小题分类补偿练5

补偿练5 平面向量

(限时：40分钟)

一、选择题

1.向量a ＝(m ，1)，b ＝(n ，1)，则m n

＝1是a ∥b 的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析 若m ＝n ，则由向量的定义显然有a ＝b ，必有a ∥b ，若a ∥b ，则m ·1－n ·1＝0，得m ＝n ，

不能推出m n

＝1，故选A. 答案 A

2.已知向量a ＝(3，4)，若|λa |＝5，则实数λ的值为( )

A.15

B.1

C.±15

D.±1 解析 因为a ＝(3，4)，所以|a |＝

32＋42＝5，因为|λa |＝|λ|·|a |＝5，所以5|λ|＝5，解得：λ＝±1.

答案 D

3.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－2)，若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ的值为( )

A.－2

B.－13

C.－1

D.－23

解析 由题知λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，又λa ＋b 与c 共线，

∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.

答案 C

4.已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，向量λa ＋b 与向量a －2b 垂直，则实数λ的值为( )

A.－17

B.17

C.－16

D.16

解析 λa ＋b ＝(－3λ－1，2λ)，a －2b ＝(－1，2)，

由(λa ＋b )·(a －2b )＝0得(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0，

即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17

. 答案 A

5.在平面四边形ABCD 中，满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( )

A.矩形

B.正方形

C.菱形

D.梯形

解析 因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →－AD →)·AC

→＝DB →·AC →＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形.

答案 C

6.已知a ＝(1，－2)，|b |＝25，且a ∥b ，则b ＝( )

A.(2，－4)

B.(－2，4)

C.(2，－4)或(－2，4)

D.(4，－8)

解析 设b ＝(x ，y )，

由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＝0，x 2＋y 2＝25，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4， ∴b ＝(2，－4)或(－2，4).

答案 C

7.已知△ABC 中，平面内一点P 满足CP →＝23CA →＋13

CB →，若|PB →|＝t |P A →|，则t 的值为( ) A.3 B.13 C.2 D.12

解析 由题意可知PB →＝CB →－CP →＝CB →－⎝⎛⎭⎫23CA →＋13CB →＝23(CB →－CA →)＝23AB →，同理可得P A →＝－13

AB →， ∴|PB →|＝2|P A →|，即t ＝2.

答案 C

8.若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( )

A.π6

B.π3

C.5π6

D.2π3

解析 由题意作图，设AB →＝b ，AD →＝a ，结合向量的几何意义可知

∠ABD ＝∠CAB ＝π6

， 故向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角为2π3

. 答案 D

9.在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E 、F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝( )

A.89

B.109

C.259

D.269

解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，

则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，

即有AB →·AC →＝0，

E ，

F 为BC 边的三等分点，

则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)

＝⎝

⎛⎭⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC → ＝⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →

＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109

. 答案 B

10.已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|＝( )

A.6

B.5

C.4

D.3

解析 ∵AD →＝12

(AB →＋AC →)，AB →·AC →＝－16， ∴|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝－16，

在△ABC 中，|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|·cos ∠BAC ，

∴102＝|AB →|2＋|AC →|2＋32，

即|AB →|2＋|AC →|2＝68，

∴|AD →|2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14

(68－32)＝9， ∴|AD →|＝3.

答案 D

11.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，

若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )

A.14a ＋12b

B.12a ＋14

b C.23a ＋13b D.13a ＋23

b 解析 AD →＝AO →＋OD →＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b ，∵E 是OD 的中点，DE EB ＝13，∴DF →＝13AB →＝13

(OB →－OA →)＝13×⎣

⎡⎦⎤－12BD →－⎝⎛⎭⎫－12AC →＝16AC →－16BD →＝16a －16b ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13

b .