《解三角形》单元测试题(含解析)

《解三角形》测试题

班级：____________ 姓名：__________________

1．若平面向量b r 与向量(2,1)a =r 平行，且25b =r b =r

A ．(4,2)

B ．(4,2)--

C ．(4,2)或(4,2)--

D ．(6,3)-

2．一艘轮船以18海里/时的速度沿北偏东40︒的方向直线航行，在行驶到某处时，该轮船南偏东20︒方向10海里处有一灯塔，继续行驶20分钟后，轮船与灯塔的距离为 A ．17海里

B ．16海里

C ．15海里

D ．14海里

3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且acosB ＝（2c ﹣b ）cosA ，则角A 的大小为 A ．

π

6

B ．

π4

C ．

π3

D ．

π2

4．已知ABC ∆中，23AB =22

sin A =，5tan C =，则BC = A ．83B ．8

C ．43

D ．4

5．在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u v u u u v

,则ABC ∆的面积为

A ．

1

2

B ．1

C 2

D ．

22

6．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2

A C

a b A +=，则cos B = A ．12

-

B ．

12

C ．3

D ．

32

7．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c ac b +=+，

则cos sin A C +的取值范围为

A ．3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

B ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

C ．13,22⎛⎫

⎪⎝⎭ D ．)

3,2

8．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为222

4

a b c

--，则A =_______.

9．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足1

3,cos ,4

c A AD ==

为BAC ∠的角平分线，且10AD =b =_______.

10．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2

23a b c ab +=+．

（1）求C 的值；

（2）若ABC ∆c =a 、b 的值．

11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A a = （1）求B 的大小;

（2）若3b =，求ABC ∆面积的最大值.

12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，已知22A B C =≠，且2222sin a c b ac C +=+. （1）求A ；

（2）若ABC ∆的面积为2，求a .

1．C

由题22

215a =+=r 又25b =r b r 与向量a r 平行. 故2b a =±r r

,即(4,2)b =r 或(4,2)--.

故选：C 2．D

解：记轮船行驶到某处的位置为A ，灯塔的位置为B ，20分钟后轮船的位置为C ， 如图所示.则10AB =， 6AC =，120CAB ∠=︒， 所以2

2

2

110621061962BC ⎛⎫

=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭

， 所以14BC =，

即20分钟后，轮船与灯塔的距离为14海里. 故选：D. 3．C

()cos 2cos a B c b A =-，则()sin cos 2sin sin cos A B C B A =-.

sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，

因为sin 0C >，故1cos 2A =，又()0,A π∈，故3

A π

=.故选：C 4．B 因为5tan 5C =

，所以6

sin 6

C =

. 在ABC ∆中，由正弦定理，可得sin sin AB BC

C A

=2362263

=，解得8BC =. 故选：B 5．C

1

1,3,cos 3cos 1cos 3

AB AC AB AC AB AC A A A ==⋅=⋅==-∴=-u u u r u u u r u u u r u u u r

故22

sin A =，1sin 22S AB AC A =⋅=

故选：C 6．B sin

sin =cos 2222A C B B π+⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

又sin

sin 2A C

a b A +=，所以sin cos sin sin 2

B A B A = 0,sin 0A A π<<∴≠Q ,则1

cos sin cos 2sin cos sin 222222

B B B B B B =⇒=⇒= 2

11

cos 12sin 1222

B B =-=-= 故选：B 7．A

由2

2

2

a c

b +=+

和余弦定理得222cos 2a c b B ac +-==

，又()0,B π∈，6B π∴=. 因为三角形ABC 为锐角三角形，则02

02A C ππ⎧

<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即025062A A πππ

⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩

，解得32A ππ<<，

1cos sin cos sin cos sin cos cos 6622A C A A A A A A A

πππ⎛⎫⎛⎫

+=+--=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

3cos 223A A A π⎛

⎫=

+=+ ⎪⎝

⎭， 3

2

A π

π

<<

Q

，即

25336A πππ<+<

，所以，1sin 23A π⎛⎫<+< ⎪⎝

⎭，

3cos sin 2A C <+<，因此，cos sin A C +

的取值范围是32⎫⎪⎪⎝⎭

. 故选：A. 8．

34

π

在ABC V 中，1sin 2ABC

S bc A =V ,而2224

ABC a S b c --=V ， 由余弦定理得2222cos a b c bc A --=-，则2cos cos 42

ABC bc A bc A

S -=

=-V ,

故

11

sin cos 22

bc A bc A =-，则sin cos A A =-。 由于(0,)A π∈，则34

A π

=。