高一数学人教A版必修1教案：第一章第一节集合第四课时 Word版含解析

第一章第一节集合第四课时
导入新课
问题：①分别在整数范围和实数范围内解方程(x －3)(x －3)＝0，其结果会相同吗？ ②若集合A ＝{x |0<x <2，x ∈Z }，B ＝{x |0<x <2，x ∈R }，则集合A ，B 相等吗？
学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题．
推进新课
新知探究
提出问题
①用列举法表示下列集合：
A ＝{x ∈Z |(x －2)(x ＋3
1)(x －2)＝0； B ＝{x ∈Q |(x －2)(x ＋3
1)(x －2)＝0； C ＝{x ∈R |(x －2)(x ＋3
1)(x －2)＝0}. ②问题①中三个集合相等吗？为什么？
③由此看，解方程时要注意什么？
④问题①，集合Z ，Q ，R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义．
⑤已知全集U ＝{1,2,3}，A ＝{1}，写出全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合B . ⑥请给出补集的定义．
⑦用Venn 图表示∁U A .
活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围．
讨论结果：①A ＝{2}，B ＝{2，－13}，C ＝{2，－13，2}． ②不相等，因为三个集合中的元素不相同．
③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同．
④一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U .
⑤B ＝{2,3}．
⑥对于一个集合A ，全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集．
集合A 相对于全集U 的补集记为∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．
⑦如图6所示，阴影表示补集．
图6 应用示例
思路1
例1设U ＝{x |x 是小于9的正整数}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4,5,6}，求∁U A ，∁U B .
活动：让学生明确全集U 中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U ，依据补集的定义写出∁U A ，∁U B .
解：根据题意，可知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以∁U A＝{4,5,6,7,8}；∁U B＝{1,2,7,8}．
点评：本题主要考查补集的概念和求法．用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果．
常见结论：∁(A∩B)＝(∁A)∪(∁B)；∁(A∪B)＝(∁A)∩(∁B).
A∩B，∁U(A∪B)．
活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义．结合交集、并集和补集的含义写出结果．A∩B是由集合A，B中公共元素组成的集合，∁U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合．
解：根据三角形的分类可知A∩B＝∅，
A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
例1已知全集U＝R，A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|－3≤x≤3}，求：
(1)∁U A，∁U B；
(2)(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∩B)，由此你发现了什么结论？
(3)(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∪B)，由此你发现了什么结论？
活动：学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决．依据补集的含义，借助于数轴求得．
解：在数轴上表示集合A，B，如图7所示，
图7
(1)由图得∁U A＝{x|x<－2或x>4}，∁U B＝{x|x<－3或x>3}．
(2)由图得(∁U A)∪(∁U B)＝{x|x<－2或x>4}∪{x|x<－3或x>3}＝{x|x<－2或x>3}；∵A∩B ＝{x|－2≤x≤4}∩{x|－3≤x≤3}＝{x|－2≤x≤3}，
∴∁U(A∩B)＝∁U{x|－2≤x≤3}＝{x|x<－2或x>3}．
∴得出结论∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．
(3)由图得(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x<－2或x>4}∩{x|x<－3或x>3}＝{x|x<－3或x>4}；∵A∪B ＝{x|－2≤x≤4}∪{x|－3≤x≤3}＝{x|－3≤x≤4}，∴∁U(A∪B)＝∁U{x|－3≤x≤4}＝{x|x<－3
U U
A)∩(∁U B)＝{2,17}，求集合A，B.
U
活动：学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素．利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可．求集合A，B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A，B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来解决．
解：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
由题意借助于Venn图，如图8所示，
图8
∴A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
点评：本题主要考查集合的运算、V enn图以及推理能力．借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表示出来，这正体现了数形结合思想的优越性.
图9
)
(N∩P)
M内部，排除C；阴影部分不在集合
内部，即是M的子集，又阴影部分在
图10
课本本节练习，4.
【补充练习】
课堂小结
本节课学习了：
①全集和补集的概念和求法．
②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．
作业
课本习题1.1，A组，9,10，B组，4.
设计感想
本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法，因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合，本节对此也予以体现，可以利用课余时间学习有关解不等式的知识．
备课资料
[备选例题]
【例1】已知A＝{y|y＝x2－4x＋6，x∈R，y∈N}，B＝{y|y＝－x2－2x＋7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分别用描述法、列举法表示它．
解：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，A＝{y|y≥2，y∈N}，
又∵y＝－x2－2x＋7＝－(x＋1)2＋8≤8，∴B＝{y|y≤8，y∈N}．
故A∩B＝{y|2≤y≤8}＝{2,3,4,5,6,7,8}．
【例2】设S＝{(x，y)|xy>0}，T＝{(x，y)|x>0且y>0}，则()
A．S∪T＝S B．S∪T＝T C．S∩T＝S D．S∩T＝∅
解析：S＝{(x，y)|xy>0}＝{(x，y)|x>0且y>0，或x<0且y<0}，则T⊆S，所以S∪T＝S.
答案：A
【例3】某城镇有1000户居民，其中有819户有彩电，有682户有空调，有535户彩
电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的有________户．
解析：设这1000户居民组成集合U，其中有彩电的组成集合A，有空调的组成集合B，如图13所示．有彩电无空调的有819－535＝284(户)；有空调无彩电的有682－535＝147(户)，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966(户)．填966.
图13
答案：966
差集与补集
有两个集合A，B，如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，那么C 就叫做A与B的差集，记作A－B(或A\\B)．
例如，A＝{a，b，c，d}，B＝{c，d，e，f}，C＝A－B＝{a，b}．
也可以用Venn图表示，如图14所示(阴影部分表示差集)．
图14图15
特殊情况，如果集合B是集合I的子集，我们把I看作全集，那么I与B的差集I－B，叫做B在I中的补集，记作B.
例如，I＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，B＝I－B＝{4,5}．
也可以用Venn图表示，如图15所示(阴影部分表示补集)．
从集合的观点来看，非负整数的减法运算，就是已知两个不相交集合的并集的基数，以及其中一个集合的基数，求另一个集合的基数，也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数．。