2018课标版文数一轮（3）第三章-导数及其应用（含答案）3-第三节导数与函数的极值、最值

2018课标版文数一轮（3）第三章-导数及其应用（含答案）3-第三节导数与函数的极值、最值
第三节导数与函数的极值、最值
A组基础题组
1.设函数f(x)在定义域R上可导,其导函数为f'(x),若函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
2.设函数f(x)=2
x
+lnx,则()
A.x=1
2为f(x)的极大值点 B.x=1
2
为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
3.函数f(x)=1
2
x2-lnx的最小值为()
A.1
2
B.1
C.0
D.不存在
4.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为()
A.37
B.73
C.-10
D.-37
5.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为()
A.-4
27,0 B.0,-4
27
C.4
27
,0 D.0,4
27
6.(2016湖北黄冈模拟)若函数f(x)=2x2-lnx在区间(k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,则实数k的取值范围为()
A.[1,+∞)
B.1,3
2
C.[1,2)
D.3
2
,2
7.函数f(x)=xsinx+cosx在π
6
,π 上的最大值为.
8.已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax a>1
2
,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为.
9.已知函数f(x)=1+ln x
kx
(k≠0).求函数f(x)的极值.
10.(2016吉林长春模拟)已知函数f(x)=ax-2
x
-3lnx,其中a为常数.
(1)当函数f(x)的图象在点2
3, f2
3
处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在3
2
,3上的最小值;
(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围.
B组提升题组
11.已知函数f(x)=-x3+x2,x<1, a ln x,x≥1.
(1)求f(x)在区间(-∞,1)上的极大值点和极小值;
(2)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值.
12.(2016云南昆明模拟)已知常数a≠0,f(x)=alnx+2x.
(1)当a=-4时,求f(x)的极值;
(2)当f(x)的最小值不小于-a时,求实数a的取值范围.
13.已知函数f(x)=ax 2+bx+c
e x
(a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.
答案全解全析
A组基础题组
1.D由题图可知,当x<-2时,f'(x)>0;
当x=-2时,f'(x)=0;
当-2<x<1时,f'(x)<0;< p="">
当1<x<2时,f'(x)<0;< p="">
当x=2时,f'(x)=0;
当x>2时,f'(x)>0.
由此可得函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.
2.D因为f(x)=2
x +lnx,所以f'(x)=-2
x
+1
x
=x-2
x
,当x>2时,f'(x)>0,此时f(x)为增函数;当0<x<2< p="">
时,f'(x)<0,此时f(x)为减函数,据此知x=2为f(x)的极小值点.
3.A f'(x)=x-1
x =x
2-1
x
,且x>0.
令f'(x)>0,得x>1;令f'(x)<0,得0<x<1.< p="">
∴f(x)在x=1处取得极小值,即最小值,且f(1)=1
2-ln1=1
2
.
4.D由题意知,f'(x)=6x2-12x,令f'(x)=0,得x=0或x=2,当x<0或x>2时,f'(x)>0,当0<x<2< p="">
时,f'(x)<0,
∴f(x)在[-2,0]上单调递增,在(0,2]上单调递减,由条件知f(0)=m=3,∴f(2)=-5,f(-2)=-37,∴所求最小值为-37.
5.C由题意知,f'(x)=3x2-2px-q,由f'(1)=0,f(1)=0得3-2p-q=0, 1-p-q=0,
解得p=2,q=-1,∴f(x)=x3-2x2+x,由
f'(x)=3x2-4x+1=0,得x=1
3或x=1,易得当x=1
3
时,f(x)取得极大值4
27
,当x=1时,f(x)取得极小值0.
6.B由f'(x)=4x-1
x =(2x-1)(2x+1)
x
=0,
得x=1
2x=-1
2
舍去.当x∈0,1
2
时,f'(x)<0;当x∈1
2
,+∞时,f'(x)>0,即函数f(x)在区间0,1
2
上单
调递减,在区间1
2,+∞上单调递增,所以x=1
2
为函数f(x)的极值点.函数在区间(k-1,k+1)上有定义且不
是单调函数,即在区间(k-1,k+1)内有极值点,所以0≤k-1<1
2<k+1,解得1≤k<3< p="">
2
7.答案π
2
解析因为f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx, 所以f'(x)=0在x∈π
6,π 上的解为x=π
2
.
又fπ
6=π
12
+3
2
,fπ
2
=π
2
,f(π)=-1,所以函数f(x)=xsinx+cosx在π6
,π 上的最大值为π
2
.
8.答案 1
解析因为f(x)是奇函数,
所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1,
当x∈(0,2)时,f'(x)=1
x
-a,
令f'(x)=0,得x=1
a ,因为a>1
,所以0<1
a
<2.
令f'(x)>0,得x<1
a ,所以f(x)在0,1
a
上单调递增;
令f'(x)<0,得x>1
a ,所以f(x)在1
a
,2上单调递减,所以当x∈(0,2)时,f(x)max=f1 a
=ln1
a
-a·1
a
=-1,所以
ln1
a
=0,所以a=1.
9.解析f(x)=1+ln x
kx
的定义域为(0,+∞),
f'(x)=-ln x
k x
.
令f'(x)=0,得x=1,
当k>0时,若0<x0;</x
若x>1,则f'(x)<0,
∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴当x=1时,函数f(x)取得极大值1
k
.
当k<0时,若0<x<1,则f'(x)<0;< p="">
若x>1,则f'(x)>0,
∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴当x=1时,函数f(x)取得极小值1
k
.
10.解析(1)f'(x)=a+2
x2-3
x ,
由题意可知f'2
3=1,即a+2
22
-32=1,解得a=1.
由f(x)=x-2
x -3lnx,x∈3
2
,3
得f'(x)=(x-1)(x-2)
x2
.
令f'(x)=0,得x=2.
f(x)与f'(x)随x的变化情况如下表:
∴f(x)min=f(2)=1-3ln2.
(2)f'(x)=a+2
x2-3
x
=ax
2-3x+2
x2
(x>0),
由题意可知方程ax2-3x+2=0有两个不等的正实根,不妨设这两个根为x1,x2,并令h(x)=ax2-3x+2,
则Δ=9-8a>0,
x1+x2=3
a
>0,解得0<a<9< p="">
8
,
x1x2=2
a
>0,
故a的取值范围为0,9
8
.
B组提升题组11.解析(1)当x<1时,f'(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),
令f'(x)=0,解得x=0或x=2
3
.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
故当x=0时,函数f(x)取得极小值,为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=2
3
.
(2)①当-1≤x<1时,由(1)知,函数f(x)在[-1,0]和2
3,1上单调递减,在0,2
3
上单调递增.
因为f(-1)=2,f2
3=4
27
,f(0)=0,
所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2.
②当1≤x≤e时,f(x)=alnx,当a≤0时,f(x)≤0;
当a>0时,f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a. 综上所述,当a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为a;
当a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为2.
12.解析(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a
x +2=a+2x
x
.
当a=-4时,f'(x)=2x-4
x
.
可知当0<x<2时,f'(x)<0,则f(x)单调递减;< p="">
当x>2时,f'(x)>0,则f(x)单调递增.
∴f(x)只有极小值,且在x=2时,f(x)取得极小值f(2)=4-4ln2.
∴当a=-4时,f(x)只有极小值4-4ln2.
(2)∵f'(x)=a+2x
x
,
∴当a>0,x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,没有最小值,当a<0时,由f'(x)>0,
得x>-a
2,∴f(x)在-a
2
,+∞上单调递增;
由f'(x)<0,得x<-a
2,∴f(x)在0,-a
2
上单调递减.
∴当a<0时,f(x)的最小值为f-a
2=aln-a
2
+2-a
2
.
根据题意得f-a
2=aln-a
2
+2-a
2
≥-a,
即a[ln(-a)-ln2]≥0.
∵a<0,∴ln(-a)-ln2≤0,解得a≥-2, ∴实数a的取值范围是[-2,0).
13.解析(1)f'(x)=
(2ax+b)e x-(a x2+bx+c)e x
=-a x 2+(2a-b)x+b-c
e x
.
令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,
因为e x>0,所以y=f'(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f'(x)与g(x)符号相同. 又因为a>0,所以-3<x0,</x
即f'(x)>0,
当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),
单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
(2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有9a-3b+c
e-3
=-e3,
g(0)=b-c=0,
g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0,
解得a=1,b=5,c=5,所以f(x)=x2+5x+5
e x
.
因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,
故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者,
而f(-5)=5
e-5
=5e5>5=f(0),
所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5.
</x<2时,f'(x)<0,则f(x)单调递减;<>
</a<9<>
</x<1,则f'(x)<0;<>
</k+1,解得1≤k<3<>
</x<2<>
</x<1.<>
</x<2<>
</x<2时,f'(x)<0;<>
</x<1时,f'(x)<0;<>。