2019精品清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程三文档
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清华微积分高等数学课件第一讲函数
柯西中值定理
描述两个函数之间的关系和上 述中值定理的推广。
函数的零点和极值对函数形态和性质的影响。
通过组合和逆变换对函数进行操作和构造。
函数的极限
• 无穷小量和极限 • 极限的性质 • 极限的运算法则
连续性与间断点
连续函数 表现为对应自变量和因变量的连续变化，没有突变。 间断点的分类 根据函数图像和性质，将间断点 进行分类和分析。 可去间断点和跳跃间断点 连续性的变化形态。
清华微积分高等数学课件 第一讲函数
欢迎大家来到清华微积分高等数学课件的第一讲！在本次课件中，我们将深 入探讨函数的概念及其性质，以及函数的极限和导数等重要概念。让我们开 始探索吧！
函数的概念
• 函数的定义 • 自变量和因变量 • 函数的图像
初函数
常数函数
一类特殊的函数，其输出值始终为常数。
指某一点附近的变化趋势和斜率。
导数的计算方法
通过函数的公式和规则求导数。
导数的几何意义
与函数图像的关系和切线的特性。
微分的定义及其应用
描述函数值的微小改变和函数的局部线性逼近。
中值定理与应用
罗尔定理
一种与函数的连续性和导数的 关系相关的定理。
拉格朗日中值定理
对于满足一定条件的函数，刻 画函数斜率的定理。
以指数为自变量、以实数为底数的函数。
幂函数
以自变量为底数、指数为幂次的函数形式。
对数函数
反映底数与对数数值之间关系的函数。
函数的性质
1 奇偶性
描述函数关于原点对称性 的特性。
2 周期性
描述函数在一定范围内重 复出现的规律性。
3 单调性
函数值随自变量递增或递 减的趋势。
4 零点与极值
5 函数的复合和反函数
清华大学微积分高等数学第讲常微分方程三精品PPT课件
[解] 取时间t为自变量，物体的温度T(t)为未知函数.
由牛顿冷却定律知
dTk(T2)0 (k0,比例)常数 dt 初始条件 T(0) 100
2020/11/28
10
另外还有一个条件: T(20)60
可用来确定比例常数k
分离变量，得
dT kdt (T 20)
两边积分，得
ln T (2)0 k tC 1
x1(Cy2 1)
2
C
2020/11/28
18
[例4] 一容器内盛有100升盐水,其中含盐
10 公斤, 今以每分钟 2 升的均匀速度把
净水注入容器, 并以同样的速度使盐水
流出, 假设容器中的溶液在每一时刻都
是均匀的, 试求容器内盐量随时间变化
的规律.
2升
2020/11/28
2升 19
[解] 列方程，确定初始条件 已知，在任何一段时间内
13
由题意得
x y x y 2
又已知曲线过点 (2, 1), 于是得到定解问题
xy 2y 0
y(2)
1
分离变量求得通解 y Cx2
由y(2)1,得C1 4
所求曲线方程 y为 1x2 4
2020/11/28
14
[例3] 试设计一反光镜, 使它能将点光源发 出的光反射成为平行光
[解] 设反光镜镜面由 y曲 y(x线 )绕x轴
h dh
o
2020/11/28
23
取时间 t 为自变量，水面高度 h(t) 为未 知函数，并取坐标系如图
从容器内流出的溶液量为 2dt
在时间 dt 内盐水的浓度近似看作不变， 看作是 t 时刻的盐水浓度
Q (t)
100
常微分方程第三版全文
设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比, 且已知t 0时, 镭元素的量为R0克,试确定在 任意t时该时镭元素的量.
解 设t时刻时镭元素的量为R(t),
依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR dt
kR,
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少.
解之得 :
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼 与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).
解
Volterra
dx
被捕食-捕食模型：
dt dy
x(a by), y(c dx)
dt
Volterra
dx
模型：
dt dy
x(a bx cy), y(d ex fy)
dt
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
一、什么是微分方程？
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
解 设t时刻时镭元素的量为R(t),
依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR dt
kR,
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少.
解之得 :
例2 RLC电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源 e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当 开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.
沃特拉把所有的鱼分为两类：被食鱼 与捕食鱼，设t时刻被食鱼的总数为x(t),而 捕食鱼的总数为y(t).
解
Volterra
dx
被捕食-捕食模型：
dt dy
x(a by), y(c dx)
dt
Volterra
dx
模型：
dt dy
x(a bx cy), y(d ex fy)
dt
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.
一、什么是微分方程？
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的； 在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方 程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、 三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究 的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来， 列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多 个方程式，然后取求方程的解。
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
清华微积分高等数学课件第一讲函数
理等。
在清华，微积分课程是理工科学生的必修课，对于培养学生的
03
逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
课程目标
01
掌握微积分的基本概念和原理，如极限、连续性、 可微性、积分等。
02
学会运用微积分的方法解决实际问题，提高分析问 题和解决问题的能力。
03
培养学生对微积分的兴趣和热爱，为后续学习打下 坚实的基础。
通过选取一定数量的x值，计算对应的 y值，然后在坐标纸上标出这些点，再 用直线连接这些点。这种方法适用于 绘制简单的函数图像。
计算机绘制
使用数学软件或编程语言，如Matlab、 Python等，可以快速绘制函数的图像， 并可以自定义坐标轴范围、刻度等参 数。
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。平移变换包括左移和右 移、上移和下移。
02 函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中的基本概念，用于描述两个集合之间的映射关 系。
详细描述
函数是建立在两个数集之间的一种对应关系，对于数集A中的每 一个元素x，按照某种法则，数集B中都有唯一确定的元素y与之 对应。
函数的表示
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、 表格法和图象法。
详细描述
解析法是用数学表达式表示函数关系， 是最常用的一种表示方法；表格法是 用表格列出函数值，便于查找和计算； 图象法则是通过绘制函数图像来表示 函数关系。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内的取值范围有限；单调性是指函数在某一区间内的增减性；周期性是指函数按照一 定周期重复的特性；奇偶性则是指函数图像关于原点或y轴的对称性。
清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程二 共32页
29.07.2019
10
给 y(x0)y0 得 C y0
特解
x
x
yex0p(x)d(xy0xx0q(非x)齐e次x0特p(x解)dd x )x
非齐次通解的结构：
设y是y'p(x)y0 (2)的通 解 ,
y(x)是y'p(x)yq(x) (1)的 一 个 ,
则(1)的 通 解 为 y(x)yy(x)
代入方程并计算化简
yC (y) C (y) C (y) yye
C(y)ey
积分得 C(y)eyd yeyC
通解 xCyyey
29.07.2019
14
[例 3]设 a0,f(x)在 [0, )连 续,证 有明 界 方程
dxaxf(t) (t0) dt
每个[0 解 , 在 )有.界
x2 ydx x2ydyd(x2y2) 2
29.07.2019
23
[ 例 1 ]解(x 方 2 y ) d 程 ( x x y ) d 0 y
[解] 凑微分
x 2 d x (xd yyd )x yd 0 y
d(x3)d(x)yd(y2)0
3
2
d(x3 xyy2)0
3
2
通解
x3 xy y2 C
3
2
29.07.2019
24
[例 2] 解方 yd 程 x(y3ln x)d y0
x
[解] 改写为
(ydx lnxd) yy3dy 0 x
(yld n x ln x) d y y 3 d y 0
d(ylnx)d(y4)0 4
通解为
yl nx1 y4 C 4
例如 xd ydx d(x)y
清华大学微积分高等数学课件第讲简单常微分方程一 共40页
y,
dy dx
,,
dny dx n ) 0
y
x x0
y0
dy
dx
x x0
y1
有n个
定解条件
d n1 y
y n 1
n1
dx 29.07.2019
x x0
13
定义5: ( 积分曲线 与积分曲线族)
常微分方程的每一个都 解是一个 一元函数y f (x) 或是F(x, y) 0 ( 隐式解), 它的图形称为该常微分 方程的一条积分曲.线
(分离变量时,这个解被丢掉了!)
故C也可以等于零
于是得到Байду номын сангаас程 dy 2xy dx
通解 yCx e2 (CR)
29.07.2019
19
(2) [解]
1y2 3x2ydy dx
分离变量
ydy 1 y2
dx 3x2
两端积分, 得 121y21C
2
3x
通解 1y2 1 C
16
(一) 分离变量法
[例1] 解方程 这两个方程的共同特点
(1) dy 2xy
是变量可分离型
dx
(2) 1y2 3x2ydy dx
dy
f(x)(y)
分离变量
g(y)dyf(x)dx
dx
两边积分 g(y)dyf(x)dx 通解
29.07.2019
17
(1) [解]
dy 2xy dx
15
(一) 变量可分离型 dy f(x)g(y)
dx
或f(x)d xg(y)dy
清华大学微积分高等数学课件第3讲无穷小量续
2020/1/24
lim
x x0
f (x)
f ( lim x x0
x)
f ( x0 )
28
定义2： （函数在一点的单侧连续性）
设函数 f ( x) 在(a, x0 ]上有定义, 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
则 称 f ( x) 在 x0 处左连续;
设函数 f ( x) 在[ x0 , b)上有定义, 且
f ( x)与g( x)是 等 价 无 穷 小.
2020/1/24
记作 f (x) ~ g(x) (x ) 5
(2) 若 lim f ( x) 0, 则 称 当x 时, x g( x)
f ( x)与g( x)相 比 是 高 阶 无 穷 小. 记 作 f ( x) ( g( x)) ( x ).
作业
P43 习题 2.3 10. 12(3)(4)(7)(10).
P49 习题 2.4 9(1)(4)(6).
练习 P43 习题 2.3 4. 5. 8. P49 习题 2.4 1. 2. 5.
2020/1/24
1
第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数
一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义
( 因 为e x 1 ~ x ( x 0) )
a x 1 ~ x lna (x 0)
2020/1/24
17
[例6]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
?
[解]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
lim 3x
清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程二市公开课金奖市赛课一等奖课件
dy p( x) y 0 dx
齐次 非齐次
(1) 如何解齐次方程？
dy p( x) y 0 dx
可什分麽类离型型？！
10/10/
6
第6页
分离变量
dy p( x)dx y
解得 y ce p( x )dx 齐次通解
注意： 齐次通解结构：
是p(x)一个原函数 不是不定积分！
设 y1( x) 是 y' p( x) y 0的 一个非
则 (1) 的通解为 y( x) y y( x)
10/10/
11
第11页
[例1] 求y' y 1 (1)的通解。 [解] 易知y' y 0 (2)的一个解
y1( x) e x , (2)的通解 y Ce x . 观察出 y( x) 1 是(1)的一个解. (1)的通解 y( x) Ce x 1
性质5：
如果 y*( x) 是非齐次方程 (1)的一个解， y( x)是齐次方程 (2)的一个解,则 y*( x) y( x) 是非齐次方程(1)的解.
10/10/
5
第5页
一阶线性微分方程
a( x) dy b( x) y c( x) 0 dx
原则形式：
dy p( x) y q( x) dx
n
4
4
y 3 y'
2
1
y3
3x2
3
x
令
z
1 4
y 3
1
y3
z'
1
4
y3
y'
3
将原方程化为 3z' 2 z 3x2 x
10/10/
19
第19页
解线性方程 z' 2 z x2 (1)
常微分方程第三版1
所以每天共有 Ns(t)个健康者被感染.
于是病人增长率为
N di Nsi,
dt
又因s(t) i(t) 1,再由初始条件得
di i(1 i)
dt
i(0) i0
思索与练习
1.曲线上任一点旳切线与两坐标轴所围成旳三角形
旳面积都等于常数 a2 ,求该曲线所满足旳微分方程.
解: 过点(x, y)的切线的横截距与纵截距分别为:
第一章 绪论
常微分方程是当代数学旳一种主要分支,是人们处理多 种实际问题旳有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛旳应用,本 章将经过几种详细例子,粗略地简介常微分方程旳应用,并 讲述某些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联络着自变量,未知函数及其导数旳关系式.
假设在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变, 时间以天为计量单位, 假设条件为 :
(1)在时刻t人群中易感染者(健康)和已感染者 (病人)在总人数中所占比例分别为s(t)和i(t).
(2)每个病人每天有效接触的平均人数是, 称日接触率.
解: 根据题设,每个病人每天可使
s(t)个健康者变为病人.
因为病人总人数为 Ni(t),
物体旳温度与其所在旳介质旳温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 旳温度为 u(t). 根据导数旳物理意义, 则
温度旳变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为百分比系数. 此数学关系式就是物体冷却过程旳
数学模型.
u 注意:此式子并不是直接给出 和 t 之间旳函数关系,而只是
解: 设t时该时镭元素的量为R(t),
清华大学微积分高等数学课件第3讲无穷小量续
05.12.2020
教学ppt
6
符“ 号 ”“ 与 O” (1 )若 lim f(x)0 ,则 记 f(x)(g(x))
x x0g(x)
(2)若M0, 使当 xN*(x0)时,有
f(x) M 则记成f(x)O(g(x)) g(x)
(xx0).
若 lim f(x)A ,则有 f(x)O (g(x))
05.12.2020
教学ppt
Hale Waihona Puke 511[例2]
1cosx
lim
x0
x2
?
[解] lx i0m 1x c2oxslx i0m 2sxi22n2 x
lx i0m 2((2 xs)2i2 x4 n )2 1 2lx i0m ((s2 xi)2 x2n )2
1lim sin 2 xlim sin 2 x 1
05.12.2020
教学ppt
2
一、三个重要关系
1.（无穷小与无穷大）
若 在 自 变 量 的 某 一化个过变程 ,中 f (x) 是 无 穷 大 , 则 在 这 个 变 化 过,程
1 是 无 穷 小 . f (x)
2.（极限与无穷小）
limf(x)Af(x)A(x),
x
其中 (x)是当 x 时的无. 穷
05.12.2020
教记 学ppt f作 (x)~g(x)
(x ) 5
(2)若lim f (x) 0, 则称当x 时, x g(x)
f (x)与g(x)相比是高阶无穷 . 小 记作 f (x) (g(x)) (x ).
(3)若 lx iam [gf((xx))k]A0,则 称 x 当 时 , f(x)与 g(x)相 比 k阶 是无.穷 小
大学课件高等数学微分方程
rx
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例 求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶 几何意义 是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出 基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几 种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.
清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程二
非齐次
an( x) y f ( x) (1)
y(n) a1( x) y(n1) an1( x) y
齐次
an( x) y 0 (2)
2019/10/15
3
(一)线 性 方 程 的 性 质
性质1：线 性 齐 次 方 程( 2) 必 有 零 解 。
性质2：若y y( x)是线性齐次方程(2)的解,则 y Cy( x)亦是(2)的解(C为任意常数)。
y1( x) e x , (2)的 通 解 y Ce x . 观 察 出y( x) 1 是(1)的 一 个 解. (1)的 通 解 y( x) Ce x 1
2019/10/15
12
[例2] xdy ydx y2e ydy
[解] 这是线性方程吗？
变形为： dx x ye y dy y
标准形式：
dy
p(x) y
非
q( x) 齐
dx
次
dy dx
p( x) y
0
齐 次
(1) 如何解齐次方程？
dy p( x) y 0 dx
可什分麽类离型型？！
2019/10/15
6
分离变量
dy p( x)dx y
解得 y ce p( x )dx 齐次通解
注意： 齐次通解的结构：
y2
y2
积分
d ( x ) dy 0
因子
y
通解
x yC y
可能会丢解！ y 0
2019/10/15
29
[例5] 解 方 程
xy3dx ( x2 y2 1)dy 0
[解] 积 分 因 子 ( x, y) 1
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2
[解 ]
特点是：不显含 x
令 y p p( y)
方程化为 分离变量
1 ypp p 0
2
pdp dy 2 1 p y
积分
2019/4/23
1 1 2 ln(1 p ) ln y ln C1 2 2
8
(1 p ) y C1
2 2
C1 y 2 p y
2019/4/23 33
dv 2 m mg kv ( 2) dt v (0) v 0
dS dS 2 m 2 mg k ( ) 或者 dt dt S ( 0) 0, S ( 0) v 0
2
2019/4/23 34
练习2 : 某放射性物质的衰变速 度与其 现存数量成正比 ,已知初始质量等于 50克, 2小时后损失10%.
由 h(0) 10, 得 C 0.0314 10
5 2
t 0.0314 (10 h )
当水流完时，h = 0
2019/4/23
5 2
5 2
t 0.0314 10 10 ( s )
27
5 2
正交轨线问题
设L1 , L2 是两条曲线, 如果在交点处切线 互相垂直, 则称两条曲线正交
2019/4/23 31
y
x yHale Waihona Puke cx 02 2o
x
x y cy 0
2 2
2019/4/23
39
32
练习 1 : 质量等于m的物体以初速 v0 下落, 假设空气阻力 (1)与速度成正比;
( 2)与速度平方成正比 .
试求物体运动规律.
[解] 用Newton定律列方程:
2 dv d S dS m mg kv m 2 mg k (1) dt 或者 dt dt v(0) v 0 S (0) 0, S (0) v 0
2 2
曲线族.
思路：
设曲线 y f ( x ) 和 y g ( x ) 在其交点 正交, 则有
1 g ( x ) f ( x )
用 y f ( x , c ) 和 y g ( x , c ) 表示上述 两个曲线族
2019/4/23 29
首先计算 y f ( x, c ) 的切线斜率:
y
A
M ( x , y)
T
o
x
由光的反射定律
2019/4/23
16
于是有
tg
AO OM
y AO x y OM x
y x x 2 y2
根据导数的几何意义
y tg
得到微分方程
变形为
dx dy
2019/4/23
y
y x x y
2 2
一阶齐次
[解] 取时间t为自变量，物体的温度T(t)为未知函数. 由牛顿冷却定律知
dT k (T 20 ) dt
2019/4/23
( k 0, 比例常数)
初始条件 T (0) 100
11
另外还有一个条件:
可用来确定比例常数k
T ( 20) 60
分离变量，得
两边积分，得
dT kdt (T 20)
2
取指数
u u 1 C y
2
u 1 (C y u)
2 2 2
2
1 C y 2C ( yu) C y 2C x
2 2
1 1 2 x (Cy ) 2 C
2019/4/23 19
[例4] 一容器内盛有100升盐水, 其中含盐 10 公斤, 今以每分钟 2 升的均匀速度把 净水注入容器, 并以同样的速度使盐水 流出, 假设容器中的溶液在每一时刻都 是均匀的, 试求容器内盐量随时间变化 的规律.
为S 0.5cm 的小孔,问水全部流完, 需要
2
多少时间?
[解] 此问题涉及水面高度 随时间的变化规律 根据水利学定律，流出速度
10
h
h
r
o
24
v 0.6 2 gh (cm / s)
2019/4/23
h dh
取时间 t 为自变量，水面高度 h(t) 为未 知函数，并取坐标系如图 考虑任意时刻 t ，任取时间区间[t , t+dt]
作业
P236 习题 8.2 18. 20. P241 习题 8.3 3. 5. 6. 7. 12. 16.
复习
2019/4/23
P220—245
1
第二十三讲 常微分方程（三） 一、可降阶微分方程
二、常微分方程应用举例
一、 高阶可降阶微分方程
（一） y'' f ( x ) 型
逐次积分 积分一次
2019/4/23
一阶
4
[例 1] 求解 x y xy 1
2
[解 ]
特点是：不显含 y
令 y p p( x )
1 1 p p 2 x x
C1 1 y ln x x x
x p xp 1
2
C1 1 p ln x x x
积分,得通解
1 2 y C1 ln x ln x C 2 2
即
C1 y dy dx y
2
分离变量解得
2019/4/23
( x C2 ) y C1
2 2
9
二、常微分方程应用举例
列方程的常用方法 (1) 利用物理定律列方程 (2) 利用导数的几何意义列方程 (3) 利用微元分析法列方程
2019/4/23 10
[例1] 有一个100 C的物体, 放在20 C的房间内 , 经过 20分钟后, 测量物体的温度, 知其已降为 60 C .问还需经过多长时间 , 物体的温度才能 降为30 C ?
C 50
1 k ln 0.9 0.053 2
m( t ) 50e
2019/4/23
0.053 t
由此确定T
0.053T
设半衰期 T 则 m(T ) 50e
25
36
x
x 2 y2 x y y
x 2 ( ) 1 y
(1)
17
令
x u, 即 y
x uy
dx du u y dy dy
代入(1)式，得 分离变量
du y dy
du
u 1
2
dy 2 y u 1
18
2019/4/23
积分，得
ln(u u 1 ) ln y lnC
2升
2019/4/23
2升
20
[解] 列方程，确定初始条件
已知，在任何一段时间内
容器内含盐改变量=流进盐量–流出盐量 若溶液的浓度不变，则 流出盐量=浓度流出的溶液量 问题中，溶液的浓度始终在变，如何解决? 考虑微小时间间隔 dt 内的变化情况 设时刻 t 时溶液的含盐量为
2019/4/23
Q Q( t )
0.5(0.6 2 gh )dt 0.3 2 g hdt
下落水的体积 = 流出水的体积 于是列出微分方程
3 初始条件 h( 0) 10
2019/4/23
h dh 0.3 2 gh dt
2
26
经整理得
dt
5 2
0.9 2 g
h dh
5 2
3 2
2 h C 0.0314h C 解得 t 0.9 2 g 5
1 ( 20 ln 2 ) t
t 60
60 20 40(分钟)
物体的温度即可降为
30 C
2019/4/23
13
[例2] 已知曲线上任一点P(x, y)处的切线在 x轴上的截距等于点P的横坐标的一半, 且过定点(2, 1), 求此曲线的方程 . [解] 设曲线方程为 y y( x )
在 dt 时间内，水面高度的改变为 dh
漏斗内水的体积改变量为
2
h r h tg 30 dV r dh 3 h 2 2 dV ( ) dh h dh 3 3
25
2019/4/23
另方面,时间 dt 内从小孔流出水的体积等于 以 S 为底，以 (vdt) 为高的小圆柱体积
Q( t ) dQ( t ) 2dt 100
初始条件
分离变量 通解 特解
2019/4/23
Q ( t ) t 0 10
dQ dt Q 50
Q Ce
5t 0 5t 0
23
Q 10e
28
[例5] 有一盛满水的圆锥形漏 斗,高为10cm 顶角为 60 , 漏斗下面有一个截面积
则该曲线上任一点P ( x , y)处的切线 方程为 Y y y( X x )
令Y 0, 得切线在x轴上的截距为
y xA x y
2019/4/23
14
由题意得
y x x y 2
xy 2 y 0 y( 2) 1
又已知曲线过点 (2, 1), 于是得到定解问题
y f ( x )dx C1
再积分一次
y ( f ( x )dx)dx C1 x C2
2019/4/23 3
（二）y f ( x, y)型
不显含未知函数 y
变量替换
令
y p p( x )
y p
原方程变形成为
p f ( x, p)
分离变量求得通解
由 y( 2) 1, 得
y Cx
1 C 4
[解 ]
特点是：不显含 x
令 y p p( y)
方程化为 分离变量
1 ypp p 0
2
pdp dy 2 1 p y
积分
2019/4/23
1 1 2 ln(1 p ) ln y ln C1 2 2
8
(1 p ) y C1
2 2
C1 y 2 p y
2019/4/23 33
dv 2 m mg kv ( 2) dt v (0) v 0
dS dS 2 m 2 mg k ( ) 或者 dt dt S ( 0) 0, S ( 0) v 0
2
2019/4/23 34
练习2 : 某放射性物质的衰变速 度与其 现存数量成正比 ,已知初始质量等于 50克, 2小时后损失10%.
由 h(0) 10, 得 C 0.0314 10
5 2
t 0.0314 (10 h )
当水流完时，h = 0
2019/4/23
5 2
5 2
t 0.0314 10 10 ( s )
27
5 2
正交轨线问题
设L1 , L2 是两条曲线, 如果在交点处切线 互相垂直, 则称两条曲线正交
2019/4/23 31
y
x yHale Waihona Puke cx 02 2o
x
x y cy 0
2 2
2019/4/23
39
32
练习 1 : 质量等于m的物体以初速 v0 下落, 假设空气阻力 (1)与速度成正比;
( 2)与速度平方成正比 .
试求物体运动规律.
[解] 用Newton定律列方程:
2 dv d S dS m mg kv m 2 mg k (1) dt 或者 dt dt v(0) v 0 S (0) 0, S (0) v 0
2 2
曲线族.
思路：
设曲线 y f ( x ) 和 y g ( x ) 在其交点 正交, 则有
1 g ( x ) f ( x )
用 y f ( x , c ) 和 y g ( x , c ) 表示上述 两个曲线族
2019/4/23 29
首先计算 y f ( x, c ) 的切线斜率:
y
A
M ( x , y)
T
o
x
由光的反射定律
2019/4/23
16
于是有
tg
AO OM
y AO x y OM x
y x x 2 y2
根据导数的几何意义
y tg
得到微分方程
变形为
dx dy
2019/4/23
y
y x x y
2 2
一阶齐次
[解] 取时间t为自变量，物体的温度T(t)为未知函数. 由牛顿冷却定律知
dT k (T 20 ) dt
2019/4/23
( k 0, 比例常数)
初始条件 T (0) 100
11
另外还有一个条件:
可用来确定比例常数k
T ( 20) 60
分离变量，得
两边积分，得
dT kdt (T 20)
2
取指数
u u 1 C y
2
u 1 (C y u)
2 2 2
2
1 C y 2C ( yu) C y 2C x
2 2
1 1 2 x (Cy ) 2 C
2019/4/23 19
[例4] 一容器内盛有100升盐水, 其中含盐 10 公斤, 今以每分钟 2 升的均匀速度把 净水注入容器, 并以同样的速度使盐水 流出, 假设容器中的溶液在每一时刻都 是均匀的, 试求容器内盐量随时间变化 的规律.
为S 0.5cm 的小孔,问水全部流完, 需要
2
多少时间?
[解] 此问题涉及水面高度 随时间的变化规律 根据水利学定律，流出速度
10
h
h
r
o
24
v 0.6 2 gh (cm / s)
2019/4/23
h dh
取时间 t 为自变量，水面高度 h(t) 为未 知函数，并取坐标系如图 考虑任意时刻 t ，任取时间区间[t , t+dt]
作业
P236 习题 8.2 18. 20. P241 习题 8.3 3. 5. 6. 7. 12. 16.
复习
2019/4/23
P220—245
1
第二十三讲 常微分方程（三） 一、可降阶微分方程
二、常微分方程应用举例
一、 高阶可降阶微分方程
（一） y'' f ( x ) 型
逐次积分 积分一次
2019/4/23
一阶
4
[例 1] 求解 x y xy 1
2
[解 ]
特点是：不显含 y
令 y p p( x )
1 1 p p 2 x x
C1 1 y ln x x x
x p xp 1
2
C1 1 p ln x x x
积分,得通解
1 2 y C1 ln x ln x C 2 2
即
C1 y dy dx y
2
分离变量解得
2019/4/23
( x C2 ) y C1
2 2
9
二、常微分方程应用举例
列方程的常用方法 (1) 利用物理定律列方程 (2) 利用导数的几何意义列方程 (3) 利用微元分析法列方程
2019/4/23 10
[例1] 有一个100 C的物体, 放在20 C的房间内 , 经过 20分钟后, 测量物体的温度, 知其已降为 60 C .问还需经过多长时间 , 物体的温度才能 降为30 C ?
C 50
1 k ln 0.9 0.053 2
m( t ) 50e
2019/4/23
0.053 t
由此确定T
0.053T
设半衰期 T 则 m(T ) 50e
25
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x
x 2 y2 x y y
x 2 ( ) 1 y
(1)
17
令
x u, 即 y
x uy
dx du u y dy dy
代入(1)式，得 分离变量
du y dy
du
u 1
2
dy 2 y u 1
18
2019/4/23
积分，得
ln(u u 1 ) ln y lnC
2升
2019/4/23
2升
20
[解] 列方程，确定初始条件
已知，在任何一段时间内
容器内含盐改变量=流进盐量–流出盐量 若溶液的浓度不变，则 流出盐量=浓度流出的溶液量 问题中，溶液的浓度始终在变，如何解决? 考虑微小时间间隔 dt 内的变化情况 设时刻 t 时溶液的含盐量为
2019/4/23
Q Q( t )
0.5(0.6 2 gh )dt 0.3 2 g hdt
下落水的体积 = 流出水的体积 于是列出微分方程
3 初始条件 h( 0) 10
2019/4/23
h dh 0.3 2 gh dt
2
26
经整理得
dt
5 2
0.9 2 g
h dh
5 2
3 2
2 h C 0.0314h C 解得 t 0.9 2 g 5
1 ( 20 ln 2 ) t
t 60
60 20 40(分钟)
物体的温度即可降为
30 C
2019/4/23
13
[例2] 已知曲线上任一点P(x, y)处的切线在 x轴上的截距等于点P的横坐标的一半, 且过定点(2, 1), 求此曲线的方程 . [解] 设曲线方程为 y y( x )
在 dt 时间内，水面高度的改变为 dh
漏斗内水的体积改变量为
2
h r h tg 30 dV r dh 3 h 2 2 dV ( ) dh h dh 3 3
25
2019/4/23
另方面,时间 dt 内从小孔流出水的体积等于 以 S 为底，以 (vdt) 为高的小圆柱体积
Q( t ) dQ( t ) 2dt 100
初始条件
分离变量 通解 特解
2019/4/23
Q ( t ) t 0 10
dQ dt Q 50
Q Ce
5t 0 5t 0
23
Q 10e
28
[例5] 有一盛满水的圆锥形漏 斗,高为10cm 顶角为 60 , 漏斗下面有一个截面积
则该曲线上任一点P ( x , y)处的切线 方程为 Y y y( X x )
令Y 0, 得切线在x轴上的截距为
y xA x y
2019/4/23
14
由题意得
y x x y 2
xy 2 y 0 y( 2) 1
又已知曲线过点 (2, 1), 于是得到定解问题
y f ( x )dx C1
再积分一次
y ( f ( x )dx)dx C1 x C2
2019/4/23 3
（二）y f ( x, y)型
不显含未知函数 y
变量替换
令
y p p( x )
y p
原方程变形成为
p f ( x, p)
分离变量求得通解
由 y( 2) 1, 得
y Cx
1 C 4