二次函数中以三角形为主的中考压轴题(等腰三角形、直角三角形、相似三角形)问题解析精选

二次函数中以三角形为主的中考压轴题（等腰三角形、直角三角形、相似三角形）问题解析精选

【例1】．（2013•抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物

线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；

（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t 值．

，

解得

标为（﹣

××﹣=

的坐标为（，

，

，

﹣=

；

3

﹣

，﹣

=

；

为秒时，以

【例2】．（2013•大连）如图，抛物线y=﹣x2+x﹣4与x轴相交于点A、B，与y轴相

交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．

（1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明△MDE是等腰三角形；

（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；

（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．

﹣+即﹣

，

﹣+（+

﹣+（+，解得

，

x=

，

坐标为（

，解得，x

y=x x x

，

x=x．，

坐标为（，

【例3】．（2013凉山州）如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐

标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；

（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．

分析：（1）将A（3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长；

（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵A（3，0），点C（0，4），

∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．

∵点M的横坐标为m，点M在AC上，

∴M点的坐标为（m，﹣m+4），

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，

∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+4），

∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，

即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；

（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、

F为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，

PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．

若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，

即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=．

∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，

∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．

在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，

∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，

∴△PCM为直角三角形；

②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，

即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），

∵m≠0且m≠3，

∴m=1．

∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，

∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．

∴CP=CM，

∴△PCM为等腰三角形．

综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．

点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．

【例4】．（2013•本溪）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A 在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经

过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标；

（3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值．