2018届高考数学(文)大一轮复习检测：第六章 不等式、推理与证明 课时作业41 含答案

1 ， x＋1
2
所以 f(x)≥1－x＋x . (Ⅱ)由 0≤x≤1 得 x ≤x，故 1 1 1 3 3 x－1 2x＋1 3 3 f(x)＝x3＋ ≤x＋ ＝x＋ － ＋ ＝ ＋ ≤ ， x＋1 x＋1 x＋1 2 2 2 x＋1 2 2 3 所以 f(x)≤ . 2 1 2 3 3 1 19 3 3 2 由(Ⅰ)得 f(x)≥1－x＋x ＝(x－ ) ＋ ≥ ，又因为 f( )＝ > ，所以 f(x)> . 2 4 4 2 24 4 4 3 3 综上， <f(x)≤ . 4 2 2．已知二次函数 f(x)＝ax ＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)＝0，且 0<x<c 时，f(x)>0. 1 (1)证明： 是函数 f(x)的一个零点； a 1 (2)试用反证法证明 >c. a
(1)证明：由已知得 SA ＋AD ＝SD ，∴SA⊥AD. 同理 SA⊥AB. 又 AB∩AD＝A， ∴SA⊥平面 ABCD.
2
2
2
(2)假设在棱 SC 上存在异于 S，C 的点 F，使得 BF∥平面 SAD. ∵BC∥AD，BC⊄ 平面 SAD. ∴BC∥平面 SAD.而 BC∩BF＝B， ∴平面 FBC∥平面 SAD. 这与平面 SBC 和平面 SAD 有公共点 S 矛盾，∴假设不成立． ∴不存在这样的点 F，使得 BF∥平面 SAD.
2 2 解析：a＝ 3＋2 2，b＝2＋ 7两式的两边分别平方，可得 a ＝11＋4 6，b ＝11＋4 7，显 2 2 2 2
)
B．①②③ D．③④⑤
然， 6< 7.∴a<b. 答案：a<b 8．用反证法证明命题“若实数 a，b，c，d 满足 a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则 a，b，c，d
2 3
证明：(1)∵f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0 有两个不等实根 x1，x2， ∵f(c)＝0，∴x1＝c 是 f(x)＝0 的根，
c 1 1 又∵x1x2＝ ，∴x2＝ ( ≠c)． a a a
1 1 ∴ 是 f(x)＝0 的一个根．即 是函数 f(x)的一个零点． a a 1 1 1 1 1 1 (2)假设 <c，又 >0，由 0<x<c 时，f(x)>0.知 f a >0 与 f a ＝0 矛盾，∴ ≥c.又∵ ≠c， a a a a 1 ∴ >c. a
2 2
f(c)>0，则实数 p 的取值范围是________．
解析：令
f －1 ＝－2p2＋p＋1≤0， f 1 ＝－2p2－3p＋9≤0，
3 解得 p≤－3 或 p≥ ， 2 3 －3， 2 . 故满足条件的 p 的范围为 3 －3， 2 答案： 三、解答题 10．若 a>b>c>d>0 且 a＋d＝b＋c，求证： d＋ a< b＋ c. 证明：要证 d＋ a< b＋ c，只需证( d＋ a)2<( b＋ c)2，即 a＋d＋2 ad<b＋c＋2 bc， 因 a＋d＝b＋c，只需证 ad< bc，即 ad<bc，设 a＋d＝b＋c＝t，则 ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c ＝(c－d)(c＋d－t)<0，故 ad<bc 成立，从而 d＋ a< b＋ c成立． 11．已知四棱锥 S－ABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，又 SB＝SD＝ 2，SA＝1. (1)求证：SA⊥平面 ABCD； (2)在棱 SC 上是否存在异于 S，C 的点 F，使得 BF∥平面 SAD？若存在，确定 F 点的位置； 若不存在，请说明理由． 解：
中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________. 解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d 中没有一 个是非负数，即 a，b，c，d 全是负数”． 答案：a，b，c，d 全是负数 9．若二次函数 f(x)＝4x －2(p－2)x－2p －p＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点 c，使
解 析 ： 假 设 P<Q ， 要 证 P<Q ， 只 要 证 P2<Q2 ， 只 要 证 2a ＋ 7 ＋ 2 a 2
a＋7
<2a ＋ 7 ＋
a＋3
2
a＋4 ，
2
只要证 a ＋7a<a ＋7a＋12，只要证 0<12， ∵0<12 成立，∴P<Q 成立． 答案：C 6．设 a，b 是两个实数，给出下列条件： ①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a ＋b >2；⑤ab>1. 其中能推出：“a，b 中至少有一个大于 1”的条件是( A．②③ C．③ 1 2 解析：若 a＝ ，b＝ ，则 a＋b>1. 2 3 但 a<1，b<1，故①推不出； 若 a＝b＝1，则 a＋b＝2，故②推不出； 若 a＝－2，b＝－3，则 a ＋b >2，故④推不出； 若 a＝－2，b＝－3，则 ab>1，故⑤推不出； 对于③，即 a＋b>2. 则 a，b 中至少有一个大于 1， 反证法：假设 a≤1 且 b≤1， 则 a＋b≤2 与 a＋b>2 矛盾， 因此假设不成立，a，b 中至少有一个大于 1. 答案：C 二、填空题 7．设 a＝ 3＋2 2，b＝2＋ 7，则 a，b 的大小关系为________．
2 2 2 3 3
)
) B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：由题意知 b －ac< 3a⇐ b2－ac<3a2⇐ (a＋c)2－ac<3a2 ⇐ a ＋2ac＋c －ac－3a <0
2 2 2
⇐ －2a2＋ac＋c2<0⇐ 2a2－ac－c2>0 ⇐ (a－c)(2a＋c)>0⇐ (a－c)(a－b)>0. 答案：C 5．若 P＝ a＋ a＋7，Q＝ a＋3＋ a＋4(a≥0)，则 P，Q 的大小关系为( A．P>Q C．P<Q B．P＝Q D．由 a 取值决定 )
)
解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论． 答案：B 2．若 a、b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( A．lg(1＋a )>0 C．a ＋3ab>2b
2 2 2 2
)
2
B．a ＋b ≥2(a－b－1)
a a＋1 D. < b b＋1
2 2(a－b－1)＝(a －2a＋1)＋(b ＋2b＋1)＝(a－1) ＋(b＋1) ≥0. ∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立． 答案：B 3．①已知 p ＋q ＝2，求证 p＋q≤2，用反证法证明时，可假设 p＋q≥2；②已知 a，b∈R， |a|＋|b|<1，求证方程 x ＋ax＋b＝0 的两根的绝对值都小于 1，用反证法证明时可假设方程有一 根 x1 的绝对值大于或等于 1，即假设|x1|≥1.以下正确的是( A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确 解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是 p＋q>2，所以①不正确；对于 ②，其假设正确． 答案：D 4． 分析法又称执果索因法， 若用分析法证明： “设 a>b>c， 且 a＋b＋c＝0， 求证 b －ac< 3a” 索的因应是( A．a－b>0 C．(a－b)(a－c)>0
1 3 1．(2016·浙江卷)设函数 f(x)＝x ＋ ，x∈[0,1]，证明： 1＋x (Ⅰ)f(x)≥1－x＋x2； 3 3 (Ⅱ) <f(x)≤ . 4 2 证明：(Ⅰ)因为 1－x＋x2－x3 1－ －x ＝ 1－ －x
4
＝
1－x4 ， 1＋x 1－x4 1 ≤ ， 1＋x x＋1
由于 x∈[0,1]，有 即 1－x＋x2－x3≤
课时作业 41
直接证明与间接证明
一、选择题 1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－
sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了( A．分析法 C．综合法、分析法综合使用 B．综合法 D．间接证明法