四川省雅安市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理科)试题 (含答案)

y f '(x) 的图象，则 f (1) 等于
1
A．
3 7
C．
3
2
B．－
3 15
D．－ 或
33
12、设函数 f x 是定义在 0, 的非负可导的函数,且满足 xf x f x 0 ,对任意
的正数 a,b,若a b ,则必有
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A． af b bf a B． bf a af b C. af a bf b D． bf b af a
…………1 分 …………3 分
∴ f (x) = 3ex − 1 x2 − x, ，则 f (0) = 3. 于是 3 = 2× 0 + b,b = 3. 2
a =1 ∴ b = 3 .
…………5 分
(2)由题意 f ′(x) ≥ 0，即 3ex − x − a ≥ 0恒成立，∴ a ≤ 3ex − x恒成立． …………6 分
，
．
20、（12 分）已知函数 f (x) 3ex 1 x2 ax . 2
（1）若函数 f (x) 的图象在 x 0 处的切线方程为 y 2x b ，求 a, b 的值； （2）若函数 f (x) 在 R 上是增函数，求实数 a 的最大值．
21、（12 分）如图，在多面体 ABCDE 中， AE ⊥平面 ABC ，平面 BCD 平面 ABC ， △ABC 是边长为 2 的等边三角形， BD CD 5 ， AE 2 ． （1）证明：平面 EBD 平面 BCD ； （2）求平面 BED 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值． 22、（12 分）已知函数 f (x) 1 ax2 (a 2)x 2 ln x (a R) ．
T1
=
C50
⋅
1 2
0
⋅
x5
=
x5 ,
T3
=C52
⋅
1 2
2
⋅
x5−3
=5 2
x2
,
T5
= C54 ⋅ 12
4
x5−6
= 5 ． 16x
-----------12 分
高二理科答案
1
18、解：（1）记甲、乙、丙各自投进的事件分别为 A1，A2，A3，
p
(
A1
)
=
1， 2
由己知
A1，A2，A3 相互独立，且满足
20
5
投进相互独立．
（1）求乙、丙两人各自投进的概率；
（2）设 表示三人中最终投进的人数，求 的分布列和期望．
19、（12 分）某校举办安全法规知识竞赛，从参赛的高一、高二学生中各抽出 100 人的 成绩作为样本.现对高一年级的 100 名学生的成绩进行统计，得到成绩的频率分布直方图
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40
-----10 分
ξ
0
1
2
3
3
17
7
3
P
20
40
20
40
高二理科答案
2
E(ξ ) = 0. 3 +1.17 + 2. 7 + 3. 3 = 27 20 20 20 40 20
19、（1）由频率分布直方图可得合格率为
-------------12 分
．
----------3 分
设成绩的中位数是 x ，则 (0.01+ 0.01+ 0.02) ×10 + (x − 70) × 0.03 = 0.5
p
(
A2
)
p ( A3 )
=
3， 20
-------3 分
1 −
p
(
A1
)
1 −
p
(
A3
)
= 1 ， 5
解得
p ( A2 )
=
1 4
，
p ( A3 )
=
3
，
5
所以乙、丙各自投进的概率分别为 1，3． 45
--------6 分
（2） ξ 的可能取值为 0，1，2，3.
p (ξ
=0) = 1 −
1 2
高二理科答案
4
∵ AE ⊥平面 ABC ，∴ AE∥DO ， ---------------3 分
又 DO= 2= AE ，∴四边形 AODE 是平行四边形，
∴ ED∥AO ，∵ △ABC 是等边三角形，∴ AO ⊥ BC ，
∵ AO ⊂ 平面 ABC ，平面 BCD 平面 ABC = BC ，平面 BCD ⊥ 平面 ABC ，
若 X 的数学期望 E X 1.75 ，则 p 的取值范围为
A．
0,
1 2
B1 2
,1
D．
7 12
,1
10、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为
A． 5
B． 6
C． 7
D． 2 2
11 下 面 四 个 图 象 中 ， 存 在 函 数 f (x) 1 x3 ax2 (a2 1)x 1 (a ∈ R) 的 导 函 数 3
雅安市 2019—2020 学年下期期末检测高中二年级
数 学(理科) 试 题
（本试卷全卷满分 150 分，答题时间 120 分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题
卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑
如下图．已知规定 60 分以上(包括 60 分)为合格． （1）计算高一年级这次知识竞赛的合格率及成绩的中位数； （2）若高二年级这次知识竞赛的合格率为 60﹪，由以上统计数据填写 是否有 99.5﹪的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”．
列联表，并问
合格人数 不合格人数
合计
高一
高二
合计
参考公式和数据：
1 −
1 4
1
−
3 5
=3 20
，
--------------7 分
p (ξ
=2)
=1 −
1 2
1 4
3 5
+
1 2
1
−
1 4
3 5
+
1 2
1 4
1 −
3 5
=7 20
，----8
分
p (ξ=
3=)
1 2
1 4
53=
3
，
40
--------9 分
p(ξ = 1) = 1 − p(ξ = 0) − p(ξ = 2) − p(ξ = 3) = 17 ，
则 x = 73 1 3
---------------------------------------------------6 分
（2）由题意得 列联表如下：
高一
高二
合计
合格人数
80
60
140
不合格人数
20
40
60
合计
100
100
200
---------9 分
由表中数据得到. k 2 = 200(80× 40 − 20× 60)2 ≈ 9.52 > 7.879 100×100×140× 60
.................10 分
∴ h(x)min = h(− ln 3) = 1+ ln 3 . ∴ a ≤ 1+ ln 3 ，即 a 的最大值为 1+ ln 3.
…………12 分
21 证明：（1）取 BC 中点 O ，连结 AO, DO ，
-------------1 分
∵ B=D C=D 5 ，∴ DO ⊥ BC ， DO = CD2 − OC2 = 2 ， ∵ DO ⊂ 平面 BCD ，平面 DBC 平面 ABC = BC ， 平面 BCD ⊥ 平面 ABC ，∴ DO ⊥ 平面 ABC ，
17、（10 分）已知（x 1 )n 的展开式中的第二项和第三项的系数相等． 2x
（1）求 n 的值； （2）求展开式中所有的有理项．
1
18、（12 分）三人参加篮球投篮比赛，规定每人只能投一次．假设甲投进的概率是 ，
2
3
1
乙、丙两人同时投进的概率是 ，甲、丙两人同时投不进的概率是 ，且三人各自能否
C． 5 26
D． 5 i 26
2、命题 p ：“ x R ， x2 2x 1 0 ”的否定是
A． x R ， x2 2x 1 0
B． x0 R ，使得 x02 2x0 1 0
C． x0 R ，使得 x02 2x0 1 0
D． x0 R ，使 x02 2x0 1 0
2
13、
3
14、1 15、35.6 16、 2 3 3
17、二项式 (x + 1 )n 展开式的通项公式为 2x
Tr +1
=Cnr
⋅ xn−r
⋅
1 2x
r
=Cnr
⋅
1
r
2
n− 3 r
⋅x 2
，= ( r
0,1, 2 ⋅⋅⋅ n) ；-------2 分
（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得
色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试
题卷上答题无效。
3.考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求。
1、复数 z i 上的虚部为 5i
5
A．
26
B． 5 i 26
2 （1）若 a 0 ，求 f (x) 的最大值； （2）当 a 0 时，讨论函数 f (x) 零点的个数．
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雅安市 2019—2020 学年下期期末检测高中二年级
数 学(理科) 参考答案
1、A 2、B 3、A 4、B 5、C 6、D 7、C 8、D 9、A 10、B 11、D 12、A
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填写在答题卡相应的位置上． 13、袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 2 只红球，2 只黄球， 从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为________
14、如图,函数 y f (x) 的图象在点 处的切线方程是 y x 5 ，则
f (3) f '(3) ___.
15、某城市 2010 年到 2014 年人口总数与年份的关系如表所示.据此估计 2020 年该城市 人口总数_____(十万)．
年份 2010+x(年)
0
1
2
3
4
人口数 y(十万)
5
7
8
11
19
（参考数据和公式: yˆ bˆx aˆ, 其中 bˆ 3.2 ， aˆ y bˆx ）
Cn1
⋅
1 2
=
Cn2
⋅
1 2
2
，
即 1 n= 2
1 ⋅ n (n −1) ,
42
解得 n = 5；
--------------6 分
（2）二项式展开式的通项公式为
( Tr +1
=C5r
⋅
1 2
r
⋅
5− 3r
x2
，=r
0,1, 2 ⋅⋅⋅ n) ；
当 r = 0, 2, 4 时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为
设 h(x) = 3ex − x ，则 h′(x) = 3ex −1.
…………7 分
令 h′(x) = 0 ，得 x = − ln 3
∴当 x ∈ (−∞,− ln 3) 时， h′(x) < 0， h(x) 为减函数；
当 x ∈ (− ln 3,+∞) 时， h′(x) > 0， h(x) 为减函数，
16、如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面四边形 ABCD 是矩形， BC 2 ，PAD 是等边三角形，平面 PAD 平面 ABCD ，点 E ， F 分别在线段 PA ，CD 上，若 EF / / 平面 PBC ，且 DF 2FC ， 则点 E 到平面 ABCD 的距离为_____．
三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
5、10 个人排队，其中甲、乙、丙、丁 4 人两两不相邻的排法
A.
种
B. － 种
C. 种
D. 种
6、已知三棱锥 A BCD 中， E 是 BC 的中点，则 AE 1 ( AC AD) = 2
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A． BD
B． DB
C． 1 BD 2
D． 1 DB 2
7、已知 f '(x) 为函数 f (x) ax b ln x 的导函数，且满足 f '(1) 0, f '(1) 2 ，则
所以有 99.5%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”． --------12 分
高二理科答案
3
20、(1)∵ f (x) = 3ex − 1 x2 − ax,∴ f ′(x) = 3ex − x − a， 2
则 f ′(0) = 3 − a. 由题意知 3 − a = 2，即 a = 1.
3、如图所示，5 组数据 x, y 中去掉 D 3,10 后，下列说法错误的是
A．残差平方和变大 B．相关系数 r 变大
C．相关指数 R2 变大 D．变量 x 与变量 y 的相关性变强
4、已知 a, b R ，那么“ 3a 3b ”是“ log1 a log1 b ”的
3
3
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
f '(2)
8、A.l
B. 4 3
1
4
C.
D.
2
3
8、随机变量 的分布列如表,若 E( ) 1 ，则 D( )
9
-1
0
1
1
A．
81 C． 8
9
B． 2 9
D． 62 81
P
1
a
b
3
9、已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则
一直发到 3 次结束为止．某考生一次发球成功的概率为 p 0 p 1 ，发球次数为 X ，