数学：1.2《点、线、面之间的位置关系的复习》课件(苏教版必修2)
苏教版高中数学必修二秋第1章1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系1.2.4平面与平面的位置关系建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共50分）1．给出下列命题:①若直线a∥直线b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内;②直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的直线有且只有一条;③a∥α，b、cα，a∥b，b⊥c，则有a⊥c;④过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行.其中正确的是.2.a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出四个命题：①∥c，∥c⇒∥；②∥，∥⇒∥；③∥c，∥c⇒∥；④∥，∥⇒∥.其中正确的命题是 .3．设直线a，b分别是长方体相邻两个平面的对角线所在的直线，则a与b的位置关系是．4．如图，是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱，的中点，P是上底面的棱AD上一点，AP= ，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= .5. 已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题:①若α∩β=a，β∩γ=b且a∥b，则α∥γ;②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β;③若α⊥β，α∩β=a，b⊂β，a⊥b，则b⊥α;④若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确的是.6. 已知平面α∥β，△ABC，△分别在平面α，β内，线段，，共点于O，O在α，β之间，若AB=2，AC=1，BC= ，△的面积是，则= .7.设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有P A=PC，PB=PD，则PO与平面ABCD的位置关系是.8.设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”正确的是____________（填序号）.①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面.9.若三个平面两两垂直，则它们的交线.10.下面三个结论:①三条共点的直线两两互相垂直，分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直;②分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直;③分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直.其中正确结论的序号是.二、解答题（共50分）11.(12分)如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证:SA∥平面MDB12．（12分）如图，在长方体中，试作出过AC且与直线平行的截面，并说明理由.13.（13分）如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱上，点F在侧棱上，且AE = 22，BF =2.(1)求证：CF⊥；(2)求二面角的大小.14.（13分）如图，在棱长为a的正方体中，M，N分别是，的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.（1）画出l的位置；（2）设l∩=P，求的长．第14题图一、填空题1．①③2．②解析：②正确，①错在与可能相交，③④错在可能在内.3．可能相交，也可能是异面直线解析：如图所示，a与b相交；a与b′异面．第3题答图4．a解析：如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP= ，∴ = = = ，∴PQ= AC= a.5. ②③解析：可通过公理、定理判定命题正确，通过特例、反例说明命题错误.①如图，在正方体-ABCD中，平面D∩平面=CD，平面∩平面，且CD∥，但平面D与平面不平行，①错误.②因为a、b相交，可设其确定的平面为，根据∥，∥，可得∥，同理可得∥，因此∥，②正确.③根据平面与平面垂直的判定定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，③正确.④当直线a∥b，垂直于平面内的两条不相交直线时，得不出l⊥，④错误.6. 解析：因为平面∥，平面∩平面=AB，平面∩平面，所以AB∥.同理AC∥，BC∥，可得两三角形相似.因为AB=2，AC=1，BC=5，所以，所以= ×2×1=1.所以== ，所以= .7.垂直解析：因为PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC，同理PO⊥BD，所以PO⊥平面ABCD.8.②③解析：因为垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都可以，所以①错误.根据线面垂直的性质②③正确.垂直于同一个平面的两个平面可能相交、平行和垂直，所以④错误，故正确的有②③.9.互相垂直解析：如图，设∩=AB，∩=AC，在内取点P，过P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N.∵⊥，∴PM⊥.又∵∩=，∴PM⊥.同理可得PN⊥，∴⊥，∴⊥AB，⊥AC.同理可证AB与AC垂直.10.①②解析：分别经过两条互相垂直的直线的平面有无数个，但不一定互相垂直，所以③错误.二.解答题11. 证明：如图，连接AC交BD于N，连接MN.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点N是AC的中点.又因为点M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN⊂平面MDB，SA平面MDB，所以SA∥平面MDB.12. 解：如图，连接DB交AC于点O，取的中点M，连接MA，MC，MO，则截面MAC即为所求作的截面.因为MO为△的中位线，所以∥MO.因为⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，所以∥平面MAC，则截面MAC为过AC且与直线平行的截面.13.(1)证明：由已知可得，，== 6， = 6，于是有，所以⊥EF，⊥CE.又EF∩CE=E，所以⊥平面CEF.又CF⊂平面CEF，故CF⊥.(2)解：在△CEF中，由(1)可得EF=CF=6，CE=23，于是有，所以CF⊥EF.又由(1)知CF⊥，且EF∩=E，所以CF⊥平面.又⊂平面，故CF⊥.于是∠即为二面角的平面角.由(1)知△是等腰直角三角形，所以∠=45°，即所求二面角的大小为45°.14.解：（1）如图，QN即为所求作的直线l.第14题答图（2）设QN∩=P，∵△≌△MAD，∴，∴是的中点．又∥，∴===．∴=a－=。
苏教版高中数学必修2第1章 立体几何初步点、线、面之间的位置关系课件14
斜线和平面的交点 叫做斜足。 从平面外一点向平 面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点 到这个平面的斜线段
R
(３)射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在 这个平面上的射影． 垂足与斜足间的线段叫做这点到平 面的斜线段在这个平面上的射影．
A
直线BC 如图：＿＿＿＿是斜线 AC 在 内的射影，线段BC是
复习回顾：
空间直线和平面有几种位置关系？
l
l
l
l
A
m
l
l //
l A
l
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
大桥的桥柱与水面垂直
大漠孤烟直
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
α内过点B的直线⊥ AB所在直线 α内不过点B的直线⊥ AB所在直线 α内任意一条直线 ⊥ AB所在直线
巩固练习：
2、过ΔABC所在平面α外一点P,作PO ⊥α,垂足 为O,连接PA,PB,PC.
外 . 1).若PA = PB = PC,则O是ΔABC的_____心 中点. 2).若PA = PB = PC,∠C = 900 ,则O是AB边的__
*3).若PA ⊥ PB,PB ⊥ PC,PC ⊥ PA,则O是ΔABC
B
A D O
C
O为三角形ABC的垂心
已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形 ABC的三条边的距离相等,试判断点P在 底面ABC的射影的位置？
P
O为三角形ABC的内心
O E A F
B
高中数学第1章立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关
方法归纳 直线与平面垂直的判定定理是证明直线与平面垂直的主要 方法．线面在垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面 垂直，关键是找平面内的两条相交直线与已知直线垂直．
1．若在本例中增加“AE⊥PB，垂足为 E”这个条件，其余条 件不变．求证：PB⊥平面 PA⊥BM
符号 a⊥m，a⊥n，__m__∩__n_＝__A_____，_m__⊂_α_，__n__⊂_α____， 表述 则a⊥α
(2)直线与平面垂直的性质定理
文字语言
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直 线_____平__行_______
符号语言
a⊥α b⊥α⇒
_____a_∥__b______
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
3.距离 (1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点 和____垂__足_____间的距离，叫做这个点到这个平面的距离． (2)直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直 线上___任__意__一__点_____到这个平面的距离，叫做这条直线和这 个平面的距离．
[证明] 如图，连结 AB1、B1C、BD、B1D1， ∵DD1⊥平面 ABCD，AC⊂ 平面 ABCD， ∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD，BD∩DD1＝D， ∴AC⊥平面 BDD1B1， ∴AC⊥BD1. 同理可证 BD1⊥B1C. 又 B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面 AB1C. 又 EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又 EF⊥AC，AC∩B1C＝C. ∴EF⊥平面 AB1C.∴EF∥BD1.
点M为圆周上一点，AB为 ⇒ BM⊥平面PAM⇒ 直径⇒ BM⊥AM PA∩AM＝A
BM⊥AN AN⊥PM
⇒ AN⊥平面 PBM⇒
高中数学1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系第一课时直线与平面平行课件苏教版必修2
直线a在平面α外
直线a与
直线a与
平面α相交
平面α平行
__有__且__只__有__一__个 公共点
_没__有__公__共__点_
__a_∩ ___α_＝__A____
__a_∥__α__
图形表示
[点睛] 利用公共点的个数可以判断直线与平面的位置关系．
2．直线与平面平行的判定定理
空间线线平行与线面平行的证明
[典例] 如图所示，四边形ABCD是平行 四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的 中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交 平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
[证明] 如图所示，连结AC交BD于点O，连结MO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点． 又M是PC的中点，∴AP∥OM. 又AP⊄平面BMD，OM⊂平面BMD， ∴AP∥平面BMD.又∵AP⊂平面PAHG， 平面PAHG∩平面BMD＝GH.∴AP∥GH.
(1)利用直线与平面平行的性质定理的关键是寻找经 过该直线的平面与已知平面的交线，将线面平行转化为 线线平行．
(2)直线与平面平行的性质定理也是证明空间两直线 平行的基本方法；同时它为证明线面平行探求解题思路 提供理论依据．
[活学活用] 已知直线l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点 的平面AB1D1与平面ABCD所在平面的交 线．求证：B1D1∥l. 证明：连结BD，∵BB1∥DD1，BB1＝DD1， ∴四边形BDD1B1是平行四边形， ∴B1D1∥BD. ∵B1D1⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴B1D1∥平面ABCD， ∵平面AB1D1∩平面ABCD＝l，B1D1⊂平面AB1D1，∴B1D1∥l.
1．2.3 直线与平面的位置关系
苏教版高中数学必修二点、线、面之间的位置关系二十二课件
α
C
E
A’
l
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AE=A’E
AB=A’B
B
m gn D
α
C
E
A’
l
A
AE=A’E
AB=A’B
B
g
α
E
A’
l
A
B
Eg
AE=A’E
AB=A’B
l ⊥g
α
A’
直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
注：m α
nα
m∩n=B
l ⊥m l ⊥n
α
a
β
γ
bEc
例3 已知：正方体
中，AC是面对角线，
D′
BD’是与AC 异面的
体对角线。
A′
求证：AC⊥BD’
D
A
C′ B′
C B
证明：
连接BD ∵正方体ABCD-A’B’C’D’
D’
∴DD’⊥正方体ABCD A’
∵AC、BD 为对角线
∴AC⊥BD
∵DD’∩BD=D
D
∴AC⊥△D’DB
∴AC⊥BD’
l ⊥α
小结
这个定理还说明这样一个事实，的确存 在着和一个平面内一切直线都垂直的直线， 从而得证了直线和平面垂直的合理性。
这个定理不仅提供了判定直线和平面垂 值得一种方法，而且还是证明直线和直线 互相垂直的一种常用的方法，即要想证明 a⊥b，只需证a与b所在平面内的两条相交 直线垂直（或证b与a所在平面内的两条相 交直线垂直）。
5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边， 能否断定这条直线和三角形的第三条边垂 直？为什么？
1.2点、线、面之间的位置关系的复习ppt 苏教版
读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。 ---歌德 书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。 ---莎士比亚 书籍是巨大的力量。 ---列宁 好的书籍是最贵重的珍宝。 ---别林斯基 任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。 ---马克思 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料。 ---雨果 喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。 ---孟德斯鸠 如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。 ---霍伯斯[英国作家] 读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。 ---克尼雅日宁[俄国剧作家・诗人] 要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。 ---法奇(法国科学家) 了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。 ---麦考利[英国作家] 读书而不回想，犹如食物而不消化。 ---伯克[美国想思家] 读书而不能运用，则所读书等于废纸。 ---华盛顿(美国政治家) 书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。 ---彼特拉克[意大利诗人] 生活在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。 ---高尔基 读书越多，越感到腹中空虚。 ---雪莱(英国诗人) 读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。 ---富兰克林 书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。 ---伏尔泰(法国哲学家、文学家) 读书破万卷，下笔如有神。---杜甫 读万卷书，行万里路。 ---顾炎武 读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。 ---朱熹 读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。 ---鲁迅 读书之法，在循序渐进，熟读而精思。 ---朱煮 读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。 ---胡居仁[明] 读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。 ---吴晗 看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析资料，找出其中的相互关系，是做学问的一种方法。---顾颉刚 书犹药也，善读之可以医愚。 ---刘向 读书破万卷，胸中无适主，便如暴富儿，颇为用钱苦。 ---郑板桥 知古不知今，谓之落沉。知今不知古，谓之盲瞽。 ---王充 举一纲而万目张，解一卷而众篇明。 ---郑玄
苏教版高一数学必修2电子课本课件【全册】
第四章 平面解析几何初步
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1.2 点、线、面之间的位置关系
苏教版高一数学必修2电子课本课 件【全册】来自 1.3 点、线、面之间的位置关系
苏教版高一数学必修2电子课本 课件【全册】目录
0002页 0126页 0273页 0303页
第三章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 第四章 平面解析几何初步 2.2 圆与方程
第三章 立体几何初步
苏教版高一数学必修2电子课本课 件【全册】
1.1 空间几何体
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理1： 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． l⊥a
l⊥b
a⊂ l⊥ * 线线垂直 线面垂直
第1章 立体几何初步
b⊂
a∩b＝A
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直的判定定理2： 求证： 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
—— 直线a的垂面；
P —— 垂足．
a⊥，l⊂ a⊥l．
第1章 立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2
1.2 点、线、面之间的位置关系
过一点有 无数
条直线与已知直线垂
直；
过一点有且只有一 条直线与已知平面垂 直； 过一点有且只有一 个平面与已知直线垂 直．
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
苏教版高中数学教材必修2 第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
P
A
l
一条直线和一个
平面相交但是不 垂直，称这条直 线为这个平面的斜线； 斜线和平面的交点叫 做斜足；
R
Q
A’
从平面外一点向平面引斜线，点与斜足间的线
段叫做点到平面的斜线段； 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的
判断：
1．a∥b，b∥c，则a∥c． T
2．a⊥b，b⊥c，则a∥c． F 3．a⊥b，b∥c，则a⊥c． T
苏教版高中数学教材必修2
第1章
立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
直线与平面垂直：
如果一条直线a与一个平面内的任意一
1.2《点、线、面之间的位置关系的复习》课件(苏教必修2)
必修2第二章点线面的位置关系
复习
线面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直。
I I m ua
n ua
m C\ n = B A
I Vm
2丄〃> 5个条件简记：线线垂直，则线面垂直关键：线不在多，相交则行
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平
符号:
OU0 a丄面a
简记=线面垂直，则面面垂直
线线垂直线面垂直面面垂直
线面垂直的性质
•线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
b J^a//b Al B
面面垂直的性质
•面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
a I 0 = 1
'二丄Q
d U 0
d丄/
1==＞线1=
Di
BC{丄B{C
BC{丄A{B{
B{C I A[B[ = B{ >
B X
C u 平面AQCQ
A{B u 平t^A^CD
=＞平面丄平面
AQCD d BC X丄平面4QCD
BC1 u 平面ABC]。
•正方体中包含了丰富的线面关系
线面垂直关系——对角线和对角面垂直
•正方体中包含了丰富的线面关系A
线面垂直
•正方体中包含了丰富的线面关系
线面垂直关系——对角线和对角面垂直
•正方体中包含了丰富的线面关系线面垂直关系——对角线和对角面垂直
•正方体中包含了丰富的线面关系线面垂直关系——对角线和对角面垂直。
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第2节点、线、面之间的位置关系
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法二： ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
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D [A错误，不共线的三点可以确定一个平面． B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面． C错误，四边形不一定是平面图形． D正确，两条相交直线可以确定一个平________．
α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A [由题图可知平面 α 与平面 β 相交 于直线 m，且直线 n 在平面 α 内，且与直线 m 相交于点 A，故用符 号可表示为：α∩β＝m，n α 且 m∩n＝A.]
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2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)理解平面的概念及空间图形画法要求． (2)文字语言、符号语言、图形语言的转换方法． (3)证明点、线共面的方法． (4)证明点共线、线共点的方法． 3．本节课的易错点是平面基本性质运用中忽略重要条件．
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当堂达标 固双基
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1．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述不正确的个数( )
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，画出平面ACD1与平面BDC1的 交线，并说明理由．
[解] 设AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，连结MN，则平面ACD1 ∩平面BDC1＝MN，
如图．理由如下： ∵点M∈平面ACD1， 点N 平面ACD1， 所以MN 平面ACD1.
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同理，MN 平面BDC1， ∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1与平面BDC1 的交线．
数学：1.2《点、线、面之间的位置关系--平面的基本性质2》课件(苏教版必修2)
P 符号语言： l且P l P
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 符号语言：A, B, C三点不共线 有且只有一个平面，使A , B , C
1．点P在直线l上，而直线l在平面 内，用符号表示为（ D ）
P l A． P l C．
P l B． P l D．
2．下列推理，错误的是（ C ） A．A l , A , B l , B l B．A , A , B , B AB
l , A l A C．
D． A, B, C , A, B, C , 且A, B, C不共线 与 重合
平面的基本性质（2）
一、复习回顾
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 内 直线l在平面 外
●
A
●
l
A
l
●
A
●
A
l l l
Al Al A A
l
l
3、平面的基本性质的三种语言描述：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直 线上所有的点都在这个平面内. B A A 符号语言： 直线 AB B 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点， 这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
证明： 假设AB和CD平行或相交，则AB，CD可确定一个平面
AB , CD A、B、C、D
与A、B、C、D不共面矛盾
AB和CD既不平行也不相பைடு நூலகம்．
数学运用
画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长 方体表面所在平面的交线。
苏教版高中数学必修2第1章 立体几何初步点、线、面之间的位置关系课件29
EC和EG与平面ABCD所成的角分别是？ ∠ACE
线面角的计算小结:
1、找出或作出线面角; 2、证明（1）中的角就是所求的角; 3、求出此角的大小。
步骤: 一“作”二“证”三“求”
关键：确定斜线在平面内的射影.
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
A D C
∠BAC >∠BAD
α
最小角原理：斜线和平面所成的角，是 这条斜线和平面内经过斜足的直线所成 的一切角中最小的角。
思考7:两条平行直线与同一个平面 所成的角的大小关系如何？反之成 立吗？一条直线与两个平行平面所 成的角的大小关系如何？
α
思考8:过平面α外一点P引平面α的 斜线，斜足为A，若斜线PA与平面α 所成的角为50°，那么点A在平面α 内的运动轨迹是什么图形？
2.3.1
直线与平面垂直的判定
第二课时 直线和平面所成的角
问题提出
1.直线和平面垂直的定义和判定 定理分别是什么？ 定义：如果一条直线与平面内的任 意一条直线都垂直，则称这条直线 与这个平面垂直.
定理：如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面.
2.当直线与平面相交时，对于直线 与平面垂直的情形，我们已作了一些相 关研究，对于直线与平面不垂直的情形， 我们需要从理论上作些分析.
B
α
A
O
思考5:如图，过平面α内一点P引平 面α的两条斜线PA、PB，这两条斜 线段在平面α内的射影分别为PC、 PD，如果PA>PB，那么PC与PD的大 小关系确定吗？ A
B:如图，直线l是平面α的一条 斜线，它在平面α内的射影为b，直 线a在平面α内，如果a⊥b，那么直 线a与直线l垂直吗？为什么？反之成 立吗？
苏教版高中数学必修2第1章 立体几何初步点、线、面之间的位置关系课件9
第八章
8.7
立体几何中的向量方法
知识梳理 双击自测 核心考点
考纲要求
-7-
4.利用空间向量求距离 (1)两点间的距离 设点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2),则
|AB|=|������������|= (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 .
∴cos< ������������1 , ������������1 >=|������������1||������������1 | =
1 1
������������ · ������������
4-1
√5× √9
=
1
√5
=
√5
√5 5
>0.
关闭
∴ ������������1 与 ������������1 的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角 ,
第八章
考点1 考点2 考点3
8.7
立体几何中的向量方法
知识梳理 易错易混 双击自测 核心考点
考纲要求 知识方法
-14-
考点1利用空间向量证明平行、垂直 例1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四 边形ABCD中,∠B=∠C=90° ,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB 与平面ABCD所成的角为30° .
第八章
8.7
立体几何中的向量方法
知识梳理 双击自测 核心考点
考纲要求
-6-
(3)二面角 ①二面角的取值范围是[0,π] . ②二面角的向量求法: 若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则 二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①).
高中数学 1.21.2.4 平面与平面的位置关系课件 苏教版
①_作__出__(_或__找__出__)二；面角的平面角
②_证__明__这__个__角__是__二_；面角的平面角
栏 目
链
③_作__出__这__个__角__所__在_.的三角形，解三角形，求出角
接
10．两平面垂直的判定定理．
(1) 文 字 语 言 ： 如 果 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的
___于__棱__的__射__线__O_A__和__O_B__，__则__射__线__O_A_和__O__B_构__成__的__∠__A__O_B____ 栏
目
叫做二面角α－l－β的平面角．二面角的大小用它的
链 接
__平__面__角__来度量．二面角的范围是__[0_°__，__1_8__0_°__] __，其中
(3) 若 两 个 平 面 平 行 ， 则 其 中 一 个 平 面 内 的 任 一 直 线
__必__平__行__于__另__一__个__平__面_____，简记为：“若面面平行，则线
栏 目
面 平 行 ” ． 用 符 号 表 示 是 ： 若 _α_∥__β_，__a_⊂__α____ ， 则
链 接
_____a_∥__β______．
当两个半平面重合时，二面角为0°；当两个半平面合成一
个平面时，二面角为180°.
(2)作出二面角的平面角时应抓住三个要素：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①_确__定__二__面__角__的__棱_；上一点
②_经__过__这__点__分__别__在_；两个面内引射线
栏 目
链
③_所__引__的__射__线__都_. 垂直于棱
接
(3)求二面角的平面角的大小步骤是：
(1)文字语言：如果_两_个__平__行__平__面__同_时__和__第__三__个__平_面__相__交_， 那么所得的两条交线平行，简记为：“若面面平行，则线线 平行”．
数学1.2《点、线、面之间的位置关系离》教案十二(苏教版必修2)
1．观察：①圆锥的轴与底面半径都垂直吗？为什么？②圆锥的轴与底面所有直线都垂直吗？为什么？③圆锥的轴与底面垂直吗？2．直线与平面垂直的定义：如果一条直线a 与一个平面α内的 直线都 ，那么直线a 与平面α互相垂直，记作 ．直线a 叫做平面α ；平面α叫做直线a 的 ；垂线和平面的交点称为 ． 思考：①正投影的投影线与投影面垂直吗？斜投影呢？②在空间过一点有几条直线与已知平面垂直？③在空间过一点有几个平面与已知直线垂直？3．从平面外一点引平面的垂线， ，叫做这个点到这个平面的距离．4．直线和平面垂直的判定定理语言表示：符号表示：4．直线和平面垂直的性质定理语言表示：符号表示：例题剖析例1 求证： 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．例2 已知直线l // 平面α，求证：直线l 各点到平面α的距离相等．根据例2给出直线和平面的距离定义： ． 巩固练习1．已知直线l ，m ，n 与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由：图形表示： 图形表示：（1）若l ⊥α，则l 与α相交；（2）若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α；（3）若l //m ，m ⊥α，n ⊥α，则l //n ．2．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中, 则1BD 与AC 的位置关系_________．1BD 与C B 1的位置关系_________． 进而可得BD 1与平面ACB 1的关系 ．3．某空间图形的三视图如图所示，试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系．4．如图，已知PA ⊥α，PB ⊥β，垂足分别为A ，B ，且α∩β=l ，求证：l ⊥平面APB ．课堂小结直线与平面垂直的定义，直线与平面平行的判定定理和性质定理． C A 1 α βlA B P课后训练一 基础题1．已知a ⊥平面α，b ⊂α，则a 与b 的位置关系是 ( )A 、a //bB 、a ⊥bC 、a 与b 垂直相交D 、a 与b 垂直且异面2．下列命题中正确的是(其中c b a ，，为不相重合的直线，α为平面) ( ) ①若b //a ，c //a ，则b //c ②若b ⊥a ，c ⊥a ，则b //c③若a //b ，b //α，则a //b ④若a ⊥α，b ⊥α，则a //bA ．①②③④B ．①④C ．①D ．④3．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，求证1BD ⊥AC ．4．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在平面，C 是圆上不同于B A ，的任一点，求证：BC ⊥平面PAC ．二 提高题5．已知，直线a //平面α，直线α⊥b ，求证：a ⊥b ．6．在三棱锥ABC P -中，顶点P 在平面ABC 内的射影是ABC ∆外心O ，求证：PC PB PA ==．三 能力题7．证明：过一点和已知平面垂直的直线只有一条． A B A B C D D 1 A 1 C 1 B 1 A O P C B。
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线面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直。
l
mα nα m∩n=B l⊥m l⊥n
5个条件
B
m
n
A
l ⊥α
简记：线线垂直，则线面垂直 关键：线不在多，相交则行
平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直. β
面面垂直的性质
面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一 个平面内垂直于交线的直线与另一个平面 垂直。
β
a l A
α
l a a al
面面垂直线面垂直
线面垂直
正方体中包含了丰富的线面关系
线面垂直关系——棱和侧面垂直
D1 C1
A1
D A
B1
C B
D1 A1 B1
C1
D
C
B A BC1 A1 B1 B1C A1 B1 B1 BC1 平面A 1B 1CD B1C 平面A1 B1CD BC1 平面ABC1D1 A1 B 平？都好点儿了吗？”一个试着走两步，说：“尽管这侧肩膀和腰腿还挺痛，但已经能走了！”另一个说：“我的头也不太晕了。”耿 正说：“你们再歇息一会儿。我先送我妹和我弟回去，然后就返回来。你俩都这样了，我得把你们送回去！”两个伙计都说：“不用送， 我们都好多了，可以自己回去的！”说着再走几步。耿正仔细看看，那个头上被打了个大包的伙计确实走得很稳了。至于那个肩膀和腰 腿受了伤的伙计，走起来虽然还有点儿一瘸一拐的，但也问题不大了，就问：“真不用我送了？”俩人都说：“不用送了，真得不用送 的！”耿正说：“那咱们现在就都回吧，两位老人有他们的两家邻居照看就行了。”说着，耿正扶着那个脑袋受伤的伙计，耿英和耿直 扶着那个一瘸一拐的伙计，一行人慢慢地走出门来往巷子口走去。一个伙计说：“说好了不送的，你们怎么？”另一个伙计说：“就是， 你们也回吧！”耿正说：“走吧，就送到巷子口上！”耿直问：“哥哥，那梁爷爷和梁奶奶他们没有儿女吗？”耿正说：“听那意思， 不像是有呢！”耿英说：“真够可怜的！”那个一瘸一拐的伙计也说：“唉，这可真是‘阎王爷不嫌鬼瘦’，这可恶的贼偏偏还偷了他 们！”“是啊，可怜的善良老人！”耿正叹息着，大家已经走到巷子口上了，兄妹三人放开手。耿正说：“你俩可要慢点儿走啊！”俩 人都说：“没事儿！你们也快回去吧！”看俩人慢慢地走远了，耿英放心地说：“看样子，他俩真没事儿了！”耿正轻轻地叹一口气说： “唉，大事儿是没有，但恐怕会痛几天呢。哼，这个可恨的窃贼！”说完，伸手揽过弟弟和妹妹的肩膀慢慢转回巷子里来。走到被窃小 院儿的门口时，耿正站住了，自言自语地说：“再进去看看，也解决不了什么问题了。”长叹一声，他上前来轻轻拉上院门儿。然后， 紧攥着弟弟和妹妹的手快步往出租房走去。太晚了，善良的房东夫妇还给他们留着门儿呢！兄妹三人急匆匆赶到小巷儿尽头，轻轻地推 开院门儿，轻手轻脚地走了进去。耿正回身轻轻关好院门儿，三人悄悄地回到了出租房内。他们实在是太累了，谁也没有提洗漱的事儿， 就一头和衣倒在床上呼呼大睡了。耿正一觉醒来，发现已经日上三竿了。他看一看身旁弟弟还在酣睡，想到今儿不用再去酒店上班了， 就静静地躺着没有动。忽然，听到院子里房东夫妇俩正在压低嗓音儿说话呢！丈夫说：“喏，你要的菜都买回来了！”妻子问：“怎么 走了这么长时间？”“呵，你不知道，巷子口上老梁头家昨儿个晚上遭贼了，听说还是咱家住的这个小哥儿给打跑的呢！我听了一会儿， 所以回来晚了。”“噢，我说呢，他们昨儿个晚上怎么回来的那么晚。你看，到这个时辰了还没有睡醒呢！”“是啊，这兄妹三个可真 不容易，每天都
平面ABC1D1 平面A1B1CD
线面垂直
正方体中包含了丰富的线面关系 线面垂直关系——对角线和对角面垂直
D1 A1 B1 C1
D
C
A
B
线面垂直
正方体中包含了丰富的线面关系 线面垂直关系——对角线和对角面垂直
D1 C1
A1 D
A
B1 C
B
线面垂直
正方体中包含了丰富的线面关系 线面垂直关系——对角线和对角面垂直
D1 A1 B1 C1
D A B
C
线面垂直
正方体中包含了丰富的线面关系 线面垂直关系——对角线和对角面垂直
D1 C1
A1
D A
B1
C B
线面垂直
正方体中包含了丰富的线面关系 线面垂直关系——对角线和对角面垂直
D1 C1
A1
D A
B1
C B
； /beijing30tian.htm 北京天气预报30天
a
A
α 符号: a a 面 简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直 线面垂直 面面垂直
线面垂直的性质
• 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的 两条直线平行。
a a // b b
a
b
a a b a // b a // b b