2022年高考数学冲刺复习名师点津：高考热点问题选讲(精华版)

2022年高考数学冲刺复习名师点津：高考热点问题选讲
一、函数问题
函数是高中数学中重要的基础知识，也是高中数学的主体。

函数是高中数学的核心内容，是学习高等数学的基础，函数的思想方法贯穿中学数学的始终，利用函数思想可以解决很多数学问题，是最能体现学生能力和水平的学习内容，为历年高考考查的重点。

在高考中函数问题具有以下特点：
1. 以函数概念的深化理解与函数图象及性质的灵活运用构成命题的核心
近年来，求函数的值域（或最值）及活用奇偶性、单调性、周期性、对称性成为高考的热点问题。

重点考查二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数及抽象函数的有关性质，及利用函数性质灵活解题。

函数的单调性常用来判断、证明、比较大小，求单调区间及有关参数的范围，奇偶性则经常扩展到图象的对称性，且与单调性和周期性联系在一起，解决较复杂的问题。

尤其值得注意的是，凡涉及函数、方程和不等式的问题，必须首先考虑定义域，这也是学生解决问题时容易忽略的地方。

2. 创设新情景，考查学生阅读理解领悟新信息的能力
近年来，新信息题成为新课标函数改革的一个新的亮点，和应用题一样，它考查了学生的阅读、理解能力，提炼数学问题的能力，以及用数学语言表达的能力，要求学生仔细阅读，抓住信息，透彻理解，准确解题。

有许多新定义或抽象函数是建立在一定的特殊函数的基础上的，解决这样的问题可以将熟知的函数作为依托去构思，但解答时不能写特殊函数，应遵循新定义或抽象函数所满足的规律。

3. 在函数与其他知识的网络交汇点处设计试题，培养解决综合问题的能力。

一、函数问题
例1 已知函数)()(R x xe x f x ∈=-
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，；
（Ⅲ）如果，且，证明。

()f x ()y g x =()y f x =1x =1x >()()f x g x >12x x ≠12()()f x f x =122x x +>
一点通：（Ⅰ）先求导，求出导数为零的值，通过列表判定导数符号，确定出单调性和极值。

（Ⅱ）先利用对称性求出g （x ）的解析式，比较两个函数的大小可将它们作差，研究新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可得证。

（Ⅲ）通过分析题意，应先讨论，可设121,1x x <>，利用第（Ⅱ）问的结论可得22()()f x g x >，根据对称性将2()g x 换成2(2)f x -，再利用单调性根据函数值的大小得到自变量的大小关系。

答案：（Ⅰ）'f
令'f （x ）＝0，解得x ＝1
当x 变化时，)('x f ，f （x ）的变化情况如下表
函数f （x ）在x ＝1处取得极大值f （1）且f （1）＝
（Ⅱ）由题意可知g （x ）＝f （2－x ），得g （x ）＝（2－x ） 令F （x ）＝f （x ）－g （x ），即
于是
当x>1时，2x －2>0，从而0122>--x e ，又0>-x e ，所以F '（x ）>0，从而函数F （x ）在[1，＋∞）内是增函数。

又F （1）＝F （x ）>F （1）＝0，即f （x ）>g （x ）。

（Ⅲ）（1）若
（2）若 根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，)(2x f >，则)2()(22x f x g -=，所以)2()(22x f x f ->，从而)2()(21x f x f ->。

因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f （x ）在区间（－∞，1）内是增函数，所以>，即>2。

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。

例2 设函数，对任意3,)2x ⎡∈+∞⎢⎣，()(1)x x x e -=-,1-∞1,+∞1e
2x e -2()(2)x x F x xe x e --=+-22'()(1)(1)x x F x x e e --=---1-1e e 0-=，所以x>1时，有1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设)2g(x 21x >221x -<1x 22x -12x x +2()1f x x =-
)1()(42-≤-⎪⎭
⎫ ⎝⎛x f x f m m x f )(4m f +恒成立，求实数的取值范围。

一点通：依据题意得()()
141)1(141222222-+--≤---m x x m m
x 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒成立，即12341222+--≤-x x m m 在⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒成立，求出函数1232+--=x x
y 的最小值即可求出m 的取值范围。

答案：依据题意得在上恒成立，即在上恒成立。

当时函数取得最小值，所以，即，解得或 点评：本题是较为典型的恒成立问题，难度较大，恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。

二、探索性问题
探索性问题成了近几年高考命题的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人才的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。

探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现有规律的东西。

这类问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往无从下手。

探索性问题主要有以下几类：
1. 探索条件型问题：从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件；
2. 探索结论型问题：从给定的题设条件出发，探求相关的结论；
3. 探索存在型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在；
4. 探索综合型问题：从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发，探究问题的相应变化。

探索性问题，是从高层次考查学生创造性思维能力的新题型，正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化与非等m 22222214(1)(1)14(1)x m x x m m
---≤--+-3[,)2x ∈+∞22213241m m x x -≤--+3[,)2
x ∈+∞32x =2321y x x =--+53-221543
m m -≤-22(31)(43)0m m +-
≥m ≤
m
≥
价转化等数学思想方法才能得到解决，同学们在学习中要重视对这一问题的训练，以提高自己的思维能力和开拓能力。

二、探索性问题 例1 已知椭圆C ：22221x y a b
+=)0(>>b a
的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l
的距离为2
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立？
若存在，求出所有的点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。

一点通：（Ⅰ）设)0,(c F ，则直线1的方程为0=--c y x ，由坐标原点O 到l 的距离求得c ，进而根据离心率求得a 和b 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆的方程，设),(11y x A 、1:),,(22+=my x l y x B 代入椭圆的方程中整理得方程0>∆。

由韦达定理可求得21y y +和21y y 的表达式，假设存在点P ，使OB OA OP +=成立。

则其充要条件为：点P 的坐标为),(2121y y x x ++，代入椭圆方程；把A ，B 两点代入椭圆方
程，最后联立方程求得c ，进而求得P 点坐标，求出m 的值从而得出直线l 的方程。

答案：（Ⅰ）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为
，故， 由，得 ，＝ （Ⅱ）C 上存在点，使得当绕转到某一位置时，有OB OA OP +=成立。

由（Ⅰ）知C 的方程为＋＝6。

设
（ⅰ）当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为)1(-=x k y
C 上的点P 使OB OA OP +=成立的充要条件是，且，整理得
(),0,c F l O c y x ,0=--l 2
200c c
=--2
22=c 1=c 3
3==a c e 3=a 22c a b -=2P l F 22x 23y ).,(),,(2211y x B y x A ）点的坐标为（2121,y y x x P ++6)(3)(2221221=+++y y x x 6643232212122222121=+++++y y x x y x y x 632,63222222121=+=+y x y x C B A 上，即在、又
故 ①
将
于是， ＝， 2
221221324)1)(1(k k x x k y y +-=--=代入①解得，此时 于是＝， 即 因此，当时，，； 当时，，。

（ⅱ）当垂直于轴时，由)0,2(=+OB OA 知，C 上不存在点P 使OB OA OP +=成立。

综上，C 上存在点使OB OA OP +=成立， 此时的方程为。

点评：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用的能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关的关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数的关系求解，要注意特殊情况的处理。

例2 如图，在三棱锥
中，底面,60,,︒=∠=ABC AB PA ABC
︒=∠90BCA ，点，分别在棱上，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由。

一点通：（Ⅰ）欲证BC ⊥平面PAC ，根据直线与平面垂直的判定03322121=++y y x x 并化简得代入,632)1(22=+-=y x x k y 0636)32(2222=-+-+k x k x k 2221326k k x x +=+21x x 223263k
k +-22=k 2321=+x x )2(2121-+=+x x k y y 2k -)2
,23(k P -2-=k )2
2,23(P 022=-+y x l 的方程为2=k )2
2,23(-P 022=--y x l 的方程为l x )2
2,23(±
P l 022=-±y x P ABC -PA ⊥D E ,PB PC //DE BC BC ⊥PAC D PB AD PAC E A DE P --
定理可知只需证BC 与平面PAC 内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA ⊥BC ，而AC ⊥BC ，满足定理所需条件；
（Ⅱ）根据DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ，则∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角。

在Rt △ADE 中，求出AD 与平面PAC 所成角即可； （Ⅲ）根据DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，由二面角的平面角的定义可知∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角，而PA ⊥AC ，则在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，从而存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角。

答案：（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC 。

又︒=∠90BCA ，∴AC ⊥BC 。

∴BC ⊥平面PAC 。

（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，E ∴为PC 的中点
,21,43,0,21,43,41⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴a a E a a a D ∴又由（Ⅰ）知，⊥BC 平面PAC ，⊥∴DE 平面PAC ，
垂足为点E 。

DAE ∠∴是AD 与平面PAC 所成的角，
414cos ,21,43,0,21,43,41==∠∴⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AE AD DAE a a AE a a a AD 。

∴与平面
（Ⅲ）∵DE//BC ，又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，
又∵AE 平面PAC ，PE 平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 为二面角的平面角，
∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴︒=∠90PAC 。

∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时︒=∠90AEP ， 故存在点E 使得二面角是直二面角。

点评：考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及的知识点较多，知识性、技巧性都很强。

三、选择题的解题策略
高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题。

目前高考数学选择题采用的是一元选择题（即有且只有一个正确答案），解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，又要看到选择题的特殊性。

选择题的结构特点决定了解选择题除常规方法AD PAC ⊂⊂A DE P --A DE P -
-
外还有一些特殊的方法。

解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中（包括题干和选项）提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断。

数学选择题的求解一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件。

三、选择题的解题策略
1. 排除法
排除法，也叫筛选法、淘汰法。

它是充分利用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确的选择支这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选择支，从而得出正确结论的一种方法。

例1 若函数f （x ）＝x 2＋（2a ＋1）|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是（ ）
A. a <－32或a >12
B. －32<a <12
C. a >－12
D. a <
－12
一点通：从答案中排除不正确的选项即可
答案：取a ＝0，则函数化为f （x ）＝2x ＋|x |＋1，显然函数是一个偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项B 和C ；再取a ＝1，则函数化为f （x ）＝2x ＋3|x |＋1，显然函数是一个偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，则函数只有两个单调区间，不符合题意，故可排除选项A 。

故选D 。

点评：利用排除法解选择题，可省去直接法的繁琐。

2. 特殊化法
特殊化法是用特殊值（或特殊图形、特殊位置）代替题设中的普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而作出正确的选择。

常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。

例2 已知A 、B 、C 、D 是抛物线y 2＝8x 上的点，F 是抛物线的
焦点，且F A →＋FB →＋FC →＋FD →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＋|FD →|的值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
一点通：通过选项知结果与四个点的位置无关，可选择特殊位置求解
答案：取特殊位置，AB ，CD 为抛物线的通径，显然F A →＋FB
→＋FC →＋FD →＝0， 则|F A →|＋|FB
→|＋|FC →|＋|FD →|＝4p ＝16，故选D 。

点评：本题主要考查抛物线的简单性质，平面向量的基础知识。

考查学生分析问题和解决问题的能力。

3. 模型构造法
模型构造法是化归思想指导下的解题方法，比如可将立体几何问题转化为平面几何问题，代数问题转化为几何问题（数形结合），数学问题转化为物理问题等。

例3 的表面积为（ ）
A. 3π
B. 4π
C. 33π
D. 6π
一点通：本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都
的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体的棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径
R S 球＝24R π，即可得到答案。

答案：借助立体几何的两个熟知的结论：
（1）一个正方体可以内接一个正四面体；
（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。

则球的半径R 3π，故答案选A 。

点评：棱长为a ，外接。

4. 估算法
估算法是数学思维中量化能力的要求所在，对数学信息精确定性，近似定量，很能考查学生分析问题的能力，也是目前出题的立意之一。

例4 如图，多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF 平行于AB ，2
3=EF ，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A. 29
B. 5
C. 6
D. 215 一点通：由题意，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF 与面AC 的距离为2，我们易求出四棱锥E －ABCD 的体积，然后据题意
求出V E －ABCD 与几何体的体积，即可得到正确选项。

答案：连接EB ，EC ，
则623312=⨯⨯=-ABCD E V ，
可知原多面体的体积必大于6，故选D 。

点评：本题考查的知识点是组合几何体的面积、体积，是常考题目。

本题可以直接求解，但较麻烦。

解答组合体问题的常用方法是分割法。

5. 等价转化法
等价转化法是把未知解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。

通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。

它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言翻译为数学语言；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。

消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。

可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。

例5 把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（ ）种
A. 3
6C B. 26C C. 39C D. 291C 2
一点通：首先保证放入和编号相同的球数，再分析剩下的球的不同放法即可。

答案：首先在编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个小球，则余下的7个球只要用隔板法分成3堆即可，有26C 种，选B ；
如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只0，1，2个小球，而更容易想到在三个盒子中分别放入1，2，3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或曰借来的）3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也本本问题等价。

点评：此题考查了学生的分析能力，将未知问题转化为已知问题的能力。

解答数学填空题应注意以下几点：
解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题
的填空题，也可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形
结合法．解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速作出正确的
结果．解填空题不要求解题过程，从而结论是判断是否正确的唯一标
准，因此解填空题时要注意如下几个方面：①要认真审题，明确要求，
思维严谨、周密，计算有据、准确；②要尽量利用已知的定理、性质
及已有的结论；③要重．视对所求结果的检验．
解答数学应用题应注意以下几点：
（1）消除心理障碍
许多考生一见应用题文字比较长、题目中的情境比较陌生，就
望而生畏、置之不理。

岂不知，这类问题实际上也是对心理素质的
考验。

所以要树立信心，提高心理承受能力，保持冷静，认真对待，
切不可随意放弃，等你认真阅读完题目，你就可能认为这道题并不
难。

（2）排除语言障碍
数学应用题的情景，往往是当前社会的热点问题和具有现实意
义的问题，非常贴近生活，所给的材料具有一定的“原始性”。

许
多考生往往不能很好地将“材料”与“模型”有机地结合起来，这
就要求考生在解应用题时，首先应仔细读题，通过读题，抓住关键的数量关系，然后准确地翻译成数学语言。

那么，怎样读题呢？比如说，可用加点划线的方法强调关键性的语句，再连贯读出，形成完整的问题；也可以用划分层次、归纳大意的方法从背景材料中提炼需要解决的实际问题；或对多个数量进行汇集、归类，借助图表显现出已知量和未知量，体现出需要解决的数学问题；或者用改写的方法对应用题去掉枝叶，抓住主干，保留题中的数量关系，将实际问题转化为数学问题。

（3）充分发挥课本中提供的应用性知识的作用
课本中包含着大量的应用性材料，如引入指数函数时的“细胞分裂”，数列在“分期付款”中的应用及“水池造价”、“市场促销”、“割圆术”等，这都是数学应用的素材，是培养应用数学知识解决实际问题能力的好机会，复习备考中一定要仔细阅读，认真领会，切实掌握将实际问题“数学化”的思路和途径。

（4）注重积累和总结，掌握常见的数学模型的建立，逐步提高建立数学模型的能力
（答题时间：45分钟）
一、选择题 1.
若不等式组0
3434x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域被直线43
y kx =+分为
面积相等的两部分，则k 的值是（ ）
A.
73 B. 37 C.43 D. 34
2. 某邮局只有0.60元，0.80元，1.10
元的三种邮票。

现有邮资为
7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票（ ）
A. 7张
B. 8张
C. 9张
D. 10张 3. 据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（ ）
A. 115000亿元
B. 120000亿元
C. 127000亿元
D. 135000亿元
二、填空题
1. 观察sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°＝4
3，sin 215°＋cos 245°＋sin15°·cos45°＝
4
3
，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 。

2. 已知定义在R 上的奇函数满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f （x ）＝m （m>0）在区间上有四个不同的根，则=+++4321x x x x 。

3. 在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2
)
()()2(
2121x f x f x x f +>
+恒成立的函数的个数有
4. 过抛物线y 2＝4x 的焦点，作直线与此抛物线相交于P 和Q 两点，
那么线段PQ 中点的轨迹方程是______。

三、解答题
1. 已知函数432()2f x x ax x b =+++（x R ∈），其中R b a ∈,。

（Ⅰ）当10
3
a =-
时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围。

2. 如图，等腰△ABC
的底边AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点。

点F 在边BC 上，且EF AB ⊥。

现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE AE ⊥。

记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积。

)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x
①求()
V x的表达式；
②当x为何值时，()
V x取得最大值？并求出最大值；
③当()
V x取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。

一、选择题 1. A 解析：不等式表示的平面区域为如图所示的阴影部分（△ABC ）
由3434
x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，1），又B （0，4），C （0，43）
∴S △ABC ＝144
(4)1233
-⨯=，设y kx =与34x y +=的
交点为D ，则由1223BCD ABC S S ∆∆==知12D x =，∴5
2
D y =
∴5147
,2233
k k =⨯+=，选A 。

2. B 解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张，共8张。

3. C 解析：根据题意，有95933（1＋7.3%）4≈127164.8，故选C 。

二、填空题
1. sin 2α＋cos 2（α＋30°）＋sin αcos （α＋30°）＝4
3 解析：由50°–20°＝45°–15°＝30°
可得sin 2α＋cos 2（α＋30°）＋sin αcos （α＋30°）＝43。

2. －8
解析：因为定义在R 上的奇函数)(x f ，满足，所以，又为奇函数，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间[0，2]上是增函数，所以在区间[－2，0]上也是增函数。

如图所示，那么方程f （x ）＝m （m>0）在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知所以
(4)()f x f x -=-(4)()f x f x -=-)(x f 2x =(0)0f =(4)()f x f x -=-(8)()f x f x -=)(x f )(x f []8,8-1234,,,x x x x 1234x x x x <<<1212x x +=-344x x +=12341248
x x x x +++=-+=-
3. 1个
解析：要使2
)
()()2(
2121x f x f x x f +>
+恒成立，由函数值的定义及函数图象知需要函数在01x <<内为凸函数。

而22,x y y x ==在01x <<内为
凹函数，cos 2y x =在01x <<内为先凸后凹函数。

只有2log y x =在01x <<内为凸函数。

4. y 2＝2x －2
解析：设过焦点的直线y ＝k （x －1），则y kx y x =-=⎧⎨⎩1
42，消y 得：
k 2x 2－2（k 2＋2）x ＋k 2
＝0，中点坐标有x x x k k y k k k k =+=+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪12222
222212()，消k 得y 2＝2x －2
三、解答题 1. 解：（Ⅰ）322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++。

当10
3
a =-
时，2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--。

令()0f x '=，解得10x =，21
2
x =，32x =。

当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 在(0,)2，(2,)+∞内是增函数，在(,0)-∞，(,2)2
内是减函数。

（Ⅱ）2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根。

为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24403x ax +≥+成立，即有29640a ∆=-≤。

解此不等式，得3
838a -≤≤。

这时，(0)f b =是唯一的极值。

因此满足条件的a 的取值范围是88[,]33
-。

（Ⅲ）由条件[2,2]a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒
成立。

当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>。

因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者。

为使对任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，当且仅当111))1((f f ≤-≤⎧⎨
⎩，即22b a b a
≤--≤-+⎧⎨⎩
，在[2,2]a ∈-上恒成立。

所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-。

2. 解：①由折起的过程可知，PE ⊥平面ABC ，69=∆ABC S ，
2
12
6x S BEF =
∆， )121
9(36)(2x x x V -=∴ )630(<<x
②)4
1
9(36'2x V -=， 所以当)6,0(∈x 时，0)('>x V ，()V x 单调递增；当)63,6(∈x 时，0)('<x V ，()V x 单调递减，因此6x =时，()V x 取得最大值612；
③过F 作MF //AC 交AB 于M ，则
BD BE BC BF AB BM =
=，AB BD 2
1
=，122==BE MB ， 26=PM 42===PF BF MF ，在PFM ∆中，
7
1
42272842cos 222=⨯-=⋅-+=∠MF PF PM MF PF PFM
∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为7
1。