苏教版普通高中数学选修2-3第一章

苏教版普通高中数学选修2-3第一章
《组合（2）》教学设计
无锡市堰桥高级中学余金荣
1 教材分析
本节课是《组合》的第二节课，学生学习计数原理、排列数和组合数公式等知识的后续内容，教材安排的主要内容为组合数的性质及其相关的运用，它与计数原理、组合数和数学归纳法等知识有内在联系，是进一步学习二项式系数的性质的基础。

学习本课时的相关内容能使学生系统掌握组合数的有关知识，掌握渗透于知识中的计数原理的相关思想，掌握特殊到一般和一般到特殊的思想以及观察、猜想、证明的思想方法；对培养学生观察、比较、分析、综合、抽象和概括的能力以及合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点有作用，对开发智力、培养数学应用的意识和能力以及科学研究的意识和能力也有重要作用；能使学生在探究过程中，发现数学美，激发他们勇敢地追求美，主动地创造美，从而陶冶学生的情操，培养学生创新的精神。

2 学情分析
所教学生为高二理科班学生，接受了高中一年半课程学习，具有一定的观察能力，但缺乏较强的逻辑思维能力，与字母有关的表达式计算难以接受；具有处理特殊问题的能力，但缺乏一定的归纳能力；学生缺乏将数学知识生活化的认识，潜意识中认为数学离生活比较遥远.
3 目标定位
3.1 教学目标
（1）通过实例让学生归纳出组合数的性质，对组合数性质能用模型进行证明；
（2）能用组合数公式来解决一些简单的关于组合数的计算问题和方程问题，并且能进行组合数相关等式的证明；
（3）体验知识发生、发展过程，感受发现和探索数学知识的快乐；
（4）通过情景的设置，培养学生用数学思维看世界，用数学知识认识世界，
培养学生提出问题和解决问题的能力. 3.2 教学重点和难点
（1）教学重点：能用组合数的性质进行组合数的相关计算和证明. （2）教学难点：组合数性质的证明和与组合数相关等式的计算与证明（含字母的）.
4 教学过程设计
4.1 回顾宜兴之旅，创设情境
师：在2017年3月21日一个充满神奇色彩的班级无锡市堰桥高级中学高二（5）班在赴宜兴社会实践中获得了登山项目的第一名（展示活动过程中的一张合影）. 在龙池山脚下进行了大家印象深刻的野炊活动，发生了一下故事：高二（5）班第六组的主要成员如下（展示活动过程中的分组情况：组长：詹伦伦；副组长：郝天龙；组员：余老师，惠晓杰，孙乐天，张旭，沈康明）.
幻灯片： 情境1
赴宜兴社会实践中，第六小组有7名成员（余老师也在内），有3名成员负责烧饭，请问组长詹伦伦同学有多少种分派的方法？第六小组中有4名成员负责炒菜，请问组长詹伦伦同学有多少种分派的方法？（用组合数作答）
生：37C ；47C . 师：你有什么发现？ 生：3
477C C
师：能解释其中的原因吗？
生：从7名成员中选出3名成员构成一个组合与剩下来的4名成员构成的组合是一一对应关系，因此，从7名成员中选出3名成员的组合数37C ，即从7名成员中选出4名成员的组合数47C .
师：将以上的人数做了改变之后呢？能否从中总结出一个一般性的等式？
生：m n m
n
n
C C .
4.2 收获宜兴之旅，建构数学
师：这就是我们要学习的组合数的性质1（板书），能否解释以上等式成立
的原因？
生：一般地,从n 个不同元素中取出m 个不同元素后，剩下()n m 个元素. 因为从n 个不同元素中取出m 个不同元素的每一个组合，与剩下()n
m 个元素的
每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数，等于从这n 个元素中取出()n
m 个元素的组合数，即m
n m
n
n
C C .
设计意图 借助学生印象深刻的社会实践，调动学生的积极性，采用贴近学生生活的例子作为情境，让学生有一种亲切感， 从生活中的例子中总结出组合数的第一个性质，让学生感到数学来源于生活.在设计的过程中，从特殊到一般，让学生体验发现知识的过程，提高学生的抽象概括能力的同时享受发现知识的快乐.
师：以上我们用组合数的定义给出了组合数性质的证明，能否从数式的角度给出这个等式的证明.
生：!!()!!
[()]!()!
m
n m
n
n
n n C C n
m m n n
m n
m .（教师根据学生的
口述板书）
设计意图 教材的设计从特殊到一般直接给出了性质，便于学生掌握，另一方面也要兼顾严密性，对已经给出的性质给出必要的证明，在证明的过程中再次巩固组合数的定义及其计算公式，进一步掌握组合数性质的本质.
课堂练习
1. 计算：2011
2012C ________;
2. 若3
7
7
x
C C ，则x _________;
3. 对n
n C 用性质1的结果如何？
设计意图 学生对性质中的字母难以理解，一方面进一步巩固性质1，另一
方面让学生感知性质1在计算，求方程上的应用，同时对0
n C 做出规定（这样可
以让学生感觉到这个规定的缘由）.
师：以上我们帮助组长詹伦伦同学解决了一个实际问题，收获了组合数的一个性质，接下来再次回顾一个情境（幻灯片）：
情境2 第六小组有7名成员，有3名成员负责烧饭，余老师不会烧饭，现在很关心以下两个问题：（1）余老师被选入烧饭团队的分派方法有多少种？（2）余老师没有被选入烧饭团队的分派方法有多少种？（用数字作答）
生：（1）2
6
15C ；
（2）3620C ；
师：以上两个问题的结果与情境1中总的选派方法数有什么关系？为什么？
生：3237
66351520
C C C .
师：能类比情境1，分析情境2吗？
生：可以得到等式：1
1
m
m m n
n
n
C C C . 师：很好，这就是今天要学习的性质2.请类比性质1给出该性质的证明. 生：可以有两种证明方法： 方法一 从121,,,n a a a 这(1)n
个不同的元素中取出m 个元素的组合数为
1m n C ，这些取法的结果可以分为两类：（1）含有1a ，取法的种数为1
m n C ；（2）不含1a ，取法的种数为m n C .根据分类计数原理得：1
1
m
m m n
n
n
C C C .（教师根据学生的回答情况适当给予引导，特别是表达的规范上）
方法二 用组合数公式进行证明（此处略）.
设计意图 两个性质的研究的方法上基本类似，采用类比学习的方法，让学生发现性质2，一方面巩固性质1的研究方法，另一方面，让学生感受学会类比学习，进一步巩固合情推理的推理方法.
课堂练习
1. 计算：98
97100100C C ___________；（结果用组合数作答） 2. 计算：89
89100
99
C C ___________.（结果用组合数作答）
设计意图 巩固性质的运用，在练习中体会性质的特点，在变式中感受性质的不同使用方法.
4.3 享受宜兴之旅，数学运用
师：回顾宜兴之旅，我们收获了组合数的两个性质，接下来我们享受宜兴之旅带来的快乐.
例题 （1）计算：96
97989999992C C C ；（2）计算：45
677789
C C C C . 设计意图 让学生进一步体会组合数性质的特征，运用性质的关键是组合数的上标和下标均要满足性质的要求.同时，也让学生感受到用组合性质来解此类问题比用组合数公式来处理优越.
探究 计算：3
334
5
10
C C C . 设计意图 这个组合数式子的化简的方法比较多，学生会根据前面练习的经验给出一些尝试，往往学生最初的尝试都是错误的，只要学生看到了自己的错误就会知道自己正确的思路在哪.给学生探究的机会，提高学生分析问题和处理问题的能力.实际上本题的关键是在式子的最前面加一根“导火索”：44C .当然也可以使用组合数性质2的变形形式.
师：能从以上例子中归纳出一个一般性的等式吗？
生：1
1
3
2
1
m
m m m m m m
m
n
n
n
n
C C C C C C （适当引导）. 设计意图 让学生再次体验发现知识的快乐，在发现知识中进一步巩固组合数的性质的运用.同时也为后面用二项式定理证明上述结论做铺垫（实际上，等式的左边就是1
1(1
)(1)(1)m m
n x x x 的展开式中m x 的系数）.
课堂练习
1. 求证：1
23111
2
3
1
1r r n
n
n
n
r n
r
C C C C C . 2. 解方程：（1）1
23
1313
x x C C ； （2）77
81
8x x x A A A .
设计意图 巩固组合数性质的运用，进一步感受组合数性质用来处理部分组合数计算问题的优越性.在解方程的过程中也感受到组合数和排列数之间的内在关系.
4.4 反思宜兴之旅，课堂小结
师：宜兴之旅让我们回味无穷，让我们在登龙池山时增强毅力，让我们在野炊中体验做饭带来的幸福，让我们在攀岩中体验耐力的极限，让我们在多米诺骨
牌码放中认识细心二字，让我们在翻毕业墙中领略集体的智慧，接下来，我们再次反思一下宜兴之旅给我带来的数学收获.
生：组合数的两个性质；组合数与实际模型之间的关系；组合数的性质在运
用过程中的收获（导火索）：01
11
n k
n n k
C C C.
师：说得很好，宜兴之旅，回忆无限.
设计意图让学生将数学上的收获和精神上的收获一起总结，再次回味宜兴之旅.学生自我总结，也是给学生一个自我评价的过程.
5 作业设计（略）
6 教学后记
为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程.
本教学设计构建了一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携手并进的“学习链，在这个过程中始终抓住组合数的性质，循序渐进，发现并运用组合数的性质，力求实现知识传授的连续与自然.
本堂课的设计基于学生赴宜兴社会实践，以社会实践为背景设计问题情境，贴近学生的生活，给学生予数学来源于生活的感觉，同时也让学生能够及时进入课堂，另一方面，这样教学可以将原本枯燥的数学课堂变得丰富多彩.
组合数的性质的运用在每个性质后配置了适当的简单练习，旨在让学生及时掌握性质的特点，并且能够在第一时间将性质的特点运用到位.组合数性质的深层次的运用在最后的综合例题中体现，使学生体会组合数的性质在计算组合数和化简组合数表达式中的运用.
组合数性质的证明采用两种方法进行，利用定义让学生对组合数的性质有一个直观的印象，利用组合数公式进行证明一方面增强学生的计算能力，进一步熟悉学生比较陌生的阶乘的运算，另一方面采用一种严格的证明方法，训练学生严谨的逻辑思维.
总之，课堂教学应该从学生的全面发展出发，注重培养学生的数学素养和情感体验，尊重学生个性思维特点，鼓励自主学习、合作学习、探究学习，关注每一位学生，因材施教，让每一位学生都能宽松、开放的学习环境中体验成功的喜悦、得到充分发展.。