高三数学一轮复习 第2章第1节 函数 导数及其应用课件 文 (广东专用)

A．－3
B．－1
C．1
D．3
【思路点拨】 先求f(1)，进而得f(a)的值，利用分段函数，得关于a的
方程，从而求出a值． 2xx＞0
【尝试解答】 由 f(x)＝x＋1x≤0， 且 f(a)＋f(1)＝0， ∴f(1)＝21＝2，则 f(a)＝－f(1)＝－2， 又当 x＞0 时，f(x)＝2x＞0， 因此 a≤0，且 f(a)＝a＋1＝－2， ∴a＝－3.
1．若两个函数的定义域与值域相同，则一定是相等函数这种说 法对吗？
【提示】 不对．如y＝sin x和y＝cos x的定义域都为R，值域都为[ －1,1]，但不是相等函数，判定两个函数是同一函数，当且仅当两个 函数的定义域和对应关系都分别相同．
2．为什么说分段函数是一个而不是几个函数？ 【提示】 所谓“分段函数”是指在定义域内的不同取值范围，有不 同的对应法则的函数，对它有两点基本认识：①分段函数是一个函数， 而不能误认为是几个函数．②分段函数的定义域是各段自变量取值的并 集，值域是各段函数值的并集．
1．(教材改编题)给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；
②f(x)＝ x－3＋ 2－x是一个函数；
③函数 y＝2x(x∈N)的图象是一条直线； ④f(x)＝xx2与 g(x)＝x 是同一函数．
其中正确的有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】 由函数的定义知①正确． ∵满足 f(x)＝ x－3＋ 2－x的 x 不存在，∴②不正确． 又∵y＝2x(x∈N)的图象是位于直线 y＝2x 上的一群孤立的点， ∴③不正确． 又∵f(x)与 g(x)的定义域不同，∴④也不正确．
【答案】 C
－x，x≤0， 3．(2011·浙江高考)设函数 f(x)＝x2，x＞0， 若 f(α)＝4，则实
数 α＝( )
A．－4 或－2
B．－4 或 2
C．－2 或 4
D．－2 或 2
【解析】 当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4； 当α＞0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2. 【答案】 B
f[f(2012)]＝________.
【解析】 f(2012)＝2012－100＝1912，
∴f[f(2012)]＝f(1912)＝2cos
1912 3π
＝2cos(638π－23π)＝2cos 23π＝－1.
【答案】 －1
2．(2012·青岛模拟)规定记号“△”表示一种运算，即 a△b＝ ab＋a＋b， a，b∈(0，＋∞)，若 1△k＝3，则函数 f(x)＝k△x 的值域是________．
4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，
当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表．那么，各班可
推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y＝[x]([x]
表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( )
A．y＝[1x0]
B．y＝[x＋103]
C．y＝[x＋104]
D．y＝[x＋105]
【解析】 依题意，当各班人数除以 10 的余数分别为 7、8、9 时，
可增加一名代表．
∴代表人数可用[x＋103]表示，即 y＝[x＋103]．
【答案】 B
(2011·湖南高考)给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足： 对于任意大于k的正整数n，f(n)＝n－k.
(1)设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为________； (2)设k＝4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为 ________． 【思路点拨】 (1)根据函数的对应法则求解；(2)抓住函数值的特 征及要求．
)
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
(2)在本例第(2)题，把“求函数 f(2x－2)的定义域”改为“求函数 g(x)＝
xf－2x10的定义域”．
【解】 (1)由题意知11＋ －xx＞ ≠00， ， 解得 x＞－1 且 x≠1， ∴函数 f(x)的定义域为{x|x＞－1 且 x≠1}．
【答案】 (1)a(a∈N*) (2)16
函数y＝f(x)的定义域为[－1,1]，则在同一坐标系中，y＝f(x)的图
象与直线x＝1的交点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．0或1
【解析】 ∵x＝1∈[－1,1]，
根据函数的定义，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为1
个．
【答案】 B
(1)(2012·佛山模拟)函数 f(x)＝ln2|＋x|－x－x x2的定义域为(
【答案】 C (2)令t＝x＋1，由f(x＋1)的定义域为[0,1]， ∴1≤t＝x＋1≤2，即函数f(t)的定义域为[1,2]． 要使f(2x－2)有意义，必须1≤2x－2≤2，即3≤2x≤4， ∴log23≤x≤2. 故函数f(2x－2)的定义域为[log23,2]．
(1)(2011·广东高考)函数 f(x)＝1－1 x＋lg(1＋x)的定义域是(
)
A．(－1,2)
B．(－1,0)∪(0,2)
C．(－1,0)
D．(0,2)
(2)若函数 f(x＋1)的定义域为[0,1]，求函数 f(2x－2)的定义域．
【尝试解答】 (1)f(x)有意义，则2|x＋|－xx－≠x02＞. 0， 解之得－ x＜10＜x＜2 ∴－1＜x＜0， ∴f(x)的定义域为(－1,0)．
又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，c＝1.
因此 f(x)＝x2＋2x＋1.
设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x －y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)．
【解】 ∵对∀x，y∈R，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，且f(0)＝ 1.
【答案】 A
2．(2011·江西高考)若 f(x)＝log1221x＋1，则 f(x)的定义域为(
)
A．(－12，0)
B．(－12，＋∞)
C．(－12，0)∪(0，＋∞)
D．(－12，2)
【解析】 f(x)有意义，则 log1(2x＋1)≠0，
2
∴2x＋1＞0 且 2x＋1≠1，则 x＞－12且 x≠0.
第一节 函数及其表示
2.函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫函数 的 定义域 ；函数值的集合 {f(x)|x∈A} 是函数的值域． (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则 这两个函数为相等函数．
3．函数的表示 (1)函数有三种表示方法：解析法、 图象法 和列表法． (2)如果在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不 同的对应法则，这样的函数通常叫做 分段函数 ．
(2)考查处理新信息的能力及转化与化归思想、数形结合思想的应 用．
应对措施：(1)准确理解新定义，分类讨论，确定分段函数的解析 式是解题的前提．
(2)善于转化，利用几何直观确定参数的取值范围．
1 ． (2012·广 州 质 检 ) 已 知 函 数
f(x)
＝
2cos
π3x，x≤2000，
则
x－100，x＞2000，
x2－2， －1≤x≤2， ∴f(x)＝x－1， x＞2或x＜－1. 作出其图象如图所示． ∵函数 y＝f(x)－c 与 x 轴有两个公共点， ∴y＝f(x)与 g＝c 的图象恰有两个公共点， 数形结合知，实数 c 满足－2＜c≤－1 或 1＜c≤2，选 B.
【答案】 B
创新点拨：(1)本题以分段函数为载体，考查“新运算”，命题背 景新颖．
【尝试解答】 由题意，f 为从 N*到 N*的函数， (1)当 k＝1 时，当 n＞1 时，f(n)＝n－1. 但 n＝1 时，只需 f(1)的值为任意正整数， 因此令 f(1)＝a，(a∈N*)． ∴f(n)＝an－a∈1Nn＞*1n＝. 1， (2)当 k＝4 时，且 n≤4 时，2≤f(n)≤3. ∴f(n)＝2 或 f(n)＝3(n∈N*，且 n≤4)． 故 f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的取值各自有两种可能， ∴不同的函数“f”共有 24＝16 个．
a，a－b≤1， b，a－b＞1.
设函数 f(x)＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数 y＝f(x)－c 的
图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( )
A．(－1,1]∪(2，＋∞)
B．(－2，－1]∪(1,2]
C．(－∞，－2)∪(1,2]
D．[－2，－1]
【解析】 由(x2－2)－(x－1)≤1，得－1≤x≤2， ∴当 x＞2 或 x＜－1 时， (x2－2)－(x－1)＞1，
令x＝0得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)， ∴f(－y)＝1－y(－y＋1)， 再令－y＝x， 得f(x)＝1－(－x)(x＋1)＝1＋x(x＋1)， 所以f(x)＝x2＋x＋1.
2x，x＞0， (2011·福建高考)已知函数 f(x)＝x＋1，x≤0， 若 f(a)＋f(1)＝0，则实
数 a 的值等于( )
【答案】 A
2x＋1，x＜1， 【解析】 ∵f(x)＝x2＋ax，x≥1. ∴f(0)＝20＋1＝2， 从而 f(f(0))＝f(2)＝4＋2a. 因此 4＋2a＝4a，∴a＝2.
【答案】 C
创新探究之二 常考常新的分段函数
(2011·天 津 高 考 ) 对 实 数 a 和 b ， 定 义 运 算 “ ⊗ ” ： a ⊗ b ＝
【答案】 C (2)由例题(2)中，f(t)的定义域为[1,2]，
∴要使 g(x)＝xf－2x10有意义，则必须有
1≤2x≤2， x－1≠0.
解之得12≤x≤1， x≠1.
∴12≤x＜1，
故 g(x)的定义域为[12，1).
(1)已知 f(2x＋1)＝lg x，求 f(x)； (2)设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等实根，且 f′(x) ＝2x＋2，求 f(x)的解析式．
【解析】 ∵1△k＝ k＋k＋1＝3(k＞0)， ∴k＝1. ∴f(x)＝1△x＝ x＋x＋1(x＞0)． 由 f(x)＝( x＋12)2＋34，x＞0 得 f(x)的值域为(1，＋∞)．
【答案】 (1，＋∞)
课时知能训练
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【思路点拨】 第(1)题利用换元法，第(2)题已知函数的结构特征， 可运用待定系数法求解．
【尝试解答】 (1)令 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1，
∴f(t)＝lg
t－2 1，即 f(x)＝lg
2 x－1.
(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.