初中数学专题讲义-数据的收集与整理

初中数学专题讲义-数据的收集与整理
一、课标下复习指南
(一)数据的收集和整理
1.全面调查与抽样调查
统计调查分全面调查和抽样调查两种,实际中常采用抽样调查的方式.
(1)考察全体对象的调查属于全面调查.
(2)从总体中抽取样本进行调查,属于抽样调查.抽样调查是根据样本来估计总体的一种调查,简称抽查.抽查表达了用样本估计总体的思想.
(3)总体、个体及样本
总体：所要考察对象的全体,称为总体；
个体：总体中的每一个考察对象,称为个体；
样本：从总体中抽取的一局部个体,称为总体的一个样本.
样本中个体的数目称为样本容量.
说明抽样调查是实际中应用非常广泛的一种调查方式, 它是从总体中抽取样本进行调查,根据样本来估计总体的一种调查；常采用问卷调查等调查方式.
用划记法记录数据,通过表格整理数据,可以帮助我们找到数据的分布规律.
说明对于不同的抽样,可能得到不同的结果.
2.频数与频率
(1)频数：落在不同小组中的数据个数称为该组的频数.
(2)频数与数据总数的比称为频率.频率反映了各组频数在总数中所占的百分比.
3.几种常见的统计图表
(1)条形图
将数据按要求分成假设干小组,并用“划记〞的方法统计出各小组的频数；再根据统计的频数画出条形图.
(2)扇形图
将数据按要求分成假设干小组, 统计出各小组的频数, 并算出各组的频数占数据总数的百
分比；画一个圆,并规定圆的面积表示100%;算出各百分数所对应的扇形的圆心角的度数, 用量角器画出各扇形,并标出各百分数.
(3)折线图
以横轴表示统计的时间,纵轴表示数据,建立平面直角坐标系；在坐标平面内描点；用线段从左到右将这些点依次连接起来.
(4)频数分布直方图
用频数分布直方图描述数据的一般步骤为：计算最大值与最小值的差；确定组距与组数；
决定分点；列数频分布表；画频数分布直方图.
①把数据按一定的规律分成组的个数为组数,每一组两个端点的差称为组距.
组数取大值^ 广小值的整数局部1;
组距
②数据分组时,对数据要遵循“不重不漏〞的原那么,既不能有一个数据同时落在两个组内重复出现的现象,也不能有一个数据不在任何组内的遗漏现象；
③频数分布直方图能够显示各组频数的分布情况,易于显示各组之间频数的差异.
(5)频数折线图
频数折线图可以在频数分布直方图的根底上画出来. 取频数分布直方图中每一个矩形上
边的中点,然后在横轴上取两个频数为0的点,即在直方图的左边和右边各取一个频数为0 的点,再用线段从左到右将这些点依次连接起来.
说明利用统计图表示经过整理的数据,能更直观地反映数据规律.
(1)条形图：能显示具体数据,易于比拟数据差异；
(2)扇形图：用扇形的面积占圆的面积的百分比表示局部在总体中所占百分比,易于显示每组数据相对于总体的大小；
(3)折线图：易于显示数据的变化趋势；
(4)直方图：能显示各组频数分布的情况,易于显示各组之间频数的差异.
(二)数据的分析
1 .平均数、众数与中位数
(1)算术平均数
1
X (% X2 X n).
n
(2)加权平均数
如果一组数据中,X1, X2, X3,…,Xk出现的次数分别是f1, f2, f3,…,fk,那么这组数
据的加权平均数X X1f1 X2f2 X3f3 ------------------------ ^A
f1 f2 f3 f k
(3)众数与中位数
①在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时不止
一个)；
②将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,把处在最中间的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数；
③众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.
(4)平均数、中位数、众数的特征
①平均数、中位数和众数都是数据的代表,它们刻画了一组数据的平均水平；
②平均数容易受极端值的影响, 而中位数那么不能充分利用所有数据的信息, 众数在各个数据的重复次数大致相等时往往没有特别的意义.
2 .极差和方差、标准差
(1)极差：一组数据中数据最大值减去最小值的差叫做这组数据的极差.
①极差用来反映一组数据变化范围的大小,是刻画数据离散程度的最简单的统计量；
②极差受极端值的影响较大,不能反映中间数据的离散情况.
(2)方差：在一组数据X1, X2, X3,…,X n中,各数据与它的平均数X的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差,即
2 1 - 2 一2 一2
S [(再X) (X2 X) (X n X)].
n
①方差是用来反映一组数据波动情况的特征数, 常常用来比拟两组数据的波动大小, 方差越大,数据的波动越大；方差越小,数据的波动越小；
②方差的单位是原数据单位的平方.
■i------
(3)标准差：一组数据的方差的算术平方* †PU做这组数据的标准差,即s Vs2.
*标准差的计算公式：
统计量都是唯一的,但未必出现在这组数据中；
〔2〕一组数据都在常数a上下波动,即x'i = xi+a, X2' = X2 + a,…,xn'=xn+a时,平均
数x x a ;方差s'2= s2.
二、例题分析
例1以下调查方式,适宜的是〔〕.
A.要了解一批灯泡的使用寿命,采用普查方式
B.要了解甘肃电视台“陇原风貌〞栏目的收视率,采用普查方式
C.要保证“神舟六号〞载人飞船成功发射,对重要零部件的检查采用抽查方式
D.要了解人们对环境的保护意识,采用抽查方式
解 D.
说明当一项调查具有破坏性或以现有的人力、物力、财力很难〔或没有必要〕进行普查时,就选择抽查,对像“神舟六号〞重要零部件的检查这类调查那么必须选择普查.
例2 某校对1200名女生的身高进行了测量, 身高在1.58〜1.63〔单位：m〕这一小组的频率为0.25,那么该组的人数为〔〕.
A. 150 人
B. 300 个
C. 600 人
D. 900 人
分析1200名女生就有1200个身高,故数据总、数为1200.同理,该组的人数即为落在该组的数据个数,即该组的频数.由频率=频数+数据总数得, 频数=频率X数据总数= 0.25 X 1200 = 300.故该组的人数为300人.应选B.
说明对频数与频率的考查大多数放置于数据处理的背景之下, 侧重于对概念的理解与
运用,单独考查时一般以填空和选择的题型出现,但更多的是与统计图等结合考查.
例3我市某一周的最高气温统计如下表：
最高气温〔C〕25262728
天数1123
那么这组数据的中位数与众数分别是〔〕.
A. 27 C, 28 C
B. 27. 5 C, 28C
C. 28 C, 27 C
D. 26. 5C, 27 C
分析由上表可知,一共统计了7个数据,将它们按从小到大排列为25, 26, 27, 27, 28, 28, 28,第4个数据是27,故这组数据的中位数是27〔C〕.又数据28出现的次数最多, 所以众数是28〔C〕.应选A.
说明〔1〕求中位数时,先看这组数据的个数是奇数还是偶数,然后将这组数据按从小
到大的顺序排列.假设有奇数个数据,那么最中间那个数据就是这组数据的中位数；假设有偶数个数据,那么最中间两个数据的平均数即是这组数据的中位数；〔2〕求众数时,先数出各数据在这组数据中出现的次数, 出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 有时一组数据的众数不
只一个.
例4 某单位欲从内部招聘治理人员一名,对甲、乙、丙3名候选人进行了笔试和面试
两项测试,3人的测试成绩如下表所示：
1 O O O
s . [(X1 X) (X2 X) (X n X)]
† n
说明(1)一组数据的众数可以不唯一,但一定出现在这组数据中；而一组数据的其他
测试成绩/分
测试工程
甲乙丙笔试758090面试937068
图 19— 1
根据录用程序,组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议,
三人得票率
〔没有弃权票,每位职工只能推荐
1人〕如图19—1所示,每得一票记作 1分.
〔1〕请算出三人的民主评议得分；
〔2〕如果根据三颂测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用 〔精确到0.01〕?
〔3〕根据实际需要,单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的 4 ： 3 ： 3比例确
定
个人成绩,那么谁将被录用
？
解〔1〕三人民主评议的得分分别为： 甲200X 25%= 50〔分〕,乙200X40%= 80〔分〕,丙 200 X 35%= 70〔分〕.
〔2〕按三项平均成绩计算,甲的成绩是 1〔75 + 93+50〕 = 72.67,乙的成绩是-〔80+70 +
3 3
1
80〕 = 76.67,丙的成绩是 —〔90+68+70〕= 76.00.乙的成绩最局,他将被录用.
3
75 4 93 3 50 3
4 3 3
80 4 70 3 80 3
4 3 3 90 4 68 3 70 3
4 3 3 丙的成绩最高,他将被录用.
说明〔1〕计算加权平均数,随着权数的不同,结果可能不同.权数最大的数据对平均 数的结果影响最大；
〔2〕在实际问题中,往往采用加权平均数算法,而很少用算术平均数的算法. 例5甲、乙两同学近期5次百米跑测试成绩的平均数相同,
甲同学成绩的方差 S 2 =4,
乙同学成绩的方差 s 2=3.1,那么对他们测试成绩的稳定性判断正确的选项是
〔 〕.
A.甲的成绩较稳定
B.乙的成绩较稳定
C.甲、乙成绩的稳定性相同 D .甲、乙成绩的稳定性无法比拟
分析 由于方差越小,波动就越小,且 s 2 > SI,所以乙同学的成绩波动就小,即乙的 成绩较稳定.应选 B.
说明中考对极差、方差和标准差这三个统计量的考查, 主要侧重于在实际情景中对其
意义的理解,以及根据统计结果做出合理的判断和预测.
例6某校从甲、乙两名优秀选手中选择一名选手参加全市中学生田径百米比赛,该校
〔3〕假设笔试、面试、民主评议三项测试得分按 4 ： 3 ： 3的比例确定,三人的成绩分别为:
72.9.
77.0. 77.4. 也
x
w
甲；
25%
预先对这两名选手测试了8狄,测试成绩如下表：〔单位：s〕12345678
甲选手的成绩12.12.13.12.13.12.12.12. 12051542
乙选
手的成绩12.12.12.13.12.12.12.12. 04802835
根据测试成绩,请你运用所学过的统计知识做出判断,派哪一位选手参加比赛更好什么？
解通过计算,可得义甲=12.5, X乙= 12. 5, 4=0.12, S： = 0.1025.
•••又甲=天,,两位选手的平均成绩相等.
又S2 = S2 ,••・乙选手的成绩更稳定.
因此应该派乙选手去参加比赛.
说明〔1〕当用求平均数的方法〔包括众数和中位数〕无法比拟两组数据的集中趋势时, 还要用方差〔包括极差〕进一步比拟两组数据的波动情况；看谁的波动小,就说明谁更稳定.
〔2〕变式练习：在一次毕业测试中,某校九年级〔1〕、〔2〕两班学生数学成绩统计如下表：
分数5060708090100
人⑴班351631112
娄(2)班251112137
请你根据所学的统计知识,分别从①平均数；②众数；③方差等不同的角度判断,综合
分析这两个班中哪个班的测试成绩更加优秀.
解通过观察和计算,
九年级〔1〕班：平均数80,众数70,方差244;
九年级〔2〕班：平均数80,众数90,方差180.
从平均数看,两个班测试成绩相当,不分优劣；从众数看〔2〕班成绩较好；从方差看〔2〕班成绩较稳定；综上所述〔2〕班成绩更加优秀.
〔3〕比拟的角度不同,所得结论不一定相同.
三、课标下新题展示
例7某校为了解九年级学生体育测试成绩情况, 以九年〔1〕班学生的体育测试成绩为样本,按A, B, C, D四个等级进行统计,并将统计结果绘成如下两幅统计图〔见图19—2〕,请你结合图中所给信息解答以下问题：
图19- 2
〔说明：A级：90分〜100分；B级：75分〜89分；C级：60分〜74分；D级：60分以下〕
(1)求出D级学生的人数占全班总人数的百分比；
(2)求出扇形统计图中C级所在的扇形圆心角的度数；
(3)该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内；
(4)假设该校九年级学生共有500人,请你估计这次测试中A级和B级的学生共有多少人？
解(1)4%; (2)72 ° ; (3)B;
(4)依题意知：A级和B级学生的人数和占全班总人数的76%, 500X 76%= 380,所以
估计这次测试中A级和B级的学生共有约380人.
例8在第49届世界乒乓球锦标赛中,男子单打决赛在我国选手马琳和王励勤之间展
开.双方苦战七局,最终王励勤以4： 3获得胜利.七局比分如下表：
局数
一一三四五六七
\、得分〞
(生名\
马琳1111511896
王励勤97118111111
⑴请将七局比分的相关数据的分析结果直接填入下表中(结果保存两个有效数字).
\ 工程
分析\
莉果\
平均分众数中位数
姓名
马琳8. 79. 0
王励勤11
(2)中央电视台在此次现场直播时,开展了“短信互动,有奖竞猜〞活动,但凡参与短信互动且预测结果正确的观众,都能参加“乒乓大礼包〞的抽奖活动.据不完全统计,有32320名观众参与了此次短信互动活动, 其中有50%的观众预测王励勤获胜.刘敏同学参加
了本次“短信互动〞活动,并预测了王励勤获胜,如果从中抽取20名幸运观众,并赠送“乒乓大礼包〞一份,那么刘敏同学中奖概率有多大？
解(1)马琳得分的众数为11;王励勤得分的平均数为9.7,中位数为11.
(2)根据题意,预测正确的观众总数为32320X 50%= 16160,他们成为幸运观众的可能
20
性相同,而幸运观众数为20,故刘敏中奖的概率为-0
16160 808
四、课标测试达标题 (一)选择题
1.某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况,分别作了四种不同的抽样调查.你认为抽样比拟
合理的是().
A.在公园调查了1000名老年人的健康状况
B.在医院调查了1000名老年人的健康状况
C.调查了10名老年邻居的健康状况
D.利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况
2 .图19 —3中,用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为适宜的是().
图 19— 3
3 .某地今年1月1〜4日每天的最高气温与最低气温如下表:
日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高 气温 5C 4C 0C 4C 最低 气温
0C
-2C
—4 C
—3C
其中温差最大的是〔 〕.
8.
1月2日
D. 1月4日
2,那么 X 1 + 3, X 2+3, X 3+3, X 4+3 的平均数为〔
〕.
A. 2
B. 2.75
C. 3
D. 5
5 .数学老师对小明参加的四次中考数学模拟测试成绩进行统计分析,判断小明的数学成绩 是否稳定,
因此老师需要知道小明这四次数学成绩的 〔 〕.
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差 6 .在1000个数据中,用适当的方法抽取了
50个数据作为样本进行统计.频率分布表中,
在54.5〜57. 4这一组的频率是 0. 12,那么估计总体落在这一组之间的数据有
〔 〕.
A. 120 个
B. 60 个
C. 12 个
D. 6 个
〔二〕填空题
7 .在扇形统计图中,占圆
12%的扇形的圆心角是 : 圆心角是144.的扇形占它所
在圆的面积的 〔填百分数〕.
8 .班主任为了解学生周末在家的学习情况,家访了班内的六位学生,了解到他们在家的学 习时间如下
表所示.那么这六位学生学习时间的众数是 ,中位数是 .
学生姓名 小丽 小明 小颖 小华 小乐 小恩
学习时间
〔小时〕
4 6 3 4
5 8
9 .数据—2, — 1, 0, 1, 2的方差是.
10 .某生物小组11人到校外采集植物标本,其中有 2人每人采集到6件,有4人每人采集
到3件,有5人每人采集到4件,那么这个小组平均每人采集标本 件.
〔三〕解做题
11 .宁波港是一个多功能、综合性的现代化大港,年货物吞吐量位居中国内地第二、世界排
名第五,成功跻身于国际大港行列. 如图19 — 4是宁波港1994年至2004年货物吞吐量
A. 1月1日 C. 1月3日
4 .样本 X1 , X2, X3, X 4的平均数是 30KM19M 50
统计图.
图 19—4
⑴从统计图中你能发现哪些信息,请说出两个；
(2)有人判定宁波港货物吞吐量每两年间的增长率都不超过 吗?请说明理由.
12 .某校初一年级学生每人都只使用甲、乙、丙三种品牌中的一种计算
器,图 级全体学生使用3种不同品牌计算器人数的频率分布直方图.
图 19- 5
(1)求该校初一年级学生的总人数； (2)你认为哪种品牌计算器的使用频率最高
？并求出这个频率.
⑶通过以上统计结果,请你给为学校供货的商家提出一条进货的合理化建议.
300Q0 20000 10000
2004
22000
年拚 30%,你认为他的说法正确
19—5是该年
参考答案
数据的收集与整理
1 . D. 2. D. 3. D. 4. D. 5. D. 6. A.
7. 43. 2, 40%. 8. 4, 4. 5. 9. 2. 10. 4.
11. (1)略；
(2)不对；比方1994年到1996年的年增长率为30.6%,超过了30%.
12. (1)20 + 60+120=200(人);
120 ,
(2)丙牌使用频率最局,为——100% =60%;
200
(3)多进丙牌计算器.。