(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试题(答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12
DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
2．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．2.5
D ．3 4．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，P
E ⊥A
F 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由
是（ ）
A ．SSS
B ．SAS
C ．SSA
D ．AAS
5．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（ ）
A ．105︒
B ．115︒
C ．125︒
D ．130︒
6．点Р在AOB ∠的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A ．5PQ >
B ．5PO ≥
C ． 5PQ <
D ．5PO ≤ 7．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACD S :S 为( )
A ．5:4
B ．5:3
C ．4:3
D ．3:4
8．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）
A ．BM ∥CN
B ．∠M=∠N
C ．BM=CN
D ．AB=CD 9．如图，AD 平分∠BAC ，AB=AC ，连接BD ，CD 并延长，分别交AC ，AB 于点F ，
E ，则图中全等三角形共有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对 10．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，D
E ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE =2，AB =4，则
AC 长是（ ）
A ．2.5
B ．3
C ．3.5
D ．4
11．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，
40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④ 12．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD A
E 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）
A ．1.5()a b +
B ．2a b +
C ．3a b -
D ．2+a b
二、填空题
13．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，DC =DE ，∠A =32°，则∠BDC 的度数为________．
14．如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD=AE ，请添加一个条件，使得
ABE ≌ACD ．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．
15．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝8cm ，BD ＝5cm ，AB=10cm,则S △ABD =______．
16．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．
17．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，S △ABD ∶S △ACD ＝________．
18．如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，
44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为_____
19．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．
20．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm,6cm AC BC ==，直线l 经过点C 且与边
AB 相交，动点P 从点A 出发沿A C B →→路径向终点B 运动，动点Q 从点B 出发沿B C A →→路径向终点A 运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PM l ⊥于点M ，QN l ⊥点N ，设运动时间为t 秒，则当t =__________秒时，PMC △与QNC 全等．
三、解答题
21．如图，AD 是ABC 的角平分线，AB AC >，求证：AB AC BD CD ->-．
22．如图，直角梯形ABCD 中，//,,AD BC AB BC E ⊥是AB 上的点，且
,DE CE DE CE =⊥，
（1）证明：AB AD BC =+．
（2）若已知AB a ，求梯形ABCD 的面积．
23．已知：如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．
（1）求证：ABC ADE △≌△．
（2）若42,86B C ∠=︒∠=︒，求DAE ∠的度数．
24．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．
（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；
（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；
（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________． 25．如图，点P 是锐角∠ABC 内一点，BP 平分∠ABC ，点M 在边BA 上，点N 在边BC 上，且PM ＝PN ．
求证：∠BMP ＋∠BNP ＝180°．
26．如图，∠ACB 和∠ADB 都是直角，BC ＝BD ，E 是AB 上任意一点．
（1）求证：△ABC ≌△ABD ．
（2）求证：CE ＝DE ．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S△ABE+S△CDF=S△ACD，即可得出答案．
【详解】
∵∠BED=∠CFD=∠BAC，∠BED=∠BAE+∠ABE，
∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
ABE CAF
AB AC
BAE FCA ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴S△ABE=S△ACF，
∴阴影部分的面积为S△ABE+S△CDF=S△ACD，
∵S△ABC=30，
BD=
1
2
DC，
∴S△ACD=20，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
2．C
解析：C
【分析】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．
【详解】
如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.
∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD
∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝1
2AB·OE＋
1
2
BC·OD＋
1
2
AC·OF＝
1
2
×OD×(AB＋BC＋AC)＝
1
2
×OD×8＝12
故选：C
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF ，计算即可．
【详解】
解：∵△DEF ≌△ABC ，
∴BC=EF ，
∴BE+EC=CF+EC ，
∴BE=CF ，
又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5
∵CF=12(BF-EC)=12
(9-5)=2． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
求出∠PDA=∠PEA=90°，∠DAP=∠EAP ，根据AAS 推出两三角形全等即可．
【详解】
解：∵PD ⊥AB ，PE ⊥AF ，
∴∠PDA=∠PEA=90°，
∵AP 平分∠BAF ，
∴∠DAP=∠EAP ，
在△APD 和△APE 中
DAP EAP PDA PEA AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△APD ≌△APE （AAS ），
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．
解析：C
【分析】
先判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35︒，由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】
在△ABE 和△ACD 中，
AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （SAS ），
∴∠B=∠C ，
∵∠C=35︒，
∴∠B=35︒，
∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒，
∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P 到OB 的距离为5，再根据垂线段最短解答．
【详解】
∵点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，
∴点P 到OB 的距离为5，
∵点Q 是OB 边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
过D 作DF AB ⊥于F ，根据角平分线的性质得出DF ＝DC ，再根据三角形的面积公式
求出ABD 和ACD 的面积，最后求出答案即可.
【详解】
解：过D 点作DF AB ⊥于F ,
∵AD 平分CAB ∠，C 90∠=（即AC BC ⊥），
∴DF CD =，
设DF CD R ==，
在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=， ∴22AB 5AC BC =+=， ∴ABD 115S
AB DF 5R R 222=⨯⨯=⨯⨯=，ACD 113S AC CD 3R R 222=⨯⨯=⨯⨯=， ∴ABD ACD 5S :S R 2⎛⎫= ⎪⎝⎭：3R 5:32⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 故选：B.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DF ＝CD 是解此题的关键.
8．C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的判断方法进行求解即可．
【详解】
A 、因为 BM ∥CN ，所以∠ABM=∠DCN ，又因为∠A=∠D ， AM=DN ，
所以△ABN ≅△DCN(AAS)，故A 选项不符合题意；
B 、因为∠M=∠N ，∠A=∠D ， AM=DN ，
所以△ABN ≅△DCN(ASA)，故B 选项不符合题意；
C 、BM=CN ，不能判定△ABN ≅△DCN ，故C 选项符合题意；
D 、因为AB=CD ，∠A=∠D ， AM=DN ，
所以△ABN ≅△DCN(SAS)，故D 选项不符合题意．
故选：C ．
【点评】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边
的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．C
解析：C
【分析】
认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．
【详解】
解：AD 平分BAC ∠，
BAD CAD ∴∠=∠， 在ABD ∆与ACD ∆中，
AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABD ACD SAS ∴∆≅∆，
BD CD ∴=，B C ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，
又EDB FDC ∠=∠，
ADE ADF ∴∠=∠，
AED AFD ，BDE CDF ∆≅∆，∆≅∆ABF ACE ．
AED AFD ，ABD ACD ∆≅∆，BDE CDF ∆≅∆，∆≅∆ABF ACE ，共4对． 故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟悉相关判定定理是解题的关键． 10．B
解析：B
【分析】
作DH ⊥AC 于H ，如图，利用角平分线的性质得DH=DE=2，根据三角形的面积公式得1
2×2×AC+12
×2×4=7，于是可求出AC 的值． 【详解】
解：作DH ⊥AC 于H ，如图，
∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DH ⊥AC ，
∴DH=DE=2，
∵S △ABC =S △ADC +S △ABD ，
∴12×2×AC+12
×2×4=7， ∴AC=3．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．
11．B
解析：B
【分析】
由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：
AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，得出40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，由AAS 证明OCG ODH ≅（AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠，④正确；由AOB COD ∠=∠，得出当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分
BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM ，由AOC BOD ≅得出COM BOM ，由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ，推出COM BOM ≅，得出OB=OC ，OA=OB ，所以OA=OC ，而OA OC >，故③错误；即可得出结论．
【详解】
∵40AOB COD ∠=∠=︒，
∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠
即AOC BOD ∠=∠
在AOC △和BOD 中
OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
AOC BOD ≅（SAS ）
∴OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；
∴OAC OBD ∠=∠，
由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，
∴40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；
作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：
则90OGC OHD ∠=∠=，
在OCG 和ODH 中
OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
OCG ODH ≅（AAS ），
∴OG=OH
∴MO 平分BOC ∠，④正确；
∴AOB COD ∠=∠
∴当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，
假设∠=∠DOM AOM
∵AOC BOD ≅
∴COM BOM ，
∵MO 平分BMC ∠
∴∠=∠CMO BMO ，
在COM 和BOM 中 OCM BOM OM OM
CMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴
COM BOM ≅（ASA ）
∴OB=OC ，
∵OA=OB ，
∴OA=OC ，
与OA OC >矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选：B
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形ABDC的周长．
【详解】
解：在线段AC上作AF=AB，
∵AE是BAC
∠的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵AE CE
⊥，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵
D CFE
CEF CED
CE CE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CE=CF，
∴四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a b+，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．二、填空题
13．61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线再求出∠ABD的度数根据三角形外角的性质进而求得结论【详解】解：∵∠A=32°∠ACB=9
解析：61°
【分析】
首先利用直角三角形的性质求得∠ABC的度数，然后利用角平分线的判定方法得到BD为∠ABC的平分线，再求出∠ABD的度数，根据三角形外角的性质进而求得结论．
【详解】
解：∵∠A=32°，∠ACB=90°，
∴∠CBA=58°，
∵DE⊥AB，DC⊥BC，DC=DE，
∴BD为∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠EBD，
∴∠CBD=1
2∠CBA=1
2
×58°=29°,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+29°=61°．
故答案为：61°．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是根据已知条件得到BD为∠ABC的平分线，难度不大．
14．∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）【分析】根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠AAD=AE两个条件对应相等故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌ACD【详解】∵∠A=∠
解析：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）
【分析】
根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠A，AD=AE两个条件对应相等，故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌ACD．
【详解】
∵∠A=∠A，AD=AE，
∴当∠B=∠C时，可利用AAS证明ABE≌ACD；
当∠ADC=∠AEB时，可利用ASA证明ABE≌ACD；
当AB=AC时，可利用SAS证明ABE≌ACD；
故答案为：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明三角形全等，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．15．15cm2【分析】过点D作DE⊥AB于E根据角平分线的性质可得DE=CD根据三角形的面积公式即可求得△ABD的面积【详解】解：过点D作DE⊥AB于
E∵AD是∠BAC的角平分线∠C＝90°DE⊥AB∴
解析：15cm2
【分析】
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE=CD，根据三角形的面积公式即可求得△ABD的面积．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB
∴DE=DC，
∵BC＝8cm，BD＝5cm，
∴DE=DC=3cm，
∴S△ABD=1
2·AB·DE=
1
2
×10×3=15(cm2)，
故答案为：15cm2．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．16．40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC＝2∠DBC∠ACE＝2∠DCE再根据三角形外角的性质可得出∠D＝∠DCE﹣∠DBE∠A＝∠ACE﹣∠ABC即得出∠A ＝2∠D即得出答案【详解】∵∠ABC
解析：40°
【分析】
利用角平分线的性质可知∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE．再根据三角形外角的性质可得出∠D＝∠DCE﹣∠DBE，∠A＝∠ACE﹣∠ABC．即得出∠A＝2∠D，即得出答案．
【详解】
∵∠ABC的平分线交∠ACE的外角平分线∠ACE的平分线于点D，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBE，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBE＝2（∠DCE﹣∠DBE），
∴∠A＝2∠D＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．
17．4:3【分析】利用角平分线的性质可得出△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高相等根据三角形的面积公式即可得出△ABD 与△ACD 的面积之比等于对应边之比；【详解】∵AD 是△ABC 的角平分线∴设△
解析：4:3
【分析】
利用角平分线的性质，可得出△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出△ABD 与△ACD 的面积之比等于对应边之比；
【详解】
∵ AD 是△ABC 的角平分线，
∴ 设△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高分别为1h ，2h ，
∴ 1h =2h ，
∴△ABD 与△ACD 的面积之比=AB ：AC=8：6=4：3，
故答案为：4：3．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键；
18．【分析】先添加辅助线过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过点作于点根据角平分线的判定性质定义以及三角形外角的性质邻补角的定义角的和差等可求得【详解】解：过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过 解析：46︒
【分析】
先添加辅助线“过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ”，根据角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等可求得
()1462
ADB CBE BAC ∠=
∠-∠=︒． 【详解】 解：过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，如图：
∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥ ∴12
BAD BAC ∠=
∠，DE DF = ∵136ACD ∠=︒ ∴18044DCF ACD ∠=︒-∠=︒
∵44BCD ∠=︒，92ACB ACD BCD ∠=∠-∠=︒
∴CD 平分BCF ∠
∵DF AC ⊥，DG BC ⊥
∴DF DG =
∴DE DG =
∵DE AB ⊥，DG BC ⊥
∴BD 平分CBE ∠ ∴12
DBE CBE ∠=
∠ ∴ADB DBE BAD ∠=∠-∠
1122CBE BAC =∠-∠ ()12
CBE BAC =∠-∠ 12
BCA =∠ 46=︒．
故答案是：46︒
【点睛】
本题考查了角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19．30【分析】根据∠ACB ＝∠DCE ＝90°可得∠ACD ＝∠BCE 利用三角形全等判定可得△ACD ≌△BCE 则BE ＝AD ∠DAC ＝∠EBC 再证明∠DBE ＝90°根据三角形面
积计算公式便可求得结果【详解】
解析：30
【分析】
根据∠ACB＝∠DCE＝90°，可得∠ACD＝∠BCE，利用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE，则BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，再证明∠DBE＝90°，根据三角形面积计算公式便可求得结果．
【详解】
解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB．
即∠ACD＝∠BCE．
∵AC＝BC，∠ADC＝∠BEC，
∴△ACD≌△BCE．
∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC．
∵∠DAC＋∠ABC＝90°，
∴∠EBC＋∠ABC＝90°．
∴△BDE为直角三角形．
∵AB＝17，BD＝5，
∴AD＝AB－BD＝12．
∴S△BDE＝1
2
BD⋅BE＝30．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键．
20．2或【分析】分点Q在BC上和点Q在AC上根据全等三角形的性质分情况列式计算【详解】由题意得AP＝3tBQ＝2tAC＝8cmBC＝6cmCP＝8﹣3tCQ＝6﹣2t①如图当与全等时PC=QC解得；②如
解析：2或14
5
．
【分析】
分点Q在BC上和点Q在AC上，根据全等三角形的性质分情况列式计算．【详解】
由题意得，AP＝3t，BQ＝2t，
AC＝8cm，BC＝6cm，
∴ CP＝8﹣3t，CQ＝6﹣2t，
①如图，当PMC
△与QNC全等时，PC=QC，
6283
t t
-=-，解得2
t=；
②如图，当PMC △与QNC 全等时，点P 已运动至BC 上，且与点Q 相遇， 则PC=QC ，6238t t -=-，解得145t =；
故答案为：2或
145
． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解决问题的关键．
三、解答题
21．见解析
【分析】
在 AB 上取 AE = AC ，然后证明ADC ≌()SAS ADE △，根据全等三角形对应边相等得到DC DE =，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可．
【详解】
证明：如解图，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，
∵ AD 是ABC 的角平分线，
∴ CAD EAD ∠=∠．
在ADC 和ADE 中，,,,AC AE CAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ ADC ≌()SAS ADE △．
∴ DC DE =．
∵在BDE 中，BE BD ED >-，
∵ AB AE BE -=，
∴ AB AC BD CD ->-．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质以及三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）
12
a 2 【分析】
（1）由DE 垂直于EC ，得到一个角为直角，利用平角的定义得到一对角互余，又三角形BEC 为直角三角形，根据直角三角形的两锐角互余得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等及DE ＝CE ，利用AAS 可得出三角形AED 与三角形BCE 全等，根据全等三角形的对应边相等得到AD ＝EB ，AE ＝BC ，由AB ＝AE +EB ，等量代换可得证；
（2）由第一问的结论AB ＝AD +BC ，根据AB ＝a ，得出此直角梯形的上下底之和为a ，高为a ，利用梯形的面积公式即可求出梯形ABCD 的面积．
【详解】
解：（1）证明：∵DE ⊥EC ，
∴∠DEC ＝90°，
∴∠AED +∠BEC ＝90°，
又AB ⊥BC ，
∴∠B ＝90°，
∴∠BCE +∠BEC ＝90°，
∴∠AED ＝∠BCE ，
又AD ∥BC ，
∴∠A +∠B ＝180°，
∴∠A ＝∠B ＝90°，
在△AED 和△CBE 中，
A B AED BCE ED CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AED ≌△CBE （AAS ），
∴AD ＝EB ，AE ＝BC ，
则AB ＝AE +EB ＝BC +AD ；
（2）由AB ＝a ，及（1）得：AB ＝BC +AD ＝a ，
则S 直角梯形ABCD ＝
12AB •（BC +AD ）＝12
a 2． 【点睛】
此题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，以及梯形的面积公式，利用了转化的思想，灵活运用全等三角形的判定与性质是解本题的关键，本题在做第二问时注意运用第一问的结论．
23．（1）详见解析；（2）52︒
【分析】
（1）先证明∠BAC=∠DAE ，即可根据SAS 证得结论；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据全等三角形的性质得到答案．
【详解】
（1）∵∠BAD=∠CAE ，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ．
即∠BAC=∠DAE ．
在△ABC 和△ADE 中 AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴ABC ADE △≌△；
（2）∵42,86B C ∠=︒∠=︒，
∴18052BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵ABC ADE △≌△，
∴52DAE BAC ∠=∠=︒．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
24．（1）(0,3)E ；（2）见解析；（3）30OBC ∠=︒．
【分析】
（1）先根据AAS 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE=OC ，再根据点C 的坐标为（3，0），得到OC=OE=3，进而得到点E 的坐标；
（2）先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM=ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；
（3）在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OBC=30°．
【详解】
证明：（1）
AD BC ⊥，AO BO ⊥，
90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．
又AEO BED ∠=∠，
OAE OBC ∴∠=∠．
(5,0)A -，(0,5)B ， 5OA OB ∴==．
在AOE △和BOC 中
OAE OBC OA OB
AOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， (ASA)AOE BOC ∴≌，
OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，
3OE OC ∴==，
(0,3)E ∴．
（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，
AOE BOC ≌，
AOE BOC S S ∴=，AE BC =，
1122
AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，
OM AD ⊥，ON BC ⊥，
DO ∴平分ADC ∠．
（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，
∵∠PDO=∠CDO，OD=OD，
∴△OPD≌△OCD，
∴OC=OP，∠OPD=∠OCD，
+=，∴OC=AD-CD
∵OC CD AD
∴AD-DP=OP，即AP=OP，
∴∠PAO=∠POA，
∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB，
又∵∠PAO+∠OCD=90°，
∴3∠PAO=90°，
∴∠PAO=30°，
∠=∠
∵OAP OBC
∴∠OBC=∠PAO =30°．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．
25．见解析
【分析】
过点P作PE⊥BA于点E, 作PF⊥BC于点F，根据角平分线性质定理可得PE＝PF，再由HL 可证Rt△MEP≌Rt△NFP，进而证得∠PME＝∠PNF，从而证得∠BMP＋∠BNP＝180°．【详解】
证明：如图所示，过点P作PE⊥BA于点E, 作PF⊥BC于点F，
∴∠MEP＝∠NFP＝90°．
∵BP平分∠ABC，
∴PE＝PF．
在Rt△MEP与Rt△NFP中，
PE PF PM PN =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △MEP ≌Rt △NFP （HL ）．
∴∠PME ＝∠PNF ．
∵∠BMP ＋∠PME ＝180°，
∴∠BMP ＋∠BNP ＝180°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．
26．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用“HL ”证明Rt △ACB ≌Rt △ADB 即可；
（2）由Rt △ACB ≌Rt △ADB 得到∠CAB ＝∠DAB ，AC ＝AD ，然后利用“SAS ”可证明△ACE ≌△ADE ，从而得到CE ＝DE ．
【详解】
证明：（1）在Rt △ACB 和Rt △ADB 中，
AB AB BC BD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ACB ≌Rt △ADB （HL ）；
（2）∵Rt △ACB ≌Rt △ADB ，
∴∠CAB ＝∠DAB ，AC ＝AD ，
在△ACE 和△ADE 中，
AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△ADE （SAS ），
∴CE ＝DE ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，根据图形的特点确定对应相等的条件，利用：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 或HL 证明两个三角形全等由此解决问题是解题的关键．。