王松桂、程维虎等-概率论与数理统计(第三版)科学出版社第1章

再如:
测量一件物体的长度，由于仪器或观测 者受到环境的影响，每次测量的结果可能有 差异，但多次测量结果的平均值随着测量次 数的增加而逐渐稳定在常数，并且各测量值 大多落在此常数附近，离常数越远的测量值 出现的可能性越小。
概率论与数理统计的研究内容
随机现象具有偶然性一面，也有必然性一 面。偶然性一面表现在“对随机现象做一次观 测时，观测结果具有偶然性(不可预知)”；必 然性一面表现在“对随机现象进行大量重复观 测时，观测结果有一定的规律性，即统计规律 性”。
当试验次数 n充分大时，事件的频率总在 一个定值附近摆动，而且，试验次数越多， 一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率 的稳定性。
频率在一定程度上反映了事件在一次试 验中发生的可能性大小。尽管每进行一连 n次 试验，所得到的频率可能各不相同,但只要 n 足当大，频率就会非常接近一个固定值—— 概率。
特别地，称Ω-A为 A 的对 立事件(或 A的逆事件、补 事件)等，记成 A 。
A就是 A不发生。
例1(续)：A1={1}, B ={2,4,6},于是
A1 {2,3,4,5,6} B {1,3,5}
II. 事件的运算法则(与集合运算法则相同)
交换律: A∪B=B∪A，AB=BA； 结合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，
随机现象的特点
• 对随机现象进行观察 、观测或测量，每次 出现的结果是多个可能结果中的一个， “每次结果都是 不可预知的”； 但“所有 可能的结果是已知的”。
• 在一定条件下对随机现象进行大量重复观 测后就会发现：随机现象的发生具有统计 规律性。
例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个别
炮弹的弹着点可能偏离目标(有随机误差)， 但多枚炮弹的弹着点就呈现出一定的规律。 如：命中率等。
=(AA1)∪(AA2)∪…∪(AAn)，
A1 A2 An A1 A2 An , A1A2 An A1 A2 An .
小结
本节首先介绍随机试验、样本空间的 基本概念，然后介绍随机事件的各种运算 及运算法则。
§1.2 事件的概率
1.2.1 事件的频率 I. 频率定义
设A是一个事件, 在相同条件下进行n次试 验，A发生了m次。则称 m为事件A在 n次试验 中发生的频数或频次，称 m与 n之比 m/n 为事 件A在 n次试验中发生的频率，记为 fn(A)。
事件A与B的积或交： 若事件C发生，当且仅 当事件A与B同时发生, 则称事件C为事件A与B 的积或交，记成 A∩B或 AB。
特别地,当AB=Ø时， 称A与B为互斥事件 (或互不相容事件)， 简称A与B互斥。也 就是说事件A与B不 能同时发生。
例 1(续)：A1={1}, A2={2}, 于是 A1A2=Ø。 故A1与A2互斥；B={2,4,6}, C={1,3,5}, 于 是 BC=Ø，故B与C也互斥。
随机试验举例
E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几; E2: 观察某城市某个月内交通事故发生的次数; E3: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命; E4: 对某只灯泡做试验,观察其使用寿命是否小
于200小时。
II. 样本空间 对于随机试验，尽管在每次试验之前不能
预知试验结果，但试验的所有可能结果所构成 的集合却是已知的。称试验所有可能结果所构 成的集合为样本空间，记为Ω。 样本空间的元 素， 即随机试验的单个结果称为样本点。
(2).空集不包含任何样本点，但它也是样本 空间Ω的一个子集，由于它在每次试验中 肯定不发生，所以称为不可能事件。
1.1.2 事件的关系与运算 I. 集合与事件
回忆: 做试验 E 时,若A,则称事件 A发生。
集合A包含于集
合B: 若对 A, 总有 B,
则称集合A包含 于集合B, 记成 AB。
事件A包含于事 件B: 若事件A 发生必有事件B
发生，则称事 件A包含于事件 B, 记成AB。
若AB, 且BA, 则称事件A与B相等, 记成A=B。
集合A与B的并或和：
若 C, 当且仅当 A或B,则称集合
C为集合A与B的并或 和,记成 A∪B 。
事件A与B的并或 和：若事件 C发 生, 当且仅当事 件A或B发生, 则 称事件C为事件A 与B的并或和, 记 成 A∪B 。
概率论与数理统计
概述
• 随机现象及其统计规律性 ☆ 什么是随机现象？ ☆ 随机现象的特点 ☆ 概率论与数理统计的研究内容 ☆ 概率论与数理统计的广泛应用
• 随机事件的基本概念 ○ 随机试验与事件 ○ 事件的关系与运算
什么是随机现象？
人们所观察到的现象大体上分成两类：
1. 事前可以预知结果：即在某些确定的条件满足 时，某一确定的现象必然会发生，或根据它过 去的状态，完全可以预知其将来的发展状态。 这样的现象为确定性现象或必然现象。
若以Ωi 表示 试验 Ei 的样本空间, i=1,2,3,4, 则
◆ E1: 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几， Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}；
E2: 观察某城市某个月内交通事故发生次数， Ω2 = {0,1,2,…}；
E3: 对某只灯泡实验，观察其使用寿命， Ω3 = {t,t≥0}；
5. 对任意两个事件A, B，有
证明： 因 AB，A－AB，B－AB两两互斥，且 A∪B = AB∪(A－ AB) ∪(B－ AB)，
由概率的可加性， 有
说明 n个事件并的多除少补公式ห้องสมุดไป่ตู้
特别地，n = 3 时，有
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 )
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象 统计规律性的数学分支。
概率论与数理统计有广泛应用
(1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定； (2).流水线上产品质量检验与质量控制； (3).服务性行业中服务设施及服务员配置； (4).生物医学中病理试验与药理试验； (5).食品保质期、弹药贮存分析，电器与电
A(BC)=(AB)C； 分配律: A(B∪C)=AB∪AC，
A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)；
对偶律: A B AB，AB A B；
不是A,B中至 少有一个发生
A, B均不发生
还有 A B AB, A AB AB.
对于多个随机事件,上述运算规则也成立 A(A1∪A2∪…∪An)
又如：进行产品检验时，如果检验了n 件产品, 其中m 件为次品，则当 n 很大时，可用 m/n 作 为产品的次品率(概率)的估计值。
II. 频率性质
(1) 0≤ fn(A)≤1； (2) fn(Ω)=1, fn(Ø)=0； (3).若事件 A1,A2,…,Ak 两两互斥，则:
f n k Ai k f n ( Ai )。
II. 概率的性质
1. P(Ø)=0，即不可能事件的概率为零； 2. 若事件 A1,A2,…, An 两两互斥，则有：
P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+…+P(An), 即互斥事件并的概率等于它们各自 概率之和(有限可加性)；
3. 对任一事件A, 均有 P( A) 1 P( A);
4. 对两个事件A和B，若AB, 则有: P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)≥P(A)。
E4: 对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否 小于200小时，
Ω4={寿命小于200小时，寿命不小于200小时}。
III.随机事件
把样本空间Ω的任意一个子集称为一个 随机事件，简称事件。常用大写字母 A, B, C 等表示。
特别地，如果事件只含一个试验结果(即 样本空间中的一个元素)，则称该事件为基本 事件；否则为复合事件。
P( A1 A2 A3 )
小结
本节首先介绍频率的概念，指出在试验 次数充分大的情况下，频率接近于概率的结 论；然后给出了概率的公理化定义及概率的 主要性质。
§1.3 古典概率模型
I. 什么是古典概率模型
i 1
i 1
1.2.2 事件概率 I. 概率定义
1933年，前苏联数学家(概率统计学家)柯 尔莫哥洛夫 (Kolmogorov) 给出了概率如下公理 化定义。
概率的公理化定义
设E是随机试验，Ω是样本空间，对Ω中
的每个事件A，赋予一个实数P(A) ，如果事 件(集合)函数 P(A) 满足下述三条:
子产品寿命分析； (6). 物矿探测、环保监测、机械仿生与考古；
第一章 随机事件
§1.1 基本概念
1.1.1 随机试验与事件
I. 随机试验 把对某种随机现象的一次观察、观测或测
量称为一个试验。如果这个试验在相同的条件 下可以重复进行，且每次试验的结果事前不可 预知，则称此试验为随机试验，也简称试验， 记为 E。 注：以后所提到的试验均指随机试验。
n个事件 A1,A2,…,An的和
n
C Ai
i 1
C发生就是A1,A2,…, An 中至少一个事件发生。
无穷多个事件A1,A2,…的和
C Ai
i 1
C发生就是A1,A2,… 中 至少一个发生。
集合A与集合B
的交或积：若 C, 当且仅当 A且 B, 则
称集合C为集合 A与B的交或积， 记成A∩B或AB。
稳定在概率 p 附近
在实际问题中，当概率不易求出时，人 们在试验次数很大情况下，常用事件的频率 作为概率的估计，并称此概率为统计概率。 这种确定概率的方法为频率法。
例如: 若需了解某射箭运动员中10环的概率， 应对该运动员在相同条件下的多次射箭情况 进行观测、统计。
假设其射击n次，中10环m次，当 n很大 时，就 m/n 作为其命中10环的概率。
n个事件A1,A2,…,An的积
n
C
Ai
i 1
C 发生就是A1,A2,…, An 都发生。
无穷多个事件A1,A2,…的积
C Ai
i 1
C 发生就是A1,A2,… 都发生。
集合A与集合B的差：
若 且
CB当，且则仅称当集合CA为
集合A与B的差，记成
A-B。
事件A与B的差： 若事件C发生当 且仅当事件A发 生且事件B不发 生，则称事件C 为事件A与B的 差,记成 A－B。
因此, 概率可以通过频率来“度量”, 频率 是概率的近似, 概率是频率某种意义下的极限。
考虑在相同条件下进行的 k 组试验
事件A在各组试验中的频率形成一个数列
m1，m2 ，，mk .
n1 n2
nk
下面我们来说明频率稳定性的含义。 频率稳定性是指：各组试验次数 n1,n2…, nk 充分大时，在各组试验中事件 A 出现的频率 间、或频率与某定值相差很小 。
(1). P(A)≥0； (2). P(Ω)=1 ; (3). 若事件A1, A2 ,… 两两互斥，则有
P(A1 A2 ) P(A1) P(A2) .
则称P(A)为事件A的概率。
注意：这里的函数P(A)与以前所学过的函 数不同。不同之处在于：P(A)的自变量是事件 ( 集合 )。
不难看出：这里事件概率的定义是在频率 性质的基础之上提出的。在§5.1中, 我们将看 到：频率fn(A)在某种意义下收敛到概率P(A)的 结论。基于这一点，我们有理由用上述定义的 概率 P(A)来度量事件A在一次试验中发生的可 能性大小。
例1：写出试验 E1的样本空间，下述集合表 示什么事件？指出哪些是基本事件：
解：Ω1={1,2,3,4,5,6}. A1={1},A2={2},…,A6={6}━━分别表示
所掷结果为一点至六点，都是基本事件； B={2,4,6}━━表示所掷结果为偶数点，
复合事件； C={1,3,5,}━━表示所掷结果为奇数点，
复合事件； D={4,5,6}━━表示 所掷结果为四点或四
点以上，复合事件。
注意: 只要做试验,就会产生一个结果,即样本
空间Ω中就会有一个点(样本点)出现。当结 果 A 时，称事件A发生。
(1).由于样本空间Ω包含了所有的样本点,且 是Ω自身的一个子集。故,在每次试验中 Ω总是发生。因此, 称Ω为必然事件。
2. 事前不能预知结果：即在相同的条件下重复进 行试验时，每次所得到的结果未必相同，或即 使知道它过去的状态，也不能肯定它将来的状 态。这样的现象为偶然性现象或随机现象。
下列现象中哪些是随机现象？
A. 在一个标准大气压下, 水在100℃时沸腾；× B. 明天的最高温度; √ C. 掷一颗骰子，观察其向上点数；√ D. 上抛的物体一定下落；× E. 新生婴儿体重。√