(江苏专用)2020高考数学二轮复习综合仿真练(五)理

综合仿真练(五)(理独)
1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]
(2019·南通、泰州等七市三模)已知a ，b ，c ，d ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b 的逆矩阵A －1
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 c d
1.
若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线y ＝2x ＋1，求曲线C 的方程．
解：由AA －1
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤1
00
1
得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －20 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 c d 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2d ac －2bd b ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
1，
所以a ＝1，b ＝1，c ＝2，d ＝0，
即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 －20 1.
设P (x ，y )为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点P ′(x ′，y ′)， 则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝x －2y ，y ′＝y .
由已知条件可知，P ′(x ′，y ′)满足y ＝2x ＋1， 得2x －5y ＋1＝0，
所以曲线C 的方程为2x －5y ＋1＝0. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy
中，已知直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－32＋2
2
n ，y ＝22
n (n 为参数)与曲线
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝18t 2，
y ＝t
(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
解：法一：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝18
t 2，
y ＝t
(t 为参数)化为普通方程为y 2
＝8x . 将直线
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－32＋22n ，y ＝2
2n
(n 为参数)代入y 2＝8x 得，n 2
－82n ＋24＝0，解得n 1＝22，n 2
＝6 2.则|n 1－n 2|＝42， 所以线段AB 的长为4 2.
法二：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝18
t 2，
y ＝t
(t 为参数)化为普通方程为y 2
＝8x,
将直线⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－32＋22
n ，y ＝22n
(n 为参数)化为普通方程为x －y ＋3
2
＝0，由
⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
＝8x ，x －y ＋32＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12，
y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝92，
y ＝6.
所以AB 的长为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫92－122＋6－2
2
＝4 2.
C ．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数
a 的取值范围．
解：存在实数x 使f (x )＋g (x )＞a 成立， 等价于f (x )＋g (x )的最大值大于a ， 因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，
由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x )2
≤(3＋1)(x ＋2＋14－x )＝64， 所以f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，故实数a 的取值范围是(－∞，8)．
2.如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且
AB ＝AC ＝A 1B ＝2.
(1)求棱AA 1与BC 所成的角的大小；
(2)在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P ­AB ­A 1的平面角的余弦值为25
5
.
解：(1)以A 为坐标原点，AC ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，过A 平行于A 1B 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
C (2,0,0)，B (0,2,0)，A 1(0,2,2)，B 1(0，4,2)，AA 1―→＝(0,2,2)，BC
―→
＝B 1C 1―→
＝(2，－2,0)．
所以cos 〈AA 1―→，BC ―→
〉＝AA 1―→·BC ―→|AA 1―→|·|BC ―→|＝－48×8＝－12，
故棱AA 1与BC 所成的角是π
3
.
(2)设B 1P ―→＝λB 1C 1―→
＝(2λ，－2λ，0)， 则P (2λ，4－2λ，2)．
设平面PAB 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 又AP ―→＝(2λ，4－2λ，2)，AB ―→
＝(0,2,0)， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n 1·AP ―→＝0，
n 1·AB ―→＝0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
2λx ＋4－2λy ＋2z ＝0，2y ＝0，
令x ＝1，得平面PAB 的一个法向量n 1＝(1,0，－λ)． 易知平面ABA 1的一个法向量是n 2＝(1,0,0)， 则cos 〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11＋λ
2
＝25
5， 解得λ＝1
2，即P 为棱B 1C 1的中点，
其坐标为P (1,3,2)时，
二面角P ­AB ­A 1的平面角的余弦值为25
5
.
3．(2019·盐城三模)某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0,1,2,3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，记S n 是3的倍数的概率为P (n )．
(1)求P (1)，P (2)；(2)求P (n )．
解：(1)抛掷1次，出现0或3时符合要求，故P (1)＝1
2
.
抛掷2次，出现1＋2,2＋1,0＋0,3＋3,0＋3,3＋0时符合要求，共计6种情况，故P (2)＝616＝38
. (2)法一：设S n 被3除余1的概率为P 1(n )，S n 被3除余2的概率为P 2(n )， 则有P (n ＋1)＝12P (n )＋14P 1(n )＋1
4
P 2(n )，①
P 1(n ＋1)＝14P (n )＋12P 1(n )＋14
P 2(n )，②
P 2(n ＋1)＝14P (n )＋14P 1(n )＋12
P 2(n )，③
①－(②＋③)，得P (n ＋1)－[P 1(n ＋1)＋P 2(n ＋1)]＝－1
2[P 1(n )＋P 2(n )]，
化简，可得4P (n ＋1)＝P (n )＋1， 即P (n ＋1)－13＝14⎣
⎢⎡
⎦
⎥
⎤P
n －1
3，
又P (1)＝12，所以可得P (n )＝13＋23·1
4
n .
法二：设S n 被3除余1的概率为P 1(n )，S n 被3除余2的概率为P 2(n )，则P 2(n )＝1－P (n )－P 1(n )，
又P (n ＋1)＝12P (n )＋14P 1(n )＋1
4
P 2(n )，
所以P (n ＋1)＝12P (n )＋14P 1(n )＋1
4[1－P (n )－P 1(n )]，
得4P (n ＋1)＝P (n )＋1， 即P (n ＋1)－13＝14⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤P
n －13，
又P (1)＝12，所以可得P (n )＝13＋23·1
4
n .。