平行线等分线段定理 课件

反思感悟证明线段相等的基本方法 1.证明在同一条直线上的两条线段相等的关键是找出平行线等 分线段定理的基本条件,找准被一组平行线截得的线段. 2.证明不在同一条直线上的两条线段相等,可以根据等腰三角形 的两腰相等或者根据全等三角形的对应边相等来证明. 3.在几何证明中添加辅助线的常见方法:(1)在三角形中,利用角平 分线可构造全等三角形或相似三角形;(2)在三角形或梯形中,若已 知一边或一腰的中点,则过中点可作平行于底边的辅助线.
2.推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 名师点拨对推论1的理解 (1)符号表示:在△ABC中,D为AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于 点E,则点E平分AC. (2)图形表示:
(3)三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等 于第三边的一半.
3.推论2 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰. 名师点拨对推论2的理解 (1)符号表示:在梯形ABCD中,AD∥BC,E为AB的中点,过点E作 EF∥BC,交CD于点F,则点F平分CD. (2)图形表示:
(3)平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线 成相等的线段,那么这组直线平行.可以证明这一命题是错误的.(如 图)
【做一做1】 如图,已知a∥b∥c,直线AB分别与a,b,c交于点A,E,B,直 线CD分别与a,b,c交于点C,E,D.若AE=EB,则( )
A.AE=CE B.BE=DE C.CE=DE D.CE>DE 解析:由平行线等分线段定理可直接得到答案. 答案:C
(3)梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底 和的一半.
【做一做2】 如图,已知AD∥EF∥BC,E是AB的中点,则
DG=
,H是
的中点,F是
的中点.
解析:由平行线等分线段定理、推论1和2及AE=EB可得答案,故 填答BG案或:B12GB或D,A12CBD,CD.AC CD
作已知线段的等分点 【例1】 已知线段AB,求作线段AB的六等分点,并予以证明.
平行线等分线段定理
1.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线 上截得的线段也等. 名师点拨对平行线等分线段定理的理解 (1)符号表示:已知a∥b∥c,直线m,n分别与a,b,c交于点A,B,C和 A',B',C',如果AB=BC,那么A'B'=B'C'. (2)图形表示:在定理中,直线m,n可以平行,也可以相交,且它们的 交点可以在平行直线之外,也可以在平行直线之内,还可以在其中 的某条直线上,因此图形可有以下几种情况.
A1,A2,…,An-2,An-1,则点A1,A2,…,An-2,An-1将线段AB分成ABC中,D是AB的中点,E是BC的三等分点 (BE>CE),AE与CD交于点F.求证:DF=FC.
分析:过点D作DG∥AE交BC于G,利用平行线等分线段定理证明. 证明:过点D作DG∥AE交BC于点G.在△ABE中,因为AD=BD, DG∥AE,所以BG=GE. 又因为E是BC的三等分点,所以BG=GE=EC. 在△CDG中,因为GE=CE,DG∥EF, 所以DF=FC.
分析:根据平行线等分线段定理,只要作射线AM,在AM上以任意
取定的长度顺次截取6条相等线段,分别设为AA1,A1A2,A2A3,A3A4, A4A5,A5A6,连接端点A6与点B,过其他端点作BA6的平行线,分别交AB 于C,D,E,F,G,则线段AB就被这些平行线分成六等份了.
解:(1)任作射线AM(与AB不在同一直线上);
求线段的长度 【例3】如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点 O,OE∥AB交BC于点E,AD=6.求BE的长.
分析:因为OE∥AB,OA=OC,根据平行线等分线段定理的推论1,得 出E是BC的中点,
所以 BE=EC=12BC=12AD. 解:因为四边形ABCD是平行四边形, 所以OA=OC,BC=AD. 又因为 OE∥AB,所以 BE=CE=12BC. 又因为 AD=6,故 BE=12BC=12AD=3.
(2)在射线AM上顺次截取AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6; (3)连接A6B,分别过点A1,A2,A3,A4,A5作A6B的平行线 A1C,A2D,A3E,A4F,A5G,分别交AB于点C,D,E,F,G,则C,D,E,F,G就是 所求作的线段AB的六等分点,如图.
证明如下:因为A1C∥A2D∥A3E∥A4F∥A5G∥A6B, 又AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6, 所以由平行线等分线段定理可得AC=CD=DE=EF=FG=GB,即
C,D,E,F,G就是线段AB的六等分点.
反思感悟将已知线段AB分成n等份的步骤
1.作射线AC(与AB不共线);
2.在射线AC上以任意取定的长度顺次截取
AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn; 3.连接DnB; 4.分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点
反思感悟求线段的长度时,一般是根据平行线等分线段定理及其 推论,找到相等的线段,或线段之间的倍数关系,结合已知线段的长 度求出未知线段的长度.