广州市九区联考2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷(解析版)

2023—2024学年第一学期期末教学质量监测
高一数学
本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B 铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知x ∈R ，则“2
10x −>”是“1x >”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法及充分必要条件的定义可得结果. 【详解】由210x −>解得1x >或1x <−，
所以当1x >时一定有210x −>成立，反之不一定成立， 所以“210x −>”是“1x >”的必要不充分条件， 故选：B.
2. 已知集合
{}
2
210A x ax
x =−+=只有一个元素，则实数a 的值为（ ）
A. 1或0
B. 0
C. 1
D. 1或2
【答案】A 【解析】
【分析】讨论a ，当0a =时，方程是一次方程，当0a ≠时，二次方程只有一个解，Δ0=，即可求.
【详解】若集合
{}
2
210A x ax
x =−+=只有一个元素，则方程2210ax x −+=只有一个解，
当0a =时，方程可化为210x −+=，满足题意，
当0a ≠时，方程2210ax x −+=只有一个解，则440a ∆=−=，解得1a =， 所以0a =或1a =. 故选：A . 3. 方程2ln 0x x
−
=的根所在的区间是（ ） A. (0,1) B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
【答案】C 【解析】
【分析】先判断出()2
ln f x x x
=
−在()0,∞+上单调递增，结合零点存在性定理得到结论. 【详解】由于ln y x =在()0,∞+上单调递增，
12
y x
=−在()0,∞+上单调递增，
故()2
ln f x x x
=
−在()0,∞+上单调递增， 又()2ln 210f =−<，()22
3ln 31033
f =−>−>， 故方程2
ln 0x x
−=的根所在的区间是(2,3). 故选：C
4. 设ln 0.8a =，0.8e b =，e 0.8c =，则（ ） A. a b c >> B. b c a >> C. c b a >> D. b a c >>
【答案】B 【解析】
【分析】由指数和对数函数的性质可得a<0，1b >，01c <<.
【详解】ln 0.8ln10a =<=，0.80e e 1b =>=，e 000.80.81c <=<=，
所以b c a >>. 故选：B . 5. 函数()22
x x
x
f x −=
+图象大致为（ ） A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，结合函数值的正负情况，以及结合函数特殊值的计算，一一判断各选项，即得答案.
【详解】函数()22
x x
x
f x −=
+的定义域为R ， 且()()f x f x −=
−
，故()f x =
则函数图象关于原点对称，则B 错误；
又0x >时，
()022
x x
x
f x −=>+，故C 错误； 又
2282161151765(1)(2)(34848
)f f f =<=>=
=
++=， 即0x >时，()22
x x
x
f x −=
+不是单调函数，D 错误， 结合函数性质和选项可知，只有A 中图象符合题意， 故选：A
6. 函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=
+>><<在一个周期内的图像如图所示,为了得到函数π()2sin 23g x x
=+
的图象,只要把函数()f x 的图象上所有的点（ ）
A. 向左平移π
3个单位长度 B. 向左平移
π
6个单位长度 C. 向右平移π
3
个单位长度
D. 向右平移π
6
个单位长度
【答案】D 【解析】
【分析】由函数的图象的最大值求出A ,由周期求出ω,由五点作图法求出ϕ,从而可得()f x 的解析式.再结合函数sin()y
A x ωϕ+的图象平移变换规律即可得出结论.
【详解】由函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=
+>><<的部分图像可得 2.A = 125πππ
=, 2.2212122
T πωω =×=−−∴= 再根据五点法作图可得π2π2,.1223πϕϕ
×−
+=∴=
()2π2sin 2.3f x x
∴=+
故把
()2π2sin 23f x x =+
的图象向右平移π
6
个单位长度,可得()22sin 22sin 2633y x x g x πππ
=−+=+=
的图象. 故选：D
7. 函数()log (1)log (1)a a f x x x =++−（0a >，1a ≠
，x ∈ ）
，若max min ()()1f x f x −=，则a 的值为（ ）
.
A. 4
B. 4或
14
C. 2或1
2 D. 2
【答案】C 【解析】
【分析】将2
()log (1)log (1)log (1)a a a f x x x x =
++−=−，利用换元，化为()log a g t t =，分类讨论a 的取值范围，结合函数单调性以及最值的差，列式求解，即得答案.
【详解】由题意得2
()log (1)log (1)log (1)a a a f x x x x =++−=−，x ∈ ，
令21t x =−，则1
[,1]2
t ∈，
则函数2
()log (1)a f x x =
−，即为()log a g t t =， 当1a >时，()log a g t t =在1
[,1]2
上单调递增，由
max min ()()1f x f x −=可得：
1
log 1log 1,22
a a
a −=∴=； 当01a <<时，()log a g t t =在1[,1]2
上单调递减，由max min ()()1f x f x −=可得：
11
log log 11,22
a
a a −=∴=； 故a 的值为2或1
2， 故选：C
8. 中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，有一种茶90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.某研究人员在室温下，每隔1min 测一次茶水温度，得到数据如下： 放置时间/min 0 1 2 3 4 茶水温度/℃
90.00
84.00
78.62
73.75
69.39
为了描述茶水温度y ℃与放置时间min x 的关系，现有以下两种函数模型供选择：①
()30R,0<<1,0x y ka k a x =+∈≥，②(,R,0)y mx b m b x =+∈≥.选择最符合实际的函数模型，可求得
刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）
（ ）
A. 5.5min
B. 6.5min
C. 7.5min
D. 8.5min
【答案】B 【解析】
【分析】根据表中数据确定模型，求得解析式，当60y =，求得x 即可. 【详解】由表格中数据可得，茶水温度下降的速度先快后慢，
所以选①()30R,0<<1,0x
y ka k a x =
+∈≥， 则0130903084ka ka += +=
即30903084k ka +=
+= ，
解得60910k a = = ，所以9603010x
y =
×+ ， 当60y =时，可得91102x
=
，
即9
10
1
lg 1lg 2lg 20.3012log 6.5min 92lg 912lg 31120.477lg 10
x
−−====≈−−−×. 故选：B .
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若a b >，c d >，则a c b d −>− B. 若a b >
> C. 若
22
a b c c >，则a b > D. 若0a b >>，0m >，则a m a
b m b
+>+ 【答案】BC 【解析】
【分析】利用特殊值可判断A ；根据幂函数13
y x =的单调性可判断B ；根据不等式的性质可判断C ；利用作差法比较大小可判断D.
【详解】对于A ，当2a =，1b =，4c =，1d =时，不满足a c b d −>−，故A 错误；
对于B ， 13
y x =在R 上单调递增，∴当a b >时，11
33a b >>，故B 正确；
对于C ，
22a b c c
>，20c ≠，两边同时乘以2c ，得a b >，故C 正确； 对于D ， 0a b >>，0m >，∴
()()()
0b a m
a m a a
b bm ab am b m b b b m b b m −++−−−==<+++， 即
a m a
b m b
+<+，故D 错误. 故选：BC.
10. 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]2=.令函数()[]f x
x x =−，以下结论正确的有（ ） A. ( 1.7)0.3f −=
− B. ()f x 的最大值为0，最小值为1−
C. (1)()f x f x −=
D. ()y f x =与1y x =
−+的图象没有交点 【答案】AC 【解析】
【分析】对于A 选项，代入计算出()( 1.7)[ 1.7] 1.7(2) 1.70.3f −=−−−=−+=−；C 选项，根据定义得
到(1)[]()f x x x f x −=
−+=，C 正确；B 选项，由C 选项得到()f x 的周期为1，并得到当0x =时，(0)0f =，当01x <<时，()(0,1)f x x =−∈，当1x =时，(1)0f =，得到最值；D 选项，画出
()y f x =的图象，数形结合得到交点个数.
【详解】对于A ，由题意得()( 1.7)[ 1.7] 1.7(2) 1.70.3f −=−−−=−+=−，故A 正确；
对于C ，(1)[1](1)([]1)1[]()f x x x x x x x f x −=
−−−=−−+=−+=，故C 正确； 对于B ，由选项C 可知，()f x 是周期为1的周期函数， 则当0x =时，(0)[0]00f −，
当01x <<时，()[]0(1,0)f x x x x x =
−=−=−∈−， 当1x =时，(1)[1]1110f =−=−=，
综上，()f x 的值域为(]10−，
，即()f x 的最大值为0，无最小值，故B 错误；
对于D ，由选项B ，可知()0,0,010,1x f x x x x =
=−<< = ，且()f x 的周期为1，
作出()y f x =与1y x =
−+的图象， 如图所示，由图象可知()y f x =与1y x =
−+的图象有无数个交点，故D 错误，
故选：AC ．
11. 已知函数()tan f x x =，下列命题正确的是（ ） A. 若1()2f x =
，则
sin cos 1
5cos sin 3
x x x x +=− B.
不等式
()f x ≥
解集是π2 C. 函数2
()4()y
f x f x =−+，ππ,44x
∈−
的最小值为5− D. 若π132f x −=
，且π02x <<
，则πsin 6x +
【答案】ACD 【解析】
【分析】利用弦化切可判断A ；根据正切函数的图象与性质可判断B ；利用换元法转化为二次函数的最小值问题可判断C ；根据π132f x −=
和π
02x <<得到ππ033x <−<和cos 3x −
π，再利用诱导公式可判断D.
【详解】对于A ， 1
tan 2
x =，∴
1
1
sin cos tan 11215cos sin 5tan 352
x x x x x x +++===−−−，故A 正确；
的
对于B
，tan x ≥
πππ,π32k k ++ ，故B 错误；
对于C ，当ππ,44x
∈−
时，令tan t x =，[]1,1t ∈−， ∴()2
2424y t t t =−+=−−+，∴当1t =−时，min 5y =−，故C 正确；
对于D ，若π
02x <<
，则πππ633
x −<−<，
π1
032
f x −=> ，∴ππ033x <−<，
ππ1tan 332f x x −=−=
，且22ππsin cos 133x x −+−= ，
解得πcos 3x −
，
∴ππππsin sin cos 6233x x x +=−−=−=
. 故选：ACD
12. 已知函数()()2
2, 2,ax x a
f x x x a
−+≥ = − ，则下列结论正确的是（ ） A. 当0a =时，()f x 的最小值为0
B. 若()f x 存在最小值，则a 的取值范围为(,0]−∞
C. 若()f x 是减函数，则a 的取值范围为(0,2]
D. 若()f x 存在零点，则a
的取值范围为
((
,(2,)−∞+∞
【答案】BCD 【解析】
【分析】A 选项画出草图即可；B 选项算出左右两侧函数的最值比大小即可；C 选项判断左右两侧函数的增减性即可，D 选项分四种情况讨论即可解答. 【详解】对于A 选项：
当0a =时，()()2
2,0
2,0
x f x x x ≥ = −< 的图像如下：
故此时，min 2f =.故A 选项不对. 对于B 选项：
当(,0]a ∈−∞时，()()2
2,2,ax x a
f x x x a
−+≥ = −< 当2x a <<时，()
()
2
2f x x =−单减，此时()()
2
min 2f f a a =
=−，
当x a ≥时，()002a a f x ax ≤⇒−≥⇒=
−+单调增，故()2
min 2f f a a ==−+， 因为()2
210a −>；所以22420a a −+>；所以22442a a a +−>−+； 即()2
222a a −>−+；
当(,0]a ∈−∞时，()f x 的最小值为：()2
2,0a a −+≤.
故B 选项正确. 对于C 选项：
当02a <≤时，x a <时，()
()
2
2f x x =−单减，
此时()2f x ax =
−+的斜率为负，故此当x a ≥时，()f x 单减， 故C 选项正确.
对于D 选项：此时要对a 分类讨论；
分类讨论一：当2a >时，()f x 一定有零点2x =； 分类讨论二：当0a =时，由A 选项可知此时无零点； 分类讨论三：当02a <≤时，
当x a <时，()()()2
20,f x f a a >=−>此时左区段无零点；
当x a ≥时，函数右区段表达式为()2f x ax =
−+，此时直线单减， 故()2
max 20f f a a ==−+≥才会有零点；
解不等式22202a a a −+≥⇒≤⇒≤≤.
a ≤≤与02a <≤取交集有：0a <≤；
分类讨论四：当a<0时，
由B 选项的讨论过程可知：此时函数图像左区段单减，左区段单增；
因为2x =不在左区段的定义域内，故()()()2
2,f x x x a =−<区段上无零点；
要使()f x 存在零点，则零点必在右区段上； 即右区段的最小值必然小于等零，即()22
min 202f f a a a ==−+≤⇒≥
即a ≥a ≤
上式再与a<0取交集有：a ≤
综上所述：若()f x 存在零点，则a 的取值范围为((
,(2,)∞∞−∪∪+.
故D 选项正确.
故选：BCD. 三、填空题：本题共45分，共20分. 13. 232
8log 32ln1++=__________. 【答案】9
【解析】
【分析】根据指数以及对数的运算法则，即可求得答案. 【详解】22
3533228log 32ln12log 2ln1×++=++
4509=++=，
故答案为：9
14. 已知幂函数()y f x =的图象过点(，则12f =
__________.
【解析】
【分析】根据幂函数的定义分析求解.
【详解】设幂函数(),α
α=∈f x x R ，
由题意可得：
1222α=，解得12α=， 则(
)1
2f x x ==
，所以12
= f .
15. 已知函数
2()log (1)f x x =+，若1a b −<<，且()()f a f b =，则2a b ++的取值范围是
__________.
【答案】(2,)+∞
【解析】 【分析】去绝对值，结合对数运算及对勾函数的单调性即可求解. 【详解】函数2()log (1)f x x =+，当0x ≥时，2()log (1)=+f x x ，
当10x −<<时，2()log (1)f x x =
−+， 则()f x 在(1,)+∞单调递增，在(1,0)−单调递减，
故10a −<<，0b >，
由()()f a f b =，则22log (1)log (1)a b +=+，
即22log (1)log (1)a b −+
=+，所以2log (1)(1)0a b ++=， 即(1)(1)1a b ++=，则111
b a +=+， 所以12(1)(1)(1)(1)a b a b a a ++=+++=++
+， 令1x a =+，则01x <<， 则设函数1()g x x x
=+， 任取12,(0,1)x x ∈，不妨设1201x x <<<，
因为()()12121211g x g x x x x x −=+−−()()121212
1x x x x x x −−=，
当1201x x <<<，所以120x x −<，120x x >，1210x x −<，所以
()()12121210x x x x x x −−>，
所以()()120g x g x −>，即()()12g x g x >，
所以()g x 在区间(0,1)上单调递减．
则当1x →时， (1)2f →，
当x →+∞时，()f x →+∞，
故2a b ++的取值范围是(2,)+∞
故答案为：()2,+∞ 16. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()211212
0x f x x f x x x −>−，若(2)4f =，则不等式()20f x x −≤的解集为__________. 【答案】(](]0,2,2−∞−
【解析】
【分析】先得到()()f x g x x =在()0,∞+上单调递增，且()()f x g x x =为偶函数，故()()f x g x x =在(),0∞−上单调递减，分0x >与0x <两种情况，结合(2)4f =，得到不等式的解集.
【详解】不妨设120x x >>，由()()211212
0x f x x f x x x −>−得()()21120x f x x f x −>， 即()()()()12211212
f x f x x f x x f x x x >⇒>， 故()()f x
g x x
=在()0,∞+上单调递增， 因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x −=
−， ()()f x g x x =的定义域为()(),00,∞−+∞ ，且()()()()f x f x g x g x x x
−−−===−−， 故()()f x g x x =为偶函数，()()f x g x x
=在(),0∞−上单调递减，
当0x >时，()()()2022f x f x x f x x x
−≤⇒≤⇒≤， 因为()24f =，所以()()2222
f g ==，故()()22f x x f ≤， 即()()2g x g ≤，解得02x <≤，
当0x <时，()()()2022f x f x x f x x x
−≤⇒≤⇒≥， 因为()22g =，所以()22g −=
，故()()2g x g ≥−， 解得2x ≤−，故不等式的解集为(](]0,2,2−∞− .
故答案为：(](]0,2,2−∞−
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 若角θ的终边经过点()1,02P m m −
>
，且sin θ=. （1）求m ； （2）求()()
πcos tan π2sin πθθθ +++
−的值. 【答案】（1
（
2）1+【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义直接求解即可；
（2）利用诱导公式化简，然后求值即可.
【小问1详解】
角θ的终边经过点1,(0)2P m m −>
，
∴sin θ=，
∴m =； 【小问2详解】
由（1）知角θ
的终边经过点12P − ，
∴sin θ==，
tan θ==， ∴()(
)πcos tan πsin tan 21sin πsin θθθθθθ +++ −+ ==+−−18. 设全集为R ，集合{}2560A x x x =−−>，{}121B x a x a =+<<−
（1）若4a =，求A B ∪，A B ∩R ；
（2）若()
A B =∅R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}15A B x x x ∪=−或；{}=17A B x x x ∩<−≥R 或
（2）(][),25,−∞∪+∞
【解析】
【分析】（1）求出集合A ，B ，再利用交并补运算求解即可；
（2）讨论B =∅和B ≠
∅. 【小问1详解】 {}{}
256016A x x x x x x =−−>=−或， 当4a =时，{}57B
x x =<<，{}=57B x x x ≤≥R 或 ， ∴{}15A B x x x ∪=−或，{}=17A B x x x ∩<−≥R 或 ； 【小问2详解】
{}=16A x x −≤≤R ，
当B =∅时，121a a +≥−，即2a ≤，符合()
A B =∅R ； 当B ≠∅时，121,16,a a a +<− +≥ 或121,211,a a a +<− −≤−
解得5a ≥，
综上2a ≤或5a ≥.
∴实数a 的取值范围为(][),25,−∞∪+∞.
19. 已知函数2()121
x a f x =+
−为奇函数. （1）求a 的值；
（2）判断函数()f x 在(0,)+∞内的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.
【答案】（1）1a =
（2）函数()f x 在(0,)+∞内单调递减，证明见解析
【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义()()f x f x −=
−，通过变形即可求解； （2）任取120x x <<，可证()()120f x f x −>，从而得出结论.
【小问1详解】
函数的定义域为()(),00,∞−+∞ ，
由()()f x f x −=
−得22112121x x a a − +=−+ −−
，整理可得1a =； 【小问2详解】 函数()f x 在(0,)+∞内单调递减；证明如下：
由（1）知2()121
x f x =+-， 在()0,∞+上任取1x ，2x ，且12x x <，
()()()()()()()()()
2121121212122212212222211212121212121x x x x x x x x x x f x f x −−−−−=+−−==−−−−−−， 由120x x <<，得1210x −>，2210x −>，21220x x −>，
所以()()120f x f x −>，即()()12f x f x >，
所以函数2()121
x f x =+-在()0,∞+内单调递减. 20. 已知函数
π()2sin 23f x x
=− ，x ∈R . （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若函数()()g x f x m =−在区间π0,2
上有两个零点，求m 的取值范围. （3）若函数π()()()6h x f x k x k
=−−∈
R 有且仅有3个零点，求所有零点之和. 【答案】（1）()π5ππ,πZ 1212k k k
−+∈
（2）m ∈ （3）π2
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的单调增区间即可得出答案；
（2）由题可知()f x m =在区间π0,2
内有两个相异的实根，即()y f x =图像与y m =的图像有两个不同的交点结合图像可得结果. （3）π6y k x
=− 关于π,06 成中心对称，而π()2sin 23f x x =− 关于π,06
成中心对称，设三个零点为123,,x x x ，则
13ππ,266x x x +==，即可得出答案. 【小问1详解】 由()πππ2π22πZ 232k x k k −≤−≤+∈，得()π5πππZ 1212
k x k k −≤≤+∈. 故函数()f x 的单调递增区间为：()π5ππ,πZ 1212k k k −
+∈
【小问2详解】 若函数()()g x f x m =−在区间π0,2
上有两个零点， 令()0g x =，即()y f x =与y m =在区间π0,2
上有两个交点， 令π23t x =−，由π0,2x ∈ ，则ππ2π2,333x −∈− ， 即sin y t =与y m =在区间π2π,33 −
上有两个交点，
画出sin y t =与y m =在区间π2π,33 −
上的图象，如下：
由图可知：m ∈
. 【小问3详解】 函数π()()()6h x f x k x k
=−−∈
R 有且仅有3个零点， 因为π6y k x
=− 关于π,06
成中心对称， 而π()2sin 23f x x =−
关于π,06 成中心对称， 设三个零点为123,,x x x ，则132ππ,266x x x +==， 所以所有零点之和πππ2662
+×=. 21. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x 吨与年促销费用t 万元之间满足函数关系式22k x t =−
+（k 为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.
（1）求k 值；
（2）将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数；
（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？
（注：利润=销售收入−生产成本−促销费，生产成本=固定费用+生产费用）
【答案】（1）=2k
（2）()321670222
y t t t =−−+≥+ （3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.
【解析】
【分析】（1）依题意当=0t 时，=1x 代入计算可得；
（2）依题意求出当年生产x 吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润；
（3）由（2）可得322692
22t y t + =
−++ + ，利用基本不等式计算可得. 小问1详解】 由题意可知，当=0t 时，=1x ，所以1
22k =−，解得=2k ； 小问2详解】
由于=2k ，故222
x t =−+， 由题意知，当年生产x 吨时，年生产成本为：232332232x t
+=−+ +
， 当销售x 吨时，年销售收入为：3213223222
t t −++ + ， 由题意，
3212322332232222y t t t t =−++−−+− ++ ， 即()32167022
2y t t t =−−+≥+. 【小问3详解】 由（2）知：()321670222y t t t =
−−+≥+， 即32269322692222
22t t y t t ++ =−−+=−++ ++
6926.52
≤−=， 当且仅当
32222t t +=+，又22t +≥，即6t =时，等号成立. 此时，max 26.5y =
该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.
【【.
22. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><图象的对称轴与对称中心之间的最小距离为π4，且满足ππ()()1212
f x f x +=−−. （1）求()f x 的解析式； （2）已知函数2()23h x tx x =++，若有且只有一个实数a ，对于1ππ[
,]123x ∀∈，2[0,2]x ∃∈，使得21)()(2h x a f x =−，求实数t 的值.
【答案】（1）
π()2sin(2)6f x x =−；
（2）12−. 【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合“五点法”作图求出,ωϕ即可. （2）求出函数()f x 在ππ[
,]123上的值域，再根据给定条件，借助集合的包含关系分类讨论求解. 【小问1详解】
依题意，函数()f x 的周期π4π4T =×
=，则2π2T
ω==， 由ππ()()1212f x f x +=−−，得函数()f x 图象的一个对称中心为π(,0)12， 即有π2π,Z 12k k ϕ×+=∈，而π||2ϕ<，则π0,6k ϕ==−， 所以()f x 的解析式为π()2sin(2)6
f x x =−. 【小问2详解】 由（1）知，
π()2sin(2)6f x x =−，当ππ[,]123x ∈时，ππ2[0,]62x −∈， 因此()f x 在ππ[,]123
上单调递增，函数值集合为[0,2]，2()a f x −值域为[22,2]a a −， 由有且只有一个实数a ，对于1ππ[,]123
x ∀∈，2[0,2]x ∃∈，使得21)()(2h x a f x =−， 得函数()h x 在[0,2]上的值域包含[22,2]a a −，并且实数a 唯一， 当0t ≥时，函数2()23h x tx x =++在[0,2]上单调递增，()h x 的值域为[3,47]t +，
由[22,2][3,47]a a t −⊆+，得223247
a a t −≥ ≤+ ，解得57222a t ≤≤+，显然符合条件的实数a 不唯一；
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当0t <时，函数()h x 的图象对称轴为1x t =−， 当1
2t −≥，即102
t −≤<时，()h x 在[0,2]上单调递增，()h x 的值域为[3,47]t +， 于是223247a a t −≥ ≤+ ，解得527
22a a t ≥ ≤+ ，显然57222t ≤+，当且仅当12t =−时，52a =且唯一，因此12
t =−； 当1
02t <−<，即2
1t <−时，max 11()()3h x h t t =−=−，(0)3h =，(2)47h t =+， 当()0h 是最小值时，而1
133(0,2)t t −−=
−∈，不满足函数()h x 在[0,2]上的值域包含[22,2]a a −，则()0h 不是最小值， 必有13(47)2t t −−+≥
，得t ≤，于是1232247a t a t ≤− −≥+ ，解得3122922a t a t ≤− ≥+
，
当t =
时，31322t −=
9232t +=−
3a =且唯一，
并且当t <时，9312222t t +<−，9312222t a t +≤≤−，实数a
不唯一，因此t = 所以实数t
的值是t =12t =−. 【点睛】结论点睛：函数()[],,y f x x a b ∈，()[],,y g x x c d ∈，若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。