人教A高中数学选修44同步课时跟踪检测：第1讲 坐标系 一 含解析

第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系
课时跟踪检测
一、选择题
1．通过伸缩变换，下列曲线形态可能发生变化的是( ) ①直线 ②圆 ③椭圆 ④双曲线 ⑤抛物线 A ．②③ B ．①④⑤ C ．①②③ D ．②③④⑤
答案：A
2．在直角坐标系中，如图所示的图形对应的方程是( )
A ．|x |－y ＝0
B ．x －|y |＝0
C ．x
|y |－1＝0
D ．|x |
y －1＝0
解析：∵其图形关于x 轴对称，在第一象限的部分倾斜角为45°， ∴对应的方程为|y |＝x ，即x －|y |＝0. 答案：B
3．在平面直角坐标系中，伸缩变换的关系式为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝x sin π
6，
y ′＝y cos π
6，则正弦曲线
y ＝sin x 在此变换下得到的曲线方程为( )
A ．y ＝2sin 2x
B ．y ＝3
2sin 2x C ．y ＝23
3sin 2x
D ．y ＝3sin 2x
解析：伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝x sin π
6，
y ′＝y cos π
6，可化为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝1
2x ，y ′＝32y ，
即⎩⎨⎧
x ＝2x ′，
y ＝2
3
y ′. ①
将①代入y ＝sin x ，得
2
3
y ′＝sin 2x ′， 即y ′＝32sin 2x ′，得y ＝3
2sin 2x . 答案：B
4．(2019·邵东一中月考)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨
⎧
x ′＝4x ，
y ′＝2y
后，曲线C 变为曲线x ′2－y ′2＝1，则曲
线C 的方程为( )
A ．4x 2－16y 2＝1
B ．16x 2－4y 2＝1
C ．116x 2－1
4y 2＝1
D ．14x 2－1
16y 2＝1
解析：将伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝4x ，
y ′＝2y 代入x ′2－y ′2＝1，得(4x )2－(2y )2＝1，所以曲
线C 的方程为16x 2－4y 2＝1，故选B ．
答案：B
5．在平面直角坐标系中，方程3x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝13x ，
y ′＝2y
后的直线方程为( )
A ．3x －4y ＋1＝0
B ．3x ＋y －1＝0
C ．9x －y ＋1＝0
D ．x －4y ＋1＝0
解析：由⎩⎨
⎧
x ′＝1
3x ，
y ′＝2y ，
得⎩⎨⎧
x ＝3x ′，y ＝y ′2，
代入3x －2y ＋1＝0得9x ′－y ′＋1＝0.∴
经过伸缩变换后的直线方程为9x －y ＋1＝0.
答案：C
6．在平面直角坐标系中，y ＝tan x 经过怎样的伸缩变换可得到y ＝3tan 2x ( )
A ．⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝1
3y
B ．⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝12x ，
y ′＝3y
C ．⎩⎨⎧
x ′＝2x ，
y ′＝3y
D ．⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝12x ，y ′＝1
3y
解析：令y ′＝3tan 2x ′，变换为⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝λx (λ>0)，
y ′＝μy (μ>0)，
将其代入y ′＝3tan 2x ′，得μy
＝3tan 2λx ，即y ＝3
μtan 2λx 与y ＝tan x 比较，可得⎩⎨⎧
μ＝3，λ＝1
2，
∴⎩⎨⎧
x ′＝1
2x ，
y ′＝3y .
答案：B 二、填空题
7．点P (x ，y )经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪
⎧
x ′＝3x ，y ′＝1
2y 后又回到P 点，则x ＝________，y
＝________.
解析：由题意得⎩⎨⎧
3x ＝x ，
1
2y ＝y ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝0.
答案：0 0
8．(2019·邢台检测)在平面直角坐标系中，曲线C 1：(x －2)24＋y 2
＝1，经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝x 2，
y ′＝y
后，得到曲线C 2，则曲线C 2的方程为______________．
解析：由伸缩变换⎩⎨
⎧
x ′＝x 2，
y ′＝y ，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2x ′，y ＝y ′.
代入曲线C 1：(x －2)24＋y 2＝1，得(2x ′－2)2
4
＋y ′2＝1，即(x ′－1)2＋y ′2＝1，所以曲线C 2的方程为(x －1)2＋y 2
＝1. 答案：(x －1)2＋y 2＝1
9．将圆x 2＋y 2＝1上各点的横坐标压缩为原来的1
2，纵坐标变为原来的2倍，则得到的曲线方程为____________．
解析：由题意得⎩⎨
⎧
x ′＝1
2x ，
y ′＝2y ，
整理得⎩⎨⎧
x ＝2x ′，y ＝1
2y ′，
代入x 2＋y 2＝1，得4x ′2＋1
4y ′2
＝1，所以得到的曲线方程为4x 2
＋y 2
4＝1.
答案：4x 2
＋y 2
4＝1
三、解答题
10．线段AB 的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且|AB |＝4，求AB 中点P 的轨迹方程．
解：以两条互相垂直的直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示，设P (x ，y )，由于△OAB 是直角三角形，P 为AB 的中点，所以|OP |＝12|AB |，即x 2＋y 2＝1
2×4，即x 2＋y 2＝4.
故AB 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.
11．(2019·青冈实验中学测试)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝14y 后，曲线C 变为曲线x ′2
16＋4y ′2＝1，求曲线C 的方程并说出其表示的
图形．
解：设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝2x ，y ′＝1
4y 且M ′(x ′，y ′)在曲线x ′216＋4y ′2＝1上，得4x 216＋4y
2
16＝1，即x 2＋y 2＝4.
所以曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，表示以O (0,0)为圆心，以2为半径的圆． 12．椭圆x 24＋y 2
16＝1经过怎样的伸缩变换使它的长轴变为短轴，短轴变为长轴？
解：原来的方程为x 24＋y 216＝1，经过伸缩变换后得到的方程为x ′216＋y ′2
4＝1. ① 设伸缩变换为⎩⎨⎧
x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x ′λ(λ>0)，y ＝y ′
μ(μ>0)，
代入x 24＋y 2
16＝1，
得x ′24λ2＋y ′2
16μ2＝1. ②
比较①②得⎩⎨⎧
4λ2＝16，
16μ2＝4，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝2，μ＝1
2.
∴伸缩变换公式为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝2x ，y ′＝1
2y .
因此，应将椭圆上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩到原来的1
2.
13．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )
A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲
线向右平移π
6个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单位长度，得到曲线C 2
解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y
＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2：y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥
⎤2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6.
答案：D。