中考数学专题复习资料数与式

第一轮中考复习——数及式
知识梳理：
一．实数和代数式的有关概念 1.实数分类：
实数⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪
⎪⎭⎪⎪
⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数
负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数
2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

数轴上所有的点及全体实数是一一对应关系，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

3.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数是0。

数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两边（0除外），并且及原点的距离相等。

4.倒数：1除以一个数的商，叫做这个数的倒数。

一般地，实数a 的倒数为
a
1。

0没有倒数。

两个互为倒数的数之积为1.反之，若两个数之积为1，则这两个数必互为倒数。

5.绝对值：一个正实数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负实数的绝对值等于它的相反数。

a =，绝对值的几何意义：数轴上表示一个数到原点的距离。

6.实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（1）正数大于零，零大于负数。

（2）两正数相比较绝对值大的数大，绝对值小的数小。

（3）两负数相比较绝对值大的数反而小，绝对值大小的数反而大。

（4）对于任意两个实数a 和b ，①a>b,②a=b,③a<b,这三种情况必有一种成立，而且只能有一种成立。

7.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

8.整式：单项式及多项式统称为整式。

单项式：只含有数及字母乘积形式的代数式叫做单项式。

一个数或一个字母也是单项式。

单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。

一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

多项式：几个单项式的代数和多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

多项式里，次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。

一个多项式有n 项且次数是m ，我们就称这个多项式为m 次n 项式。

9.分式：一般地，用A,B 表示两个整式，若B 中含有字母，且B ≠0，则式子B
A
叫做分式。

10.有理式：整式和分式统称为有理式。

11.无理式：根号里含有字母的代数式叫做无理式。

12.
a
=1（a ≠0），
a
p
=
a
p
1
（a ≠0，p 是正整数）。

13.平方根：若
x 2
=a （a ≥0）
，则x 叫做a 的平方根（或二次方根）。

一个整数有两个平方根，它们互为相反数，整数a 的平方根记为+a 和—a ；0的平方根是0；负数没有平方根。

若
x 2
=a （a ≥0）
，则x=±a 。

14.算术平方根：整数a 的正的平方根+a 叫做a 的算术平方根，+a 可简记为a 。

0的算术平方根仍为0.
15.立方根：若
x 3
=a ，则x 叫做a 的立方根（或三次方根）
，记为3
a ，即x=3a 。

正数的
立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

16.有理数的开方： =a （a ≥0），
a
2
=a =
17.科学记数法：把一个数写成a ×
10n
（1≤a ＜10，n 是整数）
，叫做科学记数法。

18.有效数字：从最左边的不是零的数字算起，到最后一位要保留的数字为止。

19.运算律：
（1）加法交换律：a+b=b+a 。

（2）加法结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）。

（3）乘法交换律：a*b=b*a 。

（4）乘法结合律：（a*b ）*c=a*（b*c ）。

（5）乘法分配律：（a+b ）*c=a*c+b*c 。

20.
a m *
a n =
a
n
m +，
a
m
÷
a n =
a
n
m -（a ≠0），
()
a
m n
=a mn ，
()ab n
=a n *b
m。

21.平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2
-
b
2
完全平方公式：
()
b a +2
=
a
2
+2ab+
b
2
，
()
b a -2
=
a
2
-2ab+
b
2
22.十字相乘法：
x 2
+bx+c=（x+m ）
（x+n ）其中b=m+n ，c=mn 。

23.最简分式：一个分式的分子及分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。

24.分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

（2）异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式，然后相加减。

25.分式的乘除法：（1）分式乘分式，用分子的积作为分子，分母的积作为分母。

（2）分式除以分式，等于被除式乘除式的倒数。

26.二次根式：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。

27.二次根式的性质： (1) =a(a ≥0);(2)
a
2
=a =
(3)ab =a b ⋅ (a ≥0, b ≥0);(4)
b a =b
a ( a ≥0,
b ＞0)。

28.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式。

（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。

29.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

30.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

注意：分母有理化时，分子及分母需要同时乘分母的有理化因式。

经典例题解析：
例1. 在在，，，，，中，无理数的个数为-203130801017
4. .()π
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
例2. 已知下列5个命题 （1）零是最小的实数
（2）数轴上所有的点都表示实数 （3）两个无理数的和仍然是无理数 ()412713
-
的立方根是± （5）任何实数都有两个互为相反数的平方根 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例3. 已知、、是实数，且满足，求的值。

x y z x y z z x yz ()||-+-+-=+42102
例4. 计算：×()()()1
3
2004221161
21
102--++-+
-
例5. x px qx x px qx =++=-++112001113
3
时，代数式的值为，则当时，代数式 的值为（ ）
例6. 计算÷·x x x x x x x x x x x xy y
222222
244234299
22+-+++--++--+
课堂练习：
一、选择题：
1. 下列各组数中，相等的是_________ A. ()-13
和1
B. ()-12
和－1 C. ()-12和－1 D. ---()||11和
2. 设a ，b 为两实数，则下列命题中是假命题的是_________ A. 若a+b=0，则|a|=|b| B. 若|a|+|b|=0，则a=b=0 C. 若a 2
+b 2
=0，则a=b=0 D. 若|a+b|=0，则a=b=0 3. 一天的时间共86400秒，用科学记数法表示应为_________ A. 864104
.×秒 B. 864103
.×秒 C. 864102
.×秒
D. 864105
.×秒
4. 如果2（x+3）的值及3（1－x ）的值互为相反数，那么x 等于_________ A. 9 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知x
a x
b m
n ==，，（其中x ≠0，m 、n 为正整数），则x m n 32-的值等于______
A. 32a b -
B. a b 33
-
C. a b 32
D. a b
3
2
6. 若a<0，代简||a a -2的结果正确的是_________ A. 0
B. 2a
C. －2a
D. 2a 或－2a
7. 化简()π-+-320
1
的结果为：
A.
12
B. －2
C. π-1
D.
32
8. 如果表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简||()a b a b -++2的结果等于__________
b a
A. 2a
B. 2b
C. －2a
D. －2b
9. 已知||||x y x y x y ==<+320，，且·，则的值等于_________ A. 5或－5 B. 1或－1
C. 5或1
D. －5或－1
10. 数轴上表示-1
2
的点到原点的距离是_________ A. -
1
2
B. 1
2
C. －2
D. 2
11. 已知二次三项式22
x bx c ++分解因式为231()()x x -+，则b 、c 的值为________ A. b c ==-31， B. b c =-=62， C. b c =-=-64，
D. b c =-=-46，
12. 已知a+b=3，ab=1，则a b 44+的值是________ A. 7
B. 47
C. 49
D. 81
13. 将a ab ac bc 2
-+-分解因式，结果正确的是________
A. ()()a b a c +-
B. ()()a b a c --
C. ()()a b a c ++
D. ()()a b a c -+ 14. 已知xy<0，则x y 2化简后为_________ A. x y
B. -x y
C. x y -
D. --x y
二、填空题：
1. 若实数m ，n 满足()m n -+
+=1302
，则m=_________，n=________
2. 将207670保留三个有效数字，其近似值是_________
3. x 平方的3倍及－5的差，用代数表示为___________
4. 如果a ma 2
9++是一个完全平方式，则m=________ 5. 如果分式无意义，则x=______
6. 如果分式的值为0，则x=___________
7. 计算：________
8. 若代数式的值等于零，则x=________；
若代数式()()x x -+21的值等于零，则x=________ 9. 已知，则分式的值为__________ 10. 已知a a a a
+=+=131
22，则_________ 三、解答题： 1. 计算：
2. 已知a a a a a a a a =-+---+-13
12121
222
，求的值。

3. 若a b a b ab -=+-22
22
，求的值。

4. 若346942<<-++-a a a a ，化简：||
5. 已知多项式x kx 2
7++能分解成两个一次因式的乘积，求k 的值。

6. 计算：()()()(.)2311223
1
215222×÷-----
7. 若x 、y 满足x y x y 224250+--+=， 则代数式：32
x y x -的值是多少？
8．实数P 在数轴上的位置如图所示： 化简()()=
-+
-2
2
21p p 。

9．计算：()(
)
=
-++--
⎪⎭
⎫
⎝⎛+--30
3
1
2
8512211。

10．当a= 时，式子的值为整数（只需填一个符合题目要求的数）。

11．计算：()
()
236101
22783
23
2
3
--++
-
-⨯+。

12．若x 2
=25,y 3
=(-5)3
, 求x+y 的值。

课后作业：
例1. 如果收入200元记作+200元，那么支出150元记作（ ）
A. +150元
B. –150元
C. +50元
D. –50元
例2. 点A 在数轴上表示+2，从点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所表示的
实数是（ ） A. 3 B. –1 C. 5 D. –1或3
例3. |-3|的相反数是（ ） A. –3 B. 3 C. 31
D.
31-
例4. 下列计算正确的是（ ）
A. 416±=
B. 12223=-
C.
4624=÷
D.
例5. 将302
)3()2()30sin (--︒--，，
这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ）
A. 3
02)3()2()30sin (-<-<︒--
B. 0
32)2()3()30sin (-<-<︒--
C. 2
03)30sin ()2()3(-︒-<-<-
D. 2
30)30sin ()3()2(-︒-<-<-
例6. 据2006年5月27日《沈阳日报》报道，“五·一”黄金周期间2006年沈阳“世园会”的游客接待量累计人次，用科学记数法表示为（ ）
A. 4
10176⨯人次
B. 3
106.17⨯人次
C. 61076.1⨯人次
D. 7
10176.0⨯人次 例7. 下列计算错误的为（ ）
A. 2
2a 4)a 2(=-
B. 5
23a )a (=
C. 120
= D.
例8. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是（ ）
A. 8
B. 22
C. 32
D. 23
例9. 计算：02
)36(|221|8)
3(----+--。

例10. 先化简，再求值：，其中425x -=。

【典型例题2】
例 1. 实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点如图所示，则它们从小到大的顺序是____________________。

a b d c +=+=；；
c b a
d -=
-=
；
例2. 把下列各数填到相应的集合里： 751549172
3
270310153... ，，，
，，，，，--π 整数集合：｛ ｝ 分数集合：｛ ｝ 有理数集合：｛ ｝ 无理数集合：｛ ｝ 例3. ()若，求344302
20032004a b a b ++-=.
例4. 已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图：
()化简：a b a b -+
+=
2
例5. 在张江高科技园区的上海超级计算机中心内，被称为“神威I ”的计算机的运算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒_________次。

例6. 计算：
（）1121218151
3⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
+-⎛⎝ ⎫⎭
⎪⨯----
()()(
)
（）22245604521
1
cos sin ︒-︒+----π
例7. ()()[]()计算：-⨯+⨯--⨯-÷--⎡⎣⎢⎤⎦
⎥3232469232
例8. x y 、是实数，，若，则实数的值是3469032x y y axy x y a ++-+=-=
（ ）
A B C D (1)
41
47
474
-- 例9．（48－814）－（3
13－5.02）；
例10 解下列方程：
1．； 2． ；
3． ；
【提高训练】
一、填空题
1．早春二月的某一天，我省南部地区的平均气温为－3℃，北部地区的平均气温为－6℃，
则当天南部地区比北部地区的平均气温高 ℃．
2．大量事实证明，治理垃圾污染刻不容缓．据统计，全球每分钟约有吨污水排入江河湖海，
这个排污量用科学记数法表示是 吨．
3．某下岗职工购进一批苹果，到集贸市场零售．已知卖出的苹果重量x （千克）及售价y
试写出用x 的关系式 ．4．如果每人每天浪费1粒大米，全国13亿人口，每天大约要浪费 吨大
米（1克大米约52粒）．
5．如图所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，则第(n )
个图形中需用黑色瓷砖 块．（用含n 的代数式表示）
……
（1） （2） （3）
6．当x ＝ 时，分式无意义．
7．若m ，n 满足0)4(22=-++n m ，分解因式
)()(22n mxy y x +-+＝ ． 8
．20052005
2)2)＝ ．
二、选择题
1．蜗牛前进的速度每秒只有1.5毫米，恰好是某人步行速度的1000分之一，那么此人步行
的速度大约是每小时 （ ）
A ．9千米
B ．5.4千米
C ．900米
D ．540米
2．如果实数a 及b 互为相反数，则a 、b 一定满足. （ ）
A ．ab = 1
B ．ab = －1
C ．a + b = 0
D ．a －b = 0
3．一个点从数轴上原点开始，先向右移动2个长度单位，再向左移动3个长度单位，这时
它表示的数是 （ ）
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
4．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数
没有立方根；④是17的平方根．其中正确的有 （ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
5．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后
剩下的绳子的长度为 （ ） A ．312⎛⎫ ⎪⎝⎭米 B ．512⎛⎫ ⎪⎝⎭米 C ．6
12⎛⎫ ⎪⎝⎭米 D ．米
6．n 个学生按五人一组，分成若干组，其中有一组少1人，则共有组数为 （ ） A ．15-n B ．51-n C ．51+n D ．不能确定
7．若0＜a ＜1，则之间的大小关系为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．不能确定
8．如果把中的x 和y 都扩大两倍，那么这个代数式的值为 （ ）
A ．扩大两倍
B ．不变
C ．缩小两倍
D ．以上都不对
9．不论x 取什么值时，下列分式一定有意义的是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．11
+-x x
10． 在数轴上，a 位于2的左边，b 位于2的右边，则4ab +及22a b +的大小关系是（ ）
A ．4ab +>22a b +
B ．4ab +=22a b +
C ．4ab +<22a b +
D ．无法比较大小
三、解答题：
1．请你先化简下式，再选取一个使原式有意义，而你又喜爱的数代入求值．
第5题
2．阅读下列题目的计算过程：
）（）（ ）（）（D 1 C 223 B )1(23 A )
1)(1()1(2)1)(1(312132⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯--=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+--=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯---=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-+---+-=+---x x x x x x x x x x x x x x
1．上述计算过程，从哪一步开始出现错误？请你写出该步的代号 ；
2．错误的原因是 ；
3．本题目正确的结论是 ．。