2023年河南省商丘市梁园区中考数学一模试卷(含答案)

2023年河南省商丘市梁园区中考数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若m是−2023的绝对值，那么m的值为( )
A. 2023
B. −2023
C. 1
2023D. −1
2023
2.用两个全等的含30°角的直角三角板以相等的边为公共边进行不重叠拼图，能拼成几个轴对称图形( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与主视图相同的是( )
A. B.
C. D.
4.下列各数，其中是无理数的为( )
A. 3.1415
B. 2
C. −1
3
D. 0
5.数据−2，1，x，1，4，6的平均数是x，下列说法正确的是( )
A. 众数是−2
B. 中位数是1
C. 方差是8
D. 平均数是2
6.黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=−n2+14n−24，则企业停产的月份为( )
A. 2月和12月
B. 2月至12月
C. 1月
D. 1月、2月和12月
7.现有三张正面分别标有数字−1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P(m,n)在第二象限的概率为( )
A. 1
2B. 1
3
C. 2
3
D. 2
9
8.如图，在△ABC中，点F在BC上，AC=CF，CD⊥AF，垂
足为D，E为AB的中点，AC=6，BC=10，则ED的长为( )
A. 2
B. 3
C. 5
2
D. 4
9.如图，点B 在x 轴上，∠ABO =90°，∠A =30°，OA =2，
将△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转，每次旋转120°，则第2023次旋转结束后，点B 所在位置的坐标是( )
A. (−12,− 32)
B. (−12,
3)
C. (−12, 32
)
D. (1,0)
10.如图，在矩形ABCD 中，AD =1，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋
转，得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在CD 上，且DE =EF ，则四边形ABCE 的面积为( )
A. 2
2−1B.
2
C.
2−12D.
2−1
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.计算(2
3)−1+cos60°= ______．
12.如图，AB//CD//EF ，直线l
1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，C ，E ，和点B ，D ，F.已知AC =3，AE =8，DF =4，则BD 的长为______．
13.不等式组{
2−x <0
3x +6>0的解集是______．
14.如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中Q 为曲线部分的最低点，则点A 到BC 的距离是______．
15.如图，矩形ABCD 中，AB =2，点E 在AD 上，AE =1.P 、Q
分别是BC 、AB 上的两个动点，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF 、PA ，则PF +PA 的最小值是______．
三、解答题（本题共8小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.(本小题8分)
先化简再求值：(x−2
x+2+4x
x2−4
)÷1
x2−4
，其中，x是不等式组{x+1≤0
2(1−x)<8的整数解．
17.(本小题9分)
每年6月5日为世界环境日，今年中国区主题为“共建清洁美丽世界”.为积极响应政府号召，某校组织了八年级全体450名学生进行保护环境知识学习并测试，现随机抽取其中20名学生的测试成绩，并整理成如下频数分布表：
成绩x/分60≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x<100
人数2486
其中测试成绩在80≤x<90这一组的是：81，81，83，84，86，87，89，89．
(1)何松同学成绩为84分，年段长说他的成绩属于中等偏下水平，为什么？
(2)估计这20名学生成绩的平均分；
(3)若成绩在80分以上(含80分)的记为优秀，年段长的目标是全年段学生的平均分超过80分，且优秀人数超过300人，请用统计的知识估计年段长的目标是否达到？并说明理由．
18.(本小题9分)
如图，在⊙O上有位于直径AB的两侧的定点C和动点P，AB
AC
=2，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD，垂足为点D．
(1)如图1，求证：△ABC∽△PCD；
(2)类比(1)中的情况，当点P运动到什么位置时，△ABC≌△PCD？请在图2中画出
△PCD，并说明理由．
(3)如图3，当点P运动到某一位置时，有CP⊥AB时，求∠BCD的度数．
19.(本小题9分)
如图，华庆号船位于航海图上平面直角坐标系中的点A(10,2)处时，点C、海岛B的位置在y轴上，且∠CBA=30°，∠CAB=60°．
(1)求这时船A与海岛B之间的距离；
(2)若海岛B周围16海里内有海礁，华庆号船继续沿AC向C航行有无触礁危险？请说明理由．
20.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3(k≠0)与x轴交于点A，与双曲线(m≠0)的一个交点为B(−1,4)．
y=m
x
(1)求直线与双曲线的表达式；
(2)过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线y=m
上，且△PAC的面积为4，求点P的
x
坐标．
21.(本小题10分)
我市2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于某镇的异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1875万元．
(1)从2017年到2019年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
(2)在2019年的具体实施中，该镇计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁户的奖励，规定前100户(含第100户)每户奖励2万元，100户以后每户奖励5000元，试求今年该镇最多有多少户享受到优先搬迁奖励？
22.(本小题10分)
如图，已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4.若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图(标出图中的直角)，并分别写出所拼
四边形的对角线的长(不要求写计算过程，只须写出结果)．
23.(本小题11分)
在平面直角坐标系xOy中，对于抛物线y=ax2−x+1(a>0)．
(1)求抛物线y=ax2−x+1的顶点坐标；
(2)当−1≤x≤2时，y的最大值为7，求a；
(3)分别过点M(t,0)和点N(t+1,0)作x轴垂线，交抛物线于点A和B.记抛物线在A，B两点之间的部分为图象G(包括A，B两点)，若对于任意的t，在图象G上都存在两点，且这两点纵坐标的差的绝对值不小于1，请直接写出a的最小值．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.B
5.D
6.D
7.D
8.A
9.A
10.C
11.2
12.12
5
13.x>2
14.120
13
15.17−1
16.解：(x−2
x+2+4x
x2−4
)÷1
x2−4
=(x−2)2+4x
(x+2)(x−2)
⋅(x+2)(x−2)
=x2+4
(x+2)(x−2)
⋅(x+2)(x−2)
=x2+4，
要使分式有意义，必须x+2≠0且x−2≠0，
所以x不能为2和−2，
∵解不等式组{x+1≤0
2(1−x)<8得：−3<x≤−1，
∴不等式组的整数解是−2，−1，
取x=−1，
当x=−1时，原式=(−1)2+4=1+4=5．
17.解：(1)将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为84+86
2
=85(分)，即中位数是85分，而何松同学成绩为84分，小于中位数85分，所以他的成绩属于中等偏下水平；
(2)这20名学生成绩的平均数为：65×2+75×4+85×8+95×6
20
=84(分)，
答：这20名学生成绩的平均分大约是84分；
(3)450×8+6
=315(人)，由于84分>80分，315人>300人，20
所以年段长的目标能够达到．
18.解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A与∠P是BC所对的圆周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；
(2)如图所示，当点P运动到PC为直径时，△ABC≌△PCD，
理由：∵AB，PC是⊙O的直径，
∴∠PDC=∠ACB=90°，AB=PC，
∵∠A=∠P，
∴在△PCD和△ABC中，
{∠A=∠P
∠ACB=∠PDC
,
AB=PC
∴△PCD≌△ABC(AAS)；
(3)当点P运动到某一位置时，有CP⊥AB时，如图所示，
AB，
∵∠ACB=90°，AC=1
2
∴∠ABC=30°，∠CAB=60°，
∵△PCD∽△ABC，
∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴AC=AP，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，
∴∠CEB=90°，∠BCE=60°，
∴∠BCD=30°．
19.解：(1)∵∠CBA=30°，∠CAB=60°，
∴∠ACB=90°.
在Rt△ACB中，
∵cos60°=AC
，
AB
∴AB=20(海里).
(2)在Rt△ACB中，
tan60°=BC
，
AC
∴BC=103>16海里，
∴无触礁危险．
20.解：(1)∵直线y=kx+3(k≠0)与双曲线y=m
(m≠0)都经过点B(−1,4)，
x
∴−k+3=4，m=−1×4．
∴k=−1，m=−4．
∴直线的表达式为y=−x+3，双曲线的表达式为y=−4
；
x
(2)由题意，得点C的坐标为C(−1,0)，
直线y=−x+3与x轴交于点A(3,0)．
∴AC=4．
AC⋅|y P|=4，
∵S△ACP=1
2
∴y P=±2．
∵点P在双曲线y=−4
上，
x
∴点P的坐标为P1(−2,2)或P2(2,−2)．
21.解：(1)设从2017年到2019年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意得：1500(1+x)2=1500+1875，
解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5(不合题意，舍去)．
答：从2017年到2019年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为50%．(2)设今年该镇有y户享受到优先搬迁奖励，
根据题意得：100×20000+(y−100)×5000≤5000000，
解得：y≤700．
答：今年该镇最多有700户享受到优先搬迁奖励．
22.解：图1是矩形，两条对角线长相等，均为25；
图2是平行四边形，两条对角线长4和42；
图3是平行四边形，两条对角线长2和217；
图4是一般的四边形，两条对角线长为2 5和
8 5
5
．
23.解：(1)∵抛物线y =ax 2−x +1为直线x =−−12a =1
2a ，
把x =1
2a 代入y =ax 2−x +1得y =a
4a 2−1
2a +1=−1
4a +1，∴抛物线顶点坐标为(1
2a ,−1
4a +1)．(2)把x =−1代入y =ax 2−x +1得y =a ，把x =2代入y =ax 2−x +1得y =4a−1，
当y 最大值为y =a =7时，4a−1=27>7不符合题意．当y 最大值为y =4a−1=7时，a =2<7符合题意．∴y 的最大值为7时，a =2．
(3)当A ，B 为对称点时，A 或B 与抛物线顶点的纵坐标之差最小，抛物线形状只与a 有关，与抛物线位置无关，令抛物线为y =ax 2，t =−1
2，t +1=1
2，则抛物线顶点为(0,0)，
把x =t +1=1
2代入y =ax 2得y =1
4a ，∴点B 坐标为(12,14a)，∵a >0，
∴y B −y A =14a ≥1，∴a 的最小值为4．。