【大单元教学】北师大版数学八上 4.2 一次函数与正比例函数 课件
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.2 一次函数与正比例函数
教材分析
《一次函数》是初中数学八年级上册的重要内容。从知识内容来说,本课 是对函数的进一步认识与提升，进一步发展学生的抽象逻辑思维，渗透建模 思想。函数本身是反映现实世界变化规律的重要模型，教材在编排上充分体 现了从实际生活情境中抽象数学问题，建立模型并形成概念的过程，并将正 比例函数纳入一次函数的研究中，力图通过实例从代数表达式的角度认识一 次函数。从教材体系来说，之前学生已经掌握了变量之间的关系，初步体会 了函数概念的基础之上的教学。通过本节课的学习可以培养学生函数思想和 建模意识，为之后探究一次函数图像、二次函数等奠定了扎实的基础。本课 的知识起到了承前启后的作用，也符合学生的认知规律。
是 m≠－2,n为任意实数 ,若是正比例函数，则m,n应该满足
是 m≠－2，n=1 。
3.当k= 3
时,函数y=(k+3)x
2
k
－－8 5是关于x的一次函数
.
例题精析
例1： 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断： y是否为x
的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)
（1）都是含有两个变量x，y的等式.其中左边是因变
量 y，右边是自变量x； （2）自变量x的系数都不为0； （3）自变量和因变量的次数都是一次的.
归纳结论
一次函数
若两个变量 x、y之间的关系可以表Baidu Nhomakorabea成y=kx+b(b为常
数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变
量，y为因变量.）
当b=0时，y=kx(k不等于0）称y是x的正比例函数.
之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x , y是x的 一次函数,也是x的正比例函数。
例题精析
(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.
解：由圆的面积公式，得y= πx2, y不是x的一次 函 数，也不是x的正比例函数。
(3) 某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为 5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。
若它是关于x的一次函数，则m为 不等于2
课 堂 练 习 【知识技能类作业】必做题
6.某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费为y元。 y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？
答：y=2.2x ，y是x的一次函数，也是正比例函数。
7.如图，甲乙两地相距100km，现在有一列火车从乙地出发，以80km/h的速
解：这个水池每时增加5立方米的水，xh增加5x立 方米的水， 因而y=15+5x, y是x的一次函数，但不是x 的正比例函数。
例题精析
例2: 我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法 规定：月收入低于3500元的部分不收税：月收入超过3500元但低 于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元，他应 缴个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×3%=10.8（元）。 （1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个 人工资、薪金所得税y（元）与月收入x（元） 之间的关系式
x
2.写出下列一次函数关系式中的k和b.
（1）y=2x-1，k= 2 ，b= -1 ；
（2）y=-5x，k= -5 ，b= 0 ；
（3）y 2 x ， 3
k= ( 1 ) ，b= 2
3
.
作 业 布 置 【知识技能类作业 必做题】
3.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否 为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h） 之间的关系； 【y=60x;是一次函数，也是正比例函数】 （2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系； 【y=πx2，不是一次函数，也不是正比例函数】 （3）某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，x h后这个水池内有水. 【y=15+5x，是一次函数，不是正比例函数】
正比例函数是一种特殊的一次函数 一次函数 正比例函数
即学即练 1.在函数(1)y = 3 ，（2）y=x-5, (3) y=-4x，
x
(4) y=2x 2 -3x, (5) y=
x2
,
(6)
y=
-
1 x2
中
是一次函数的是 （2）、(3) ；是正比例函数的是 (3)
2.若函数 y=(6+3m)x+4n-4是一次函数，则m,n应该满足的条件
板书设计 一次函数与正比例函数
正比例函数
形如y=kx (k≠0）的函数
一次函数
形如y=kx+b(k,b是常数， k≠0）的函数
一次函数 正比例函数
（1）写出点燃后的长度y（单位：cm）与点燃时间t（单位：h）
之间的函数关系式； （2）5小时后，蚊香还有多长？ （3）该盘蚊香可使用多长时间？
解：（1）y=105－10t
（3）105－10t=0
（2）y=105－10t=105－50=55（cm） 答：5小时后，蚊香还有55cm。
t=10.5
答：可用10.5小时
作 业 布 置 【知识技能类作业 选做题】
5．m为何值时，函数y=（m+3）x2m+1﹣5 （x≠0） 是一次函数？ 【m=0】
6．已知函数y=（m+1）x+（m2﹣1）当m取什么 值时，y是x的一次函数？当m取什么值时，y是x的正 比例函数．【m≠-1;m=1】
作 业 布 置 【综合实践类作业】
7.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000t ，计 划内用水每吨按0.5 元收费，超过计划部分每吨按 0.8元收费． （1）写出该单位水费 y（元）与每月用水量 x（t）之间的函数关系式： ①用水量小于3000时： 【y=0.5x 】；②用水量大于时:【y=0.8x-900 】。 （2）若某月该单位用水3200t ，应缴纳水费 【1660 】元；若某月该单位 用水2800t ，应缴纳水费 【1400】元； （3）若某月该单位缴纳水费1540 元，该单位用水多少吨?【3050】
课堂总结 通过本课时的学习，我们知道了：
1.一次函数、正比例函数的概念及关系. 2.能根据已知的简单信息，写出一次函数或 正比例函数的表达式.
作 业 布 置 【知识技能类作业 必做题】
1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ c ） A.y=2x 2 B.y=-3x C.y=2(x+3) D.y= 1 +2
2.一次函数y=－3x+2中，k=___-3___,b=__2____.
3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ C ）
A.y=－ x
B.y=－ 2
C. y=－ x 1
D.y= x2 1
2
x
2
4.上题中是一次函数但不是正比例函数中的K=
1,
2
x
b=
1 2
5.若y=(m-2)x+ m2 - 4是关于x的正比例函数，则m为 -2 ；
解：当月收入大于3500元而小于5000元时，
y= (x-3500)× 3%，即y= 0.03 x-105
例题精析
(2)某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所 得税多少元？
解：当x=4160时，
y=0.03×4160-105=19.8（元）
(3)如果某人本月应缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那
度向丙地行驶；设x(h)表示火车行驶的时间，y(km)表示火车与甲地的距离， s(km)表示火车距乙地的距离.
课 堂 练 习 【知识技能类作业】必做题
（1）写出s与x之间的关系式，并判断s是否是x的一次函数？是否为正比例函数？ （2）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？ （3）当x=0.5时，求y的值.
复习导入
1.某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质 量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg， 4 kg， 5 kg时的长度，并填入下表：
x/kg
0 1 2 345
y/cm
3
3.5 4 4.5 5
5. 5
(2)你能写出x与y之间的关系吗 y = 3+ 0.5x
(1) y 2x2 x 1
(3) y 1 x
(5)s 2t
(7) y x2 (x2 x 1)
(2) y 2 r
(4) y 1 3 x 4
(6) y x 1 5
(8) y kx
一次函数有：（2）、（4）、（5）、（6）、（7）。
正比例函数有：（2）、（5）、（7）。
课 堂 练 习 【知识技能类作业】必做题
么此人本月工资、薪金收入是多少元？
解：因为（5000-3500）× 3%=45（元）19.2元﹤45元，所 以此人本月工资、薪金收入低于5000元。设此人本月工资、 薪金是x元，则
19.2=0.03x-105 x=4140 即此人本月工资、薪金收入是4140元。
课 堂 练 习 【知识技能类作业】必做题 1.下列函数：一次函数有哪些？正比例函数有哪些？
作 业 布 置 【知识技能类作业 必做题】 4.把一长10cm，宽5cm的矩形的长减少x cm，宽不变，矩 形面积y（cm2）随x值的变化而变化.
（1）写出y与x之间的函数关系式；【y=（10-x）×5=-5x+50】 （2）求当x=3时，矩形的面积；【y=3时，y=50－15=35（cm2）】 （3）x为何值时，y=20？【y=-5x+50=20，∴x=6】
教学目标
（1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。 （2）确定一次函数与正比例函数的解析式。 （3）让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的 能力，培养学生发现问题、提出问题的能力。 （4）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的 联系，发展学生的数学思维。
复习导入
2.某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50千米 耗油6L. （1）完成下表：
汽车行驶路程x/千米 0 50 100 150 200 300
耗油量y/升
0 6 12 18 24 36
（2）你能写出耗油量y与x之间的关系式吗？试看看写出x的 取值范围。
y x •6 50
即y 0.12x (0 x 500)
9.已知 a 1 (b 2)2 0，则函数 是 y (b 3)2 xa 1 2b b2 一次 函数。
10．新定义：[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c （a，b，c为实
数）的“关联数”．若“关联数”为[m-2，m，1]的函数为
一次函数，则m的值为 2
．
课堂练习
【综合实践类作业】
11.某种优质蚊香一盘长105cm（如图），小海点燃后观察发现每 小时缩短10cm.
复习导入
（3）写出剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)的关系式 . M=60-0.12X (0≤X≤500)
（4）当x=250时，剩余油量是多少升？ . 当x=250 M=60-0.12X =60-0.12×250 =30 ∴当x=250km，剩余油量是30升
小组讨论 (1)y=0.5x+3 (2)y=0.12x (3)y=60-0.12x 它们的结构特征有什么特点？
解：（1) S=80x , S是x的一次函数, S也是x的正比例函数。
（2) y=100+80x , y是x的一次函数, y不是x的正比例函数。
（3) 当 X=0.5时, y=100+80x =140.
课 堂 练 习 【知识技能类作业 选做题：】
8.已知 y (m 3)x3 m m 2 ，当m= ±2 是一次函数； 当m= -2 是正比例函数
教材分析
《一次函数》是初中数学八年级上册的重要内容。从知识内容来说,本课 是对函数的进一步认识与提升，进一步发展学生的抽象逻辑思维，渗透建模 思想。函数本身是反映现实世界变化规律的重要模型，教材在编排上充分体 现了从实际生活情境中抽象数学问题，建立模型并形成概念的过程，并将正 比例函数纳入一次函数的研究中，力图通过实例从代数表达式的角度认识一 次函数。从教材体系来说，之前学生已经掌握了变量之间的关系，初步体会 了函数概念的基础之上的教学。通过本节课的学习可以培养学生函数思想和 建模意识，为之后探究一次函数图像、二次函数等奠定了扎实的基础。本课 的知识起到了承前启后的作用，也符合学生的认知规律。
是 m≠－2,n为任意实数 ,若是正比例函数，则m,n应该满足
是 m≠－2，n=1 。
3.当k= 3
时,函数y=(k+3)x
2
k
－－8 5是关于x的一次函数
.
例题精析
例1： 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断： y是否为x
的一次函数？是否为正比例函数？
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)
（1）都是含有两个变量x，y的等式.其中左边是因变
量 y，右边是自变量x； （2）自变量x的系数都不为0； （3）自变量和因变量的次数都是一次的.
归纳结论
一次函数
若两个变量 x、y之间的关系可以表Baidu Nhomakorabea成y=kx+b(b为常
数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变
量，y为因变量.）
当b=0时，y=kx(k不等于0）称y是x的正比例函数.
之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x , y是x的 一次函数,也是x的正比例函数。
例题精析
(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.
解：由圆的面积公式，得y= πx2, y不是x的一次 函 数，也不是x的正比例函数。
(3) 某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为 5cm3/h，xh后这个水池内有水ycm3。
若它是关于x的一次函数，则m为 不等于2
课 堂 练 习 【知识技能类作业】必做题
6.某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花费为y元。 y是x的一次函数吗？是正比例函数吗？
答：y=2.2x ，y是x的一次函数，也是正比例函数。
7.如图，甲乙两地相距100km，现在有一列火车从乙地出发，以80km/h的速
解：这个水池每时增加5立方米的水，xh增加5x立 方米的水， 因而y=15+5x, y是x的一次函数，但不是x 的正比例函数。
例题精析
例2: 我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法 规定：月收入低于3500元的部分不收税：月收入超过3500元但低 于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元，他应 缴个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×3%=10.8（元）。 （1）当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个 人工资、薪金所得税y（元）与月收入x（元） 之间的关系式
x
2.写出下列一次函数关系式中的k和b.
（1）y=2x-1，k= 2 ，b= -1 ；
（2）y=-5x，k= -5 ，b= 0 ；
（3）y 2 x ， 3
k= ( 1 ) ，b= 2
3
.
作 业 布 置 【知识技能类作业 必做题】
3.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否 为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y（km）与行驶时间x（h） 之间的关系； 【y=60x;是一次函数，也是正比例函数】 （2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系； 【y=πx2，不是一次函数，也不是正比例函数】 （3）某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，x h后这个水池内有水. 【y=15+5x，是一次函数，不是正比例函数】
正比例函数是一种特殊的一次函数 一次函数 正比例函数
即学即练 1.在函数(1)y = 3 ，（2）y=x-5, (3) y=-4x，
x
(4) y=2x 2 -3x, (5) y=
x2
,
(6)
y=
-
1 x2
中
是一次函数的是 （2）、(3) ；是正比例函数的是 (3)
2.若函数 y=(6+3m)x+4n-4是一次函数，则m,n应该满足的条件
板书设计 一次函数与正比例函数
正比例函数
形如y=kx (k≠0）的函数
一次函数
形如y=kx+b(k,b是常数， k≠0）的函数
一次函数 正比例函数
（1）写出点燃后的长度y（单位：cm）与点燃时间t（单位：h）
之间的函数关系式； （2）5小时后，蚊香还有多长？ （3）该盘蚊香可使用多长时间？
解：（1）y=105－10t
（3）105－10t=0
（2）y=105－10t=105－50=55（cm） 答：5小时后，蚊香还有55cm。
t=10.5
答：可用10.5小时
作 业 布 置 【知识技能类作业 选做题】
5．m为何值时，函数y=（m+3）x2m+1﹣5 （x≠0） 是一次函数？ 【m=0】
6．已知函数y=（m+1）x+（m2﹣1）当m取什么 值时，y是x的一次函数？当m取什么值时，y是x的正 比例函数．【m≠-1;m=1】
作 业 布 置 【综合实践类作业】
7.某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000t ，计 划内用水每吨按0.5 元收费，超过计划部分每吨按 0.8元收费． （1）写出该单位水费 y（元）与每月用水量 x（t）之间的函数关系式： ①用水量小于3000时： 【y=0.5x 】；②用水量大于时:【y=0.8x-900 】。 （2）若某月该单位用水3200t ，应缴纳水费 【1660 】元；若某月该单位 用水2800t ，应缴纳水费 【1400】元； （3）若某月该单位缴纳水费1540 元，该单位用水多少吨?【3050】
课堂总结 通过本课时的学习，我们知道了：
1.一次函数、正比例函数的概念及关系. 2.能根据已知的简单信息，写出一次函数或 正比例函数的表达式.
作 业 布 置 【知识技能类作业 必做题】
1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ c ） A.y=2x 2 B.y=-3x C.y=2(x+3) D.y= 1 +2
2.一次函数y=－3x+2中，k=___-3___,b=__2____.
3.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（ C ）
A.y=－ x
B.y=－ 2
C. y=－ x 1
D.y= x2 1
2
x
2
4.上题中是一次函数但不是正比例函数中的K=
1,
2
x
b=
1 2
5.若y=(m-2)x+ m2 - 4是关于x的正比例函数，则m为 -2 ；
解：当月收入大于3500元而小于5000元时，
y= (x-3500)× 3%，即y= 0.03 x-105
例题精析
(2)某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所 得税多少元？
解：当x=4160时，
y=0.03×4160-105=19.8（元）
(3)如果某人本月应缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那
度向丙地行驶；设x(h)表示火车行驶的时间，y(km)表示火车与甲地的距离， s(km)表示火车距乙地的距离.
课 堂 练 习 【知识技能类作业】必做题
（1）写出s与x之间的关系式，并判断s是否是x的一次函数？是否为正比例函数？ （2）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？ （3）当x=0.5时，求y的值.
复习导入
1.某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质 量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg， 4 kg， 5 kg时的长度，并填入下表：
x/kg
0 1 2 345
y/cm
3
3.5 4 4.5 5
5. 5
(2)你能写出x与y之间的关系吗 y = 3+ 0.5x
(1) y 2x2 x 1
(3) y 1 x
(5)s 2t
(7) y x2 (x2 x 1)
(2) y 2 r
(4) y 1 3 x 4
(6) y x 1 5
(8) y kx
一次函数有：（2）、（4）、（5）、（6）、（7）。
正比例函数有：（2）、（5）、（7）。
课 堂 练 习 【知识技能类作业】必做题
么此人本月工资、薪金收入是多少元？
解：因为（5000-3500）× 3%=45（元）19.2元﹤45元，所 以此人本月工资、薪金收入低于5000元。设此人本月工资、 薪金是x元，则
19.2=0.03x-105 x=4140 即此人本月工资、薪金收入是4140元。
课 堂 练 习 【知识技能类作业】必做题 1.下列函数：一次函数有哪些？正比例函数有哪些？
作 业 布 置 【知识技能类作业 必做题】 4.把一长10cm，宽5cm的矩形的长减少x cm，宽不变，矩 形面积y（cm2）随x值的变化而变化.
（1）写出y与x之间的函数关系式；【y=（10-x）×5=-5x+50】 （2）求当x=3时，矩形的面积；【y=3时，y=50－15=35（cm2）】 （3）x为何值时，y=20？【y=-5x+50=20，∴x=6】
教学目标
（1）理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。 （2）确定一次函数与正比例函数的解析式。 （3）让学生经历观察、比较、交流等体验，进一步有条理表达的 能力，培养学生发现问题、提出问题的能力。 （4）通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的 联系，发展学生的数学思维。
复习导入
2.某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50千米 耗油6L. （1）完成下表：
汽车行驶路程x/千米 0 50 100 150 200 300
耗油量y/升
0 6 12 18 24 36
（2）你能写出耗油量y与x之间的关系式吗？试看看写出x的 取值范围。
y x •6 50
即y 0.12x (0 x 500)
9.已知 a 1 (b 2)2 0，则函数 是 y (b 3)2 xa 1 2b b2 一次 函数。
10．新定义：[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c （a，b，c为实
数）的“关联数”．若“关联数”为[m-2，m，1]的函数为
一次函数，则m的值为 2
．
课堂练习
【综合实践类作业】
11.某种优质蚊香一盘长105cm（如图），小海点燃后观察发现每 小时缩短10cm.
复习导入
（3）写出剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)的关系式 . M=60-0.12X (0≤X≤500)
（4）当x=250时，剩余油量是多少升？ . 当x=250 M=60-0.12X =60-0.12×250 =30 ∴当x=250km，剩余油量是30升
小组讨论 (1)y=0.5x+3 (2)y=0.12x (3)y=60-0.12x 它们的结构特征有什么特点？
解：（1) S=80x , S是x的一次函数, S也是x的正比例函数。
（2) y=100+80x , y是x的一次函数, y不是x的正比例函数。
（3) 当 X=0.5时, y=100+80x =140.
课 堂 练 习 【知识技能类作业 选做题：】
8.已知 y (m 3)x3 m m 2 ，当m= ±2 是一次函数； 当m= -2 是正比例函数