山西太原2019届高三二模理科数学试题+Word版含答案【KS5U+高考】

山西太原2019届高三二模理科数学试题+Word版含答案
【KS5U+高考】
太原市2019年高三年级模拟试题（二）
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设U 为全集，集合,,A B C 满足A C ?，U B C C ?，则下列结论中不成立的是（） A ．A B φ=I B ．()U C A B ? C ．()U C B A A =I
D ．()U A C B U =U
2.若复数
2a i
i -+的实部与虚部相等，则实数a 的值为（）A ．13- B ．3- C ．1
3
D ．3
3.下列命题中错误的是（）
A ．若命题0:p x R ?∈，使得200x ≤，则:p x R ??∈，都有2
0x >
B ．若随机变量X ～2
(2,)N σ，则(2)0.5P X >=
C ．设函数2
()2()x
f x x x R =-∈，则函数()f x 有两个不同的零点 D ．“a b >”是“a c b c +>+”的充分必要条件
4.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点分别是,A B ，左右焦点分别是21,F F ，若
1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则椭圆的离心率为（）
A 52 C. 12
D 3 5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）
（参考数据：0
sin150.2588≈，0
sin 7.50.1305≈）
A． 6 B．12 C. 24 D．48
6.已知 1.1
2
a=，0.4
5
b=，
5
ln
2
c=，则（）
A．b c a
>> B．a c b
>> C.b a c
>> D．a b c
>>
7.已知函数
|2|,30
()
log,0
a
x x
f x
x x
+-≤<
=?
>
（0
a>且1
a≠），若函数()
f x的图像上有且仅有一对关于y轴对称，则实数a的取值范围是（）
A．(0,1) B．(1,3) C.(0,1)(1,3)
U D．(0,1)(3,)
+∞
U
8.某校组织高一年级8个班级的8支篮球队进行单循环比赛（每支球队与其他7支球队各比赛一场），计分规则是：胜一局得2分，负一局得0分，平局双方各得1分，下面关于这8支球队的得分叙述正确的是（）
A．可能有两支球队得分都是14分B．各支球队最终得分总和为56分
C. 各支球队中最高得分不少于8分D．得奇数分的球队必有奇数个
9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）
A． 72 B．48 C.24 D．16
10.已知函数()2sin()
f x x
ω?
=+（0,||
2
π
ω?
>≤），其图像与直线2
y=-相邻两个交点的
距离为π，若()0f x >对(,)123
x ππ
∈-恒成立，则?的取值范围是（） A ．[
,]126ππ B ．[,]62ππ C. [,]123ππ D ．[,]63
ππ
11.已知不等式20
220220x y x y x y +-≤??
--≤??-+≥?，表示的平面区域为D ，若存在点00(,)P x y D ∈，使得
0002||
mx y x x =+
，则实数m 的取值范围是（）A ．(2,4] B ．[4,2)- C. (4,2)- D ．[2,4] 12.若对任意的x R ∈，都有222sin()(23)6
3
x x k x x x e π
π
+
-++<="">
A ． 1(,1)e -∞+
B ．1(1,
3)e -+ C.1(2,)e ++∞ D ．1
(1,)2e
++∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.2
5
(2)x x y ++的展开式中含有52
x y 的项的系数是．
14.设P 为双曲线22
122
x y -=上一点，21,F F 分别是双曲线的左右焦点，若12||2||PF PF =，则21cos PF F ∠= ．
15.已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3BC =
，AB =E 在线段BD 上，且
3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是． 16.ABC ?中，0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r ，且0GA GB ?=u u u r u u u r ，若tan tan tan tan tan A B m
A B C
+=
，则实数m 的值是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列{}n na 的前n 项和1
(1)22n n S n +=-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且
*2221
log log ()n n n
a a n N
b +?=
∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n T .
18. 按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品. 某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测.表1是甲套设备的样本频率分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图.
（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
（2）根据表1和图1，对甲、乙两套设备的优劣进行比较；
（3）将频率视为概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X ，求X 的期望()E X . 附：
19. 如图，在四棱锥-E ABCD 中，底面ABCD 是圆内接四边形，1CB CD CE ===，
3AB AD AE ===，EC BD ⊥.
（1）求证：平面BED ⊥平面ABCD ；
（2）若点P 在侧面ABE 内运动，且//DP 平面BEC ，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值.
20. 已知平面曲线C 上任意一点到点(0,1)F 和直线1y =-上一点P 作曲线C 的两条切线，切点分别为,A B .
（1）求证：直线AB 过定点F ；
（2）若直线PF 交曲线C 于D ，E 两点，DF FE λ=u u u r u u u r ，DP PE μ=u u u r u u u r
，求λμ+的值.
21. 已知2
()ln()(0)f x ax b x a =++≠.
（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y x =，求函数()f x 的极值；（2）若2
()f x x x ≤+恒成立，求ab 的最大值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知点P 是曲线22
1:(2)4C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，
建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转0
90得到点Q ，设点Q 的轨迹方程为曲线2C .
（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线(0)3
π
θρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，定点(2,0)M ，求MAB ?的面
积.
23.选修4-5：不等式选讲已知实数,a b 满足2
2
44a b +=. （1）求证：212b +≤；
（2）若对任意,a b R ∈，|1||3|x x ab +--≤恒成立，求实数x 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5: DACAC 6-10: DCBCD 11、12：BD 二、填空题
13. 60 14. 4- 15. 2π 16.12
三、解答题
17.(1)当1n >时，1
122(1)22n n a a na n ++++=-+L ，①
1212(1)(2)22n n a a n a n -+++-=-+L ，②
① - ②得：1(1)2(2)22n n
n n na n n n +=---=g
，所以2n n a =，当1n =时，12a =，所以2n n a =，*
n N ∈.
（2）22211111
()log log (2)22
n n n b a a n n n n +===-++g
则11111111111111(1)()()()()2322423521122n T n n n n = -+-+-++-+--++L 1111(1)2212
n n =+--++ 3111323()421242(1)(2)
n n n n n +=
-+=-++++ 18.（1）根据表1和图1得到列联表：
将列联表中的数据代入公式计算得：
22
2
()100(487243) 3.053()()()()5050919
n ad bc K a b c d a c b d -??-?==≈++++
∵3.053 2.706>，
∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关. （2）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为48
50
，乙套设备生产的合格品的概率约为
43
50
，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散，因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备. （3）由题知，1
(3,)25
X B :，∴13
()32525
E X =?
=
. 19.（1）证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，∵AD AB =，CD CB =，∴AC BD ⊥，又因为底面ABCD 是圆内接四边形，∴0 90ADC ABC ∠=∠=，AC 是直径，
又∵EC BD ⊥，EC AC C =I ，故BD ⊥面AEC ，OE BD ⊥，由3AD =，1CD =，可得：2AC =，所以0
90AEC ∠=，32AO =
，则AE AO AC AE
=，故EO AC ⊥，所以EO ⊥平面ABCD ，平面BED ⊥平面ABCD .
（2）取AE 的中点M ，AB 的中点N ，连接,MN ND ，则//MN BE ，易知DN AB ⊥，BC AB ⊥，∴平面//DMN 平面EBC ，∴点P 在线段MN 上. 建立如图空间直角坐标系，
则3(,0,0)2A ，3B ，3E ，33(4M ，3(0,D ，33(4N ， 33(,22AB =-u u u r ，33
(,0,22
AE =-u u u r
设平面ABE 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30
30
x y x z ?+=??+=??，取3,3)n =r ，
设MP MN λ=u u u r u u u u r ，可得33333
(,,)42444
DP DM MP λλ=+=+-u u u r u u u u r u u u r 设直线DP 与平面ABE 所成角为θ，则2
sin 424θλλ=
++，
∵01λ≤≤，∴当0λ=时，sin θ42
. 20.（1）证明：由已知条件可得曲线C 的方程为：2
4x y =. 设点(,1)P t -，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
∵24x y =，∴'2
x y =，
∴过点,A B 的切线方程分别为111()2x y y x x -=
-，222()2
x
y y x x -=-，由2114y x =，2
224y x =，上述切线方程可化为112()y y x x +=，222()y y x x
+=，
∵点P 在这两条切线上，∴112(1)y tx -=，222(1)y tx -=，即直线AB 的方程为2(1)y tx -=，故直线2(1)y tx -=过定点(0,1)F .
（2）设33(,)D x y ，44(,)E x y ，由DF FE λ=u u u r u u u r ，及DP PE μ=u u u r u u u r
，得：
33443344(,1)(,1)(,1)(,1)x y x y t x y x t y λμ--=-??
---=-+?，得343
4x x t x x t λμ?=--?=?-?
∴3344t x x x t x λμ-+=
--43434344()tx x x x x tx x x t --+=-3434
44()2()
t x x x x x x t +-=- 由题意，直线PF 的斜率存在，故PF 的方程为21x y t -=
-，即21x
y t
=+- 联立24x y =，得2
840x x t +-=，∴348x x t
-+=，344x x =-，
∴448
2(4)0()
t t x x t λμ--?-+=
=-g . 21.（1）'()2a
f x x ax b
=
++，依题意，有'(1)21(1)ln()11
a f a b
f a b ?
=
+=?+??=++=?，解得：1a =-，2b =，则1
'()22
f x x x =
+-，由'()0f x =
，得122x =
，222x +=，
当2(,
2x -∈-∞时，'()0f x <
；当22()22
x +∈时，'()0f x >，
当2(
2)2
x ∈时，'()0f x <，所以()f x
在(-∞
上为减函数，在
上为增函数，在2)上为减函数. 所以()f x 在22x =
处取得极小值，极小值为223(ln(222 f +-=+；
()f x
在22x =
处取得极大值，极大值为223()ln(222
f ++=+.
（2）原不等式等价于ln()ax b x +≤，令()ln()g x ax b =+，
①当0a <时，()g x 的定义域为(,)b a
-∞-，ⅰ）当0b <时，当1b
x a
-<
时，()ln()0g x ax b x =+>>，∴此时不符合题意，ⅱ）当0b ≥时，0ab ≤；
② 当0a >时，()g x 的定义域为(,)b
a
-
+∞，ⅰ）当1b >时，∵(0)ln 0g b =>，∴此时不符合题意，ⅱ）当01b <≤时，设直线y x =与()g x 相切于点00(,)P x y ，
则00
0'()1ln()
a f x ax
b x ax b ?
==?
+??=+?，∴ln b a a a =-，∴2
(1ln ),0ab a a a =->，
令2
()(1ln ),0h a a a a =->，则'
()(12ln )h a a a =-，令'()0h a >
，则0a <<'()0h a <
，则a >
∴max 1
()2h a h e ==
，当0b <时，0ab <，∴此时不符合题意，综上，ab 的最大值为
12
e . 22.（1）曲线1C 的极坐标方程为=4cos ρθ. 设(,)Q ρθ，(,)2P π
ρθ-
，于是4cos()4sin 2
π
ρθθ=-=，所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （2）M 到射线3
πθ=
的距离为2sin
3
d π
==
||4(sin
cos )1)33
B A AB P P π
π
=-=-=，
则1
||32
S AB d =
=23.（1
）证明：22
2|44||244
a a
b a a ++≤=
≤=. （2）由2
2
44a b +=
及2244||a b ab +≥=，可得||1ab ≤，所以1ab ≥-，
当且仅当a =2b =-
或a =2
b =时取等号. 因为对任意,a b R ∈，|1||3|x x ab +--≤恒成立，所以|1||3|1x x +--≤-. 当1x ≤-时，|1||3|4x x +--=-，不等式|1||3|1x x +--≤-恒成立；
当13x -<<时，|1||3|22x x x +--=-，由13221
x x -<<??
-≤-?，得1
12x -<≤；
当3x ≥时，|1||3|4x x +--=，不等式|1||3|1x x +--≤-不成立；综上可得，实数x 的取值范围是1
2
x ≤.。