ．),3(+∞
C ．]1,(--∞
D ． )1,(--∞ 2．函数4
sin 1)(2
x
x f +=的最小正周期是 A ．
2
π
B ．π
C ．π2
D ．π4
3．函数x
x y 1
42+
=的单调递增区间是 A ．),0(+∞ B ．),21(+∞ C ．)1,(--∞ D ．)2
1
,(--∞
4．若ABC ∆的内角A 满足3
2
2sin =A ，则=+A A cos sin
A ．315
B ．315-
C ．35
D ．3
5-
5．已知|a |=3，|b |=5，且12=⋅b a ，则向量a 在向量b 上的投影为
A ．
5
12
B ．3
C ．4
D ．5 6．已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于( )
A.15
B.21
C.19
D.17
7．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若||||113a a =，且公差0<d ，则当n S 取最大值时，=n
A ．4或5
B ．5或6
C ．6或7
D ．7或8
8．若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是
A ．),31(+∞
B ．]31,(-∞
C ．),31[+∞
D ．)3
1,(-∞
9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；
②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
其中正确命题的序号是
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④
10．若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2，且当[]1,0∈x 时，(),x x f =，则函数
()x x f y 3log -=的零点个数是
A ．多于4个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
第二部分（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分. （一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 11．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若431,,a a a 成等比数列，则3
52
3S S S S --的值为 ．
12．右图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形都是边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．
13．已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则y x z -=的最大值
是 ；最小值是 ．
（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）曲线⎩
⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大
值是 ．
15．（几何证明选讲选做题）如下图4，⊙'
O 和⊙O 相交于A
B ，
PQ 切⊙O 于P ，
交⊙'
O 于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN
＝3,NQ ＝15，则 PN ＝__________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．(本小题满分13分)
在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是
a b c ，，，已知2c =，3
C π=． （Ⅰ）若ABC △a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
17．(本小题满分13分)
已知数列}{n a 中，02,311=-=+a a a n n ,数列}{n b 中，())( 1*N n a b n n n ∈-=⋅． （Ⅰ）求数列}{n a 通项公式；
（Ⅱ）求数列}{n b 通项公式以及前n 项的和．
18．(本小题满分14分)
已知二次函数cx bx ax x f ++=2)(，不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(． (Ⅰ)若方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式； (Ⅱ)若)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围．
19．(本小题满分14分)
如图（1），ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）． （Ⅰ）求证：EF A C '⊥；
（Ⅱ）求三棱锥BC A F '-的体积．
20．(本小题满分14分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2
1
1=a 且)2(021≥=⋅+-n S S a n n n ． (Ⅰ)求证}1
{
n
S 是等差数列，并求出n a 的表达式； (Ⅱ) 若)2()1(2≥-=n a n b n n ，求证12
2322<+++n b b b ．
21．(本小题满分12分)
已知实数a ≠0，函数()()R x x ax x f ∈-=2
2)(．
(Ⅰ)若函数)(x f 有极大值32，求实数a 的值； (Ⅱ)若对]1,2[-∈∀x ，不等式9
16
)(<
x f 恒成立，求实数a 的取值范围．
澄海区2008-2009学年度第一学期期末考试
高三文科数学参考答案
一、选择题
CDBAA DCCAB 二、填空题
11、
21
或2； 12、3
34； 13、2，1-；14、2； 15
、三、解答题
16、(本小题满分13分)
解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2
2
4a b ab +-=， ----------2分
又因为ABC △
所以
1
sin 2
ab C =4ab =． ----------4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，
，
解得2a =，2b =． ----------6分 （Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，
即sin cos 2sin cos B A A A = ----------7分 当cos 0A =时，2A π=
，6B π=
，a =
b = 当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =， ----------9分
联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，
，
解得a =
b = ----------12分 所以ABC △
的面积1sin 2S ab C == ----------13分
17、(本小题满分13分) 解：（1）∵021=-+n n a a ∴
)1(21
≥=+n a a n
n -----------2分
又31=a
∴{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列 -----------4分 ∴*)(231N n a n n ∈⋅=- -----------6分
（2）∵())( 1*N n a b n n n ∈-=⋅
∴n
n n a b 1)1(⋅
-= =1
231
)1(-⨯⋅
-n n -----------8分
∴n n b b b S +⋅⋅⋅++=21
1
2
31)1(23131-⨯⋅-+⋅⋅⋅+⨯+-=n n -----------10分 =2
11)21(131+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---n
=-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--n )21(192
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--1)21(92n -----------13分
18、(本小题满分14分) 解：（Ⅰ）∵不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(
∴1=x 和3=x 是方程)0(0)2(2<=+++a c x b ax 的两根 -----------1分
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+342
a
c a
b -----------2分
∴a c a b 3,24=--= -----------3分
又方程06)(=+a x f 有两个相等的实根
∴0)6(42=+-=∆a c a b -----------4分 ∴094)12(42=⨯-+a a a ∴0)1)(15(=-+a a
∴51-=a 或1=a （舍） -----------5分 ∴53
,56,51-=-=-=c b a -----------6分
∴5
3
5651)(2---=x x x f -----------7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a x a ax x f 3)12(2)(2++-=
a a
a a a x a 3)12()12(2
++-+-= a
a a 1
42---= -----------9分
∵0<a ，
∴)(x f 的最大值为a
a a 1
42--- -----------11分
∵)(x f 的最大值为正数
∴⎪
⎩
⎪
⎨⎧>---<01402a a a a
∴⎩
⎨⎧>++<0140
2a a a 解得32--<a 或032<<+-a -----------13分
∴所求实数a 的取值范围是)0,32()32,(+----∞ -----------14分 19、(本小题满分14分)
（Ⅰ）证法一：在ABC ∆中，EF 是等腰直角ABC ∆的中位线，
EF AC ∴⊥ -----------2分
在四棱锥BCEF A -'中，E A EF '⊥，EC EF ⊥，
EF ∴⊥平面A EC '， -----------5分
又⊂'C A 平面A EC ',
EF A C '∴⊥ -----------7分
证法二：同证法一EF EC ⊥ -----------2分
A O EF '∴⊥
EF ∴⊥平面A EC '， -----------5分
又⊂'C A 平面A EC ',
EF A C '∴⊥ -----------7分
（Ⅱ）在直角梯形EFBC 中，
4,2==BC EC , 42
1
=⋅=
∴∆EC BC S FBC -----------9分 又
A O '垂直平分EC ，
322=-'='∴EO E A O A -----------11分
∴FBC A BC A F V V -''-=
O A S FBC '⋅=∆31
3431
⋅⋅= 3
34= -----------13分
∴三棱锥BC A F '-的体积为3
3
4 -----------14分
20、(本小题满分14分)
（I ）证明：∵n n a a a S +⋅⋅⋅++=21
∴当n ≥2时，a n = S n – S n – 1 -----------1分 又021=+-n n n S S a
∴)2(0211≥=+---n S S S S n n n n ， -----------3分
若S n = 0，则a n = 0，
∴a 1 = 0与a 1 =2
1
矛盾！ ∴S n ≠0，S n – 1≠0．
∴
02111=+--n n S S 即2111=--n n S S -----------5分 又
2111
2=-S S ．
∴{
n
S 1
}是首项为2，公差为2的等差数列 -----------6分 解：由（I ）知数列{
n
S 1
}是等差数列． ∴
n n S n 22)1(21=⋅-+=即n
S n 21= -----------7分 ∴当)
1(21)1(2121,21--=--=-=≥-n n n n S S a n n n n 时 -----------8分 又当2
1
,111=
==a S n 时 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--==)2()
1(21)1(2
1
n n n n a n -----------9分
（III ）证明：由（II ）知)2(1
)1(21)1(2≥=-⋅
-=n n
n n n b n -----------10分
∴2222
2322
13121n b b b n +++=+++ n
n )1(1321211 -++⨯+⨯< -----------12分 )111(
)3121()21
1(n n --++-+-= 11
1<-=n
-----------14分
21、(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）ax ax ax x ax x f 44)2()(232+-=-=
)2)(3
2
(3483)( 2--=+-=∴x x a a ax ax x f -----------2分
令f x '()=0得0)2)(3
2(3=--x x a ∴x =
2
3
或x =2 -----------4分 () f x ax x x R ()()=-∈22
有极大值32，又f ()20= ∴f x ()在3
2
=
x 时取得极大值 -----------5分 273227
32)32(===∴a a f ， -----------6分
（Ⅱ）由)2)(3
2
()( --=x x a x f 知：
当0>a 时，函数f x ()在]32,2[-上是增函数，在]1,3
2
[上是减函数
此时，a f y 27
32
)3
2(max =
= -----------7分 又对]1,2[-∈∀x ，不等式9
16
)(<x f 恒成立
∴9162732<a 得2
3<a ∴2
3
0<<a -----------9分
当0<a 时，函数f x ()在]32,2[-上是减函数，在]1,3
2
[上是增函数
又a f 32)2(-=-，a f =)1(，
此时，a f y 32)2(max -=-= -----------11分 又对]1,2[-∈∀x ，不等式9
16
)(<x f 恒成立 ∴91632<-a 得18
1->a ∴018
1
<<-
a -----------11分 故所求实数的取值范围是)2
3
,0()0,181( - -----------12分。