山东省威海市2018-2019学年八年级(上)期末数学试卷 含解析

2018-2019学年八年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．不论x取何值，下列分式始终有意义的是（）
A．B．C．D．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．一个多边形的内角和比外角和多540°，这个多边形为（）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
4．某次数学测试中，八年级一班平均分为80分，八年级二班的平均分为82分，下列说法错误的是（）
A．两个班的平均分为81分
B．两个班的平均分不可能高于82分
C．若一班的人数比二班多，则两个班的平均分低于81分
D．若两个班的人数相同，则两个班的平均分为81分
5．下列变形正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
6．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种
7．一组数据0，1，2，2，3，4，若添加一个数据2，则下列统计量中发生变化的是（）A．方差B．中位数C．平均数D．极差
8．如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
9．如图，若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．0
10．某项工作，甲单独完成需要40分钟；若甲、乙共同做20分钟后，乙需再单独做20分钟才能完成，则乙单独完成需要（）
A．40分钟B．60分钟C．80分钟D．100分钟
11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF 是菱形．
根据两人的作法可判断（）
A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC．将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，连接BD、EC．下列结论：①△ADE的旋转角为120°②BD＝EC③BE＝AD+AC④DE⊥AC，其中正确的有（）
A．②③B．②③④C．①②③D．①②③④
二．填空题（共6小题）
13．（﹣2）2018+（﹣2）2019＝．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，△COD可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△COD的过程：．
15．如图，在▱ABCD中，∠D＝120°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC的度数为．
16．关于x的方程＝1﹣有增根，则m＝．
17．当x＝时，多项式x2+2x﹣5有最小值．
18．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°．分别以AB，AC为边作正方形ABEF和正方形ACMN，连接FN．若AC＝4，BC＝3，则S△ANF＝．
三．解答题（共7小题）
19．因式分解：
（1）xy2﹣8xy+12x
（2）9x2﹣6x（x+2y）+（x+2y）2
20．计算：
（1）+
（2）（+x﹣2）÷
21．某工厂甲、乙两个车间各有工人200人，为了解这两个车间工人的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据从甲、乙两个车间各抽取20名工人进行生产技能测试，测试成绩如下：
甲 78 86 74 85 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69
83 77
乙 93 67 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 64 81 73 78 82 80
70 52
整理数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70～79分为生产技能良好，60～69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
得出结论可以推断车间工人的生产技能水平较高，理由为．（至少从两个角度说明推断的合理性）
22．线段AB，CD在正方形网格中的位置如图所示，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转一定角度α，可以得到线段CD．
（1）请在下图中画出点O；
（2）若点A、B、C、D的坐标分别为A（﹣5，5）、B（1，1）、C（5，1）、D（1，﹣5），则点O的坐标为；
（3）α＝．
23．小明家距学校2000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘带作业，此时离上课时间还有25分钟，于是他立刻步行回家取，随后骑车返回学校，在上课前5分钟到达了学校．若小明骑车的平均速度是步行速度的5倍，求小明步行的平均速度．
24．如图1，将矩形纸片ABCD沿AC剪开，得到△ABC和△ACD．
（1）将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到图2所示的
△ABC′，过点C′作C′E∥AC，交DC的延长线于点E，试判断四边形ACEC′的形状，并说明理由；
（2）若将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转，使B，A，D在同一条直线上，得到图3所示的△ABC′，连接CC′，过点A作AF⊥CC′于点F，延长AF至点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，试判断四边形ACGC′的形状，并说明理由．
25．已知，△ABC，AD⊥BD于点D，AE⊥CE于点E，连接DE．
（1）如图1，若BD，CE分别为△ABC的外角平分线，求证：DE＝（AB+BC+AC）；
（2）如图2，若BD，CE分别为△ABC的内角平分线，（1）中的结论成立吗？若成立请说明理由；若不成立，请猜想出新的结论并证明；
（3）如图3，若BD，CE分别为△ABC的一个内角和一个外角的平分线，AB＝8，BC＝10，AC＝7，请直接写出DE的长为．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．不论x取何值，下列分式始终有意义的是（）
A．B．C．D．
【分析】直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．
【解答】解：A、，2x有可能为零，故此选项不合题意；
B、，x+1有可能为零，故此选项不合题意；
C、，x2﹣3有可能为零，故此选项不合题意；
D、，﹣x2﹣1始终不为零，故此分式始终有意义．
故选：D．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
3．一个多边形的内角和比外角和多540°，这个多边形为（）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程求解即可．【解答】解：设多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）•180°﹣540°＝360°，
解得n＝7．
故选：C．
4．某次数学测试中，八年级一班平均分为80分，八年级二班的平均分为82分，下列说法错误的是（）
A．两个班的平均分为81分
B．两个班的平均分不可能高于82分
C．若一班的人数比二班多，则两个班的平均分低于81分
D．若两个班的人数相同，则两个班的平均分为81分
【分析】利用加权平均数的计算方法分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、两个班的平均分不一定是81分，因为两个班的人数不一定相等，故本选项错误；
B、因为八年级一班平均分为80分，八年级二班的平均分为82分，所有两个班的平均分
不可能高于82分，正确；
C、若一班的人数比二班多，则两个班的平均分低于81分，正确；
D、若两个班的人数相同，则两个班的平均分为81分，正确；
故选：A．
5．下列变形正确的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【分析】根据分式的基本性质即可得到结论．
【解答】解：A、≠，故不符合题意；
B、＝（c≠0），故不符合题意；
C、≠，故不符合题意；
D、＝，故符合题意，
故选：D．
6．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）
A．3种B．4种C．5种D．6种
【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边
形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：B．
7．一组数据0，1，2，2，3，4，若添加一个数据2，则下列统计量中发生变化的是（）A．方差B．中位数C．平均数D．极差
【分析】依据平均数、中位数、极差、方差的定义和公式求解即可．
【解答】解：A、原来数据的方差＝[（0﹣2）2+（1﹣2）2+2×（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝，
添加数字2后的方差＝[（0﹣2）2+（1﹣2）2+3×（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝，故方差发生了变化．
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故中位数不发生变化；
C．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故平均数不发生变化；
D．原来数据的极差是4，添加数字2后极差仍为4，故极差不发生变化；
故选：A．
8．如果a2+2a﹣1＝0，那么代数式（a﹣）•的值是（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后对a2+2a﹣1＝0变形即可解答本题．
【解答】解：（a﹣）•
＝
＝
＝a（a+2）
＝a2+2a，
∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
∴原式＝1，
故选：C．
9．如图，若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．0
【分析】先利用点A平移到A1得到平移的规律，再按此规律平移B点得到B1，从而得到B1点的坐标，于是可求出a、b的值，然后计算a+b即可．
【解答】解：∵点A（0，1）向下平移2个单位，得到点A1（a，﹣1），点B（2，0）向左平移1个单位，得到点B1（1，b），
∴线段AB向下平移2个单位，向左平移1个单位得到线段A1B1，
∴A1（﹣1，﹣1），B1（1，﹣2），
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
∴a+b＝﹣1﹣2＝﹣3．
故选：A．
10．某项工作，甲单独完成需要40分钟；若甲、乙共同做20分钟后，乙需再单独做20分钟才能完成，则乙单独完成需要（）
A．40分钟B．60分钟C．80分钟D．100分钟
【分析】设乙单独完成需要x分钟，根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：设乙单独完成需要x分钟，
由题意可知：20（+）+＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
故选：C．
11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF 是菱形．
根据两人的作法可判断（）
A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
【分析】首先证明△AOM≌△CON（ASA），可得MO＝NO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判定四边形ANCM是平行四边形，再由AC⊥MN，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出ANCM是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形．
【解答】解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACN，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
在△AOM和△CON中，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO＝NO，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形ANCM是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，
∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，
∴AB＝AF，AB＝BE，
∴AF＝BE
∵AF∥BE，且AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC．将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，连接BD、EC．下列结论：①△ADE的旋转角为120°②BD＝EC③BE＝AD+AC④DE⊥AC，其中正确的有（）
A．②③B．②③④C．①②③D．①②③④
【分析】由AB＝AC，∠B＝30°，得出∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，得出将△ADE 绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，△ADE的旋转角为60°，故①错误；
由DE∥BC，易证AD＝AE，得出BD＝EC，故②正确；BE＝AE+AB＝AD+AC，故③正确；证明∠DAC＝∠EAC，由AD＝AE，得出DE⊥AC，故④正确；即可得出结果．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，
∴将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，△ADE的旋转角为180°﹣120°＝60°，故①错误；
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴BD＝EC，故②正确；
BE＝AE+AB＝AD+AC，故③正确；
∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠EAC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∠DAC＝120°﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AD＝AE，
∴DE⊥AC，故④正确；
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．（﹣2）2018+（﹣2）2019＝﹣22018．
【分析】直接提取公因式（﹣2）2018，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝（﹣2）2018×（1﹣2）
＝﹣22018．
故答案为：﹣22018．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，△COD可以看作是△AOB经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△AOB得到△COD的过程：以原点O为中心，将△AOB顺时针旋转90°，再将得到的三角形向下平移1个单位长度．
【分析】利用平移变换或旋转变换的性质解决问题即可．
【解答】解：答案不唯一，如：以原点O为中心，将△AOB顺时针旋转90°，再将得到的三角形向下平移1个单位长度；
故答案为：以原点O为中心，将△AOB顺时针旋转90°，再将得到的三角形向下平移1个单位长度．
15．如图，在▱ABCD中，∠D＝120°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC的度数为45°．
【分析】由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠D＝108°，AB∥CD，得出∠BAD＝180°﹣∠D＝60°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABE＝75°，即可得出∠EBC 的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝120°，AB∥CD，
∴∠BAD＝180°﹣∠D＝60°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝60°÷2＝30°，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝45°；
故答案为：45°．
16．关于x的方程＝1﹣有增根，则m＝﹣3 ．
【分析】两边乘（x﹣3）得到：2＝x﹣3﹣（m+1）．因为分式方程有增根，推出x＝1，
代入整式方程求出m即可；
【解答】解：两边乘（x﹣3）得到：2＝x﹣3﹣（m+1）．
∵分式方程有增根，
∴x＝3，
∴2＝3﹣3﹣m﹣1，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3
17．当x＝﹣1 时，多项式x2+2x﹣5有最小值．
【分析】根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答．
【解答】解：x2+2x﹣5＝x2+2x+1﹣6＝（x+1）2﹣6，
则当x＝﹣1时，多项式x2+2x﹣5有最小值，
故答案为：﹣1．
18．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°．分别以AB，AC为边作正方形ABEF和正方形ACMN，连接FN．若AC＝4，BC＝3，则S△ANF＝ 6 ．
【分析】过F作FH⊥NA交NA的延长线于H，根据正方形的性质和已知条件可证明△ACB ≌△AHF，由此可得FH＝BC＝3，进而可求出S△ANF．
【解答】解：过F作FH⊥AH交NA的延长线于H，
∵分别以AB，AC为边作正方形ABEF和正方形ACMN，
∴AB＝AF，∠ACB＝∠BAF＝90°，
∴∠CAB+∠BAH＝∠BAH+∠HAF＝90°，
∴∠CAB＝∠FAH，
在△ACB和△AHF中，
，
∴△ACB≌△AHF，
∴BC＝HF＝3，
∵S△ANF＝×4×3＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共7小题）
19．因式分解：
（1）xy2﹣8xy+12x
（2）9x2﹣6x（x+2y）+（x+2y）2
【分析】（1）首先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝x（y2﹣8y+12）
＝x（y﹣2）（y﹣6）；
（2）原式＝[3x﹣（x+2y）]2
＝（2x﹣2y）2
＝4（x﹣y）2．
20．计算：
（1）+
（2）（+x﹣2）÷
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝+＝＝＝
＝；
（2）原式＝•＝•＝．
21．某工厂甲、乙两个车间各有工人200人，为了解这两个车间工人的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据从甲、乙两个车间各抽取20名工人进行生产技能测试，测试成绩如下：
甲 78 86 74 85 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69
83 77
乙 93 67 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 64 81 73 78 82 80
70 52
整理数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70～79分为生产技能良好，60～69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
得出结论可以推断甲车间工人的生产技能水平较高，理由为①甲车间工人技术水平的平均数比乙车间大②甲车间没有生产技术不合格的工人．．（至少从两个角度说明推断的合理性）
【分析】利用所有数据的和除以数据个数计算出平均数；把数据按从小到大的顺序排列，由于数字个数是偶数，中间两个数的平均数就是该组数据的中位数，该组数据中出现次数最多的数就是该组数据的众数．
【解答】解：由给出的数据可得，甲车间有1人测试成绩在60至69分，7人测试成绩在80至89分；乙车间2人成绩在90分至99分．
甲车间的平均数为
（78+86+74+85+75+76+87+70+75+90+75+79+81+70+74+80+86+69+83+77）÷20
＝78.5；
把乙车间的成绩按从小到大排序为52，64，67，70，72，73，77，80，80，81，81，81，81，82，83，83，88，93，94
第九、十两数分别为80，81，所以乙车间的中位数为＝80.5；出现次数最多的数是81，所以乙车间的众数是81．
故答案如下表所示．
因为甲车间的人均的平均数高于乙车间，甲车间最低成绩为69分，没有生产技术不合格的工人．
故答案为：甲，①甲车间工人技术水平的平均数比乙车间大②甲车间没有生产技术不合格的工人．（答案不唯一）
22．线段AB，CD在正方形网格中的位置如图所示，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转一定角度α，可以得到线段CD．
（1）请在下图中画出点O；
（2）若点A、B、C、D的坐标分别为A（﹣5，5）、B（1，1）、C（5，1）、D（1，﹣5），则点O的坐标为（﹣2，﹣2）；
（3）α＝90°．
【分析】（1）连接AC，BD，分别作AC，BD的垂直平分线交于O，正确点O即为所求；
（2）构建平面直角坐标系解决问题即可．
（3）构建旋转角的定义即可判断．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）观察图象可知，O（﹣2，﹣2）．
故答案为（﹣2，﹣2）．
（3）观察图象可知α＝90°．
故答案为90°．
23．小明家距学校2000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘带作业，此时离上课时间还有25分钟，于是他立刻步行回家取，随后骑车返回学校，在上课前5分钟到达了学校．若小明骑车的平均速度是步行速度的5倍，求小明步行的平均速度．
【分析】设小明步行的平均速度为每分钟x米，根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：设小明步行的平均速度为每分钟x米，由题意得，
＝25﹣5，
解得，x＝70，
检验，x＝70是原方程的解
答：小明步行的平均速度为70米/分钟．
24．如图1，将矩形纸片ABCD沿AC剪开，得到△ABC和△ACD．
（1）将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到图2所示的△ABC′，过点C′作C′E∥AC，交DC的延长线于点E，试判断四边形ACEC′的形状，并说明理由；
（2）若将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转，使B，A，D在同一条直线上，得到图3所示的△ABC′，连接CC′，过点A作AF⊥CC′于点F，延长AF至点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，试判断四边形ACGC′的形状，并说明理由．
【分析】（1）先证明四边形ACEC′是平行四边形，由AC'＝AC，即可得出四边形ACEC′是菱形；
（2）先证明四边形ACGC′是平行四边形，由AC'＝AC，∠C'AC＝90°，得出四边形ACGC′是正方形．
【解答】解：（1）四边形ACEC′是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
由旋转的性质得：∠BAC＝∠C'AC，AC'＝AC，
∴∠C'AC＝∠ACD，
∴AC'∥DE，
∵C′E∥AC，
∴四边形ACEC′是平行四边形，
∵AC'＝AC，
∴四边形ACEC′是菱形；
（2）四边形ACGC′是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠DAC＝90°，
由旋转的性质得：AC'＝AC，∠BAC'＝∠BAC，
∴∠BAC'+∠DAC＝90°，
∴∠C'AC＝90°，
∵AF⊥CC′，
∴AF＝C'C＝C'F＝CF，
∵FG＝AF，
∴AF＝C'F＝CF＝FG，
∴四边形ACGC′是平行四边形，
∵AC'＝AC，∠C'AC＝90°，
∴四边形ACGC′是正方形．
25．已知，△ABC，AD⊥BD于点D，AE⊥CE于点E，连接DE．
（1）如图1，若BD，CE分别为△ABC的外角平分线，求证：DE＝（AB+BC+AC）；
（2）如图2，若BD，CE分别为△ABC的内角平分线，（1）中的结论成立吗？若成立请说明理由；若不成立，请猜想出新的结论并证明；
（3）如图3，若BD，CE分别为△ABC的一个内角和一个外角的平分线，AB＝8，BC＝10，AC＝7，请直接写出DE的长为 4.5 ．
【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得AB与BK，AC与CH的关系，根据等腰三角形的性质，可得AD与DK的关系，AE与EH的关系，根据三角形中位线的性质，可得答案；
（2）都是内角平分线时，可根据等腰三角形三线合一的特点来求解，由于DB平分∠ABC，且AD⊥BD，如果延长AD交BC于K，那么三角形ABK就是个等腰三角形，AD＝DK，如果延长AE到H，那么同理可证AG＝GH，AC＝CH，那么DE就是三角形AHK的中位线，DE就是HK的一半，而HK＝BK﹣BH＝BK﹣（BC﹣CH），由于BK＝AB，CH＝AC，那么可得出DE ＝（AB+AC﹣BC）；
（3）证法同（1），先根据题目给出的求法，得出GD是AC的一半，然后按（2）的方法，通过延长AF来得出DF是（BC﹣AB）的一半，由此可得出DE＝（BC+AC﹣AB），由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1，分别延长AE、AD交BC于H、K，
在△BAD和△BKD中，
∵，
∴△BAD≌△BKD（ASA），
∴AD＝KD，AB＝KB，
同理可证，AE＝HE，AC＝HC，
∴DE＝HK，
又∵HK＝BK+BC+CH＝AB+BC+AC，
∴DE＝（AB+AC+BC）；
（2）解：结论不成立．DE＝（AB+AC﹣BC）．
理由：如图2，分别延长AE、AD交BC于H、K，
在△BAD和△BKD中，
∵，
∴△BAD≌△BKD（ASA），
∴AD＝KD，AB＝KB，
同理可证，AE＝HE，AC＝HC，
∴DE＝HK，
又∵HK＝BK﹣BH＝AB+AC﹣BC，
∴DE＝（AB+AC﹣BC）；
（3）解：分别延长AE、AD交BC或延长线于H、K，
在△BAD和△BKD中，
∵，
∴△BAD≌△BKD（ASA），
∴AD＝KD，AB＝KB
同理可证，AE＝HE，AC＝HC，
∴DE＝KH
又∵KH＝BC﹣BK+HC＝BC+AC﹣AB．
∴DE＝（BC+AC﹣AB），
∵AB＝8，BC＝10，AC＝7，∴DE＝（10+7﹣8）＝4.5，故答案为4.5．。