精品解析：2023年吉林省中考数学真题(解析版)

吉林省2023年初中学业水平考试
数学试题
数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 月球表面的白天平均温度零上126C °，记作+126C °，夜间平均温度零下150C °，应记作（ ） A. +150C ° B. 150C −°
C. +276C °
D. 276C −°
【答案】B 【解析】
【分析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解． 【详解】解：平均温度零上126C °，记作+126C °，夜间平均温度零下150C °，应记作150C −°， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 2. 图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】主视图是从几何体正面观察到的视图．
【详解】解：领奖台从正面看，是由三个矩形组成的．三个矩形，右边最低，中间最高， 故选A ．
【点睛】本题考查主视图，掌握三视图的特征是解题关键．
3. 下列算式中，结果等于5a 的是（ ） A. 23a a + B. 23a a ⋅
C. 23()a
D. 102a a ÷
【答案】B 【解析】
【分析】根据同底数幂的运算法则即可求解．
【详解】解：A 选项，不是同类项，不能进行加减乘除，不符合题意；
B 选项，根据同底数幂的乘法可知，底数不变，指数相加，结果是235a a +=，符合题意；
C 选项，根据幂的乘方可知，底数不变，指数相乘，结果是236a a ×=，不符合题意；
D 选项，根据同底数幂的除法可知，底数不变，指数相减，结果是1028a a −=，不符合题意；
故选：B ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的混合运算法则，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键． 4. 一元二次方程2520x x −+=根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17
D.
【答案】C 【解析】
24b ac =−△求出答案． 【详解】解：∵1a =，=5b −，2c =， ∴()2
24541172b ac =−=−××−= ． 故选：C ．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
5. 如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．若23AD BD ==，，则
AE
AC
的值是（ ）
的
A.
25
B.
12
C.
35
D.
23
【答案】A 【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出AE AD
AC AB
=，即可求解． 【详解】解：∵ABC 中，DE BC ∥， ∴
AE AD
AC AB
=， ∵
23AD BD ==， ∴22235
AE AD AC
AD BD ===++， 故选：A ．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
6. 如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ∠=
°，则BPC ∠的度数可能是（ ）
A. 70°
B. 105°
C. 125°
D. 155°
【答案】D 【解析】
【分析】根据圆周角定理得出2140BOC BAC ∠=
∠=°，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵ BC
BC =，70BAC ∠=°， ∴2140BOC BAC ∠=
∠=°， ∵140BPC BOC PCO ∠=∠+∠≥°， ∴BPC ∠的度数可能是155° 故选：D ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. .
． 【解析】
【分析】根据负数绝对值是它的相反数，可得答案． 【详解】解：|
．
8. 不等式480x −>的解集为__________． 【答案】2x > 【解析】
【分析】根据移项、化系数为1，的步骤解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：480x −>
48x >
解得：2x >， 故答案为：2x >．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 9. 计算：(3)a b +=_________． 【答案】3ab a + 【解析】
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则求解． 【详解】解：(3)3a b ab a +=+． 故答案为：3ab a +．
【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式的运算法则，掌握单项式乘多项式的运算法则是解答关键． 10. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．
【答案】三角形具有稳定性 【解析】
的
【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 11. 如图，在ABC 中，AB AC =，分别以点B 和点C 为圆心，大于
1
2
BC 的长为半径作弧，两孤交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ．若=110BAC ∠°，则BAE ∠的大小为__________度．
【答案】55 【解析】
【分析】首先根据题意得到AD 是BAC ∠角平分线，进而得到1
552
BAE CAE BAC ∠=
∠=∠=°． 【详解】∵由作图可得，AD 是BAC ∠的角平分线
∴1
552
BAE CAE BAC ∠=
∠=∠=°． 故答案为：55．
【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x 人，可列方程为__________． 【答案】54573x x +=+ 【解析】
【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x 人， 根据题意列方程54573x x +=+； 故答案为：54573x x +=+．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．
的
13. 如图①，A ，B 表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A ，B 是圆上的两点，圆心角120AOB ∠=°，则 AB 的长为_________m ．
（结果保留π）
【答案】10π 【解析】
分析】利用弧长公式π180
n r
l =
直接计算即可． 【详解】∵半径15m OA =，圆心角120AOB ∠=
°， ∴ AB
120π15
10π180
××=， 故答案为：10π．
【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式π180
n r
l =
，并规范计算是解题的关键． 14. 如图，在Rt ABC △中，90C BC AC ∠=°<，．点D ，E 分别在边AB ，BC 上，连接DE ，将
BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B ′．若点B ′刚好落在边AC 上，303CB E CE ′∠=°
=，，则BC 的长为__________．
【答案】9 【解析】
【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出26B E BE CE ′===，即可求解．
【详解】解：∵将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B ′．点B ′刚好落在边AC 上，在Rt ABC
△中，90C BC AC ∠=°<，，303CB E CE ′∠=°
=，， ∴26B E BE CE ′===，
∴369BC CE BE =+=+=， 故答案为：9．
【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M 是单项式．请写出单项式M ，并将该例题的解答过程补充完整．
【答案】M a =，11a −，99100
，过程见解析 【解析】
【分析】先根据通分的步骤得到M ，再对原式进行化简，最后代入100a =计算即可． 【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，
∴()()
2111M a a a a a M a a ⋅==+++， ∴M a =， 原式
()()
21
11a a a a a −++
()211a a a −=+ ()()
()
111a a a a +−=
+
1
a a −=
11a
=−，
当100a =时，原式199
1100100
=
−=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．
16. 2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A ，B ，C ，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正
面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率． 【答案】
13
【解析】
【分析】分别使用树状图法或列表法将甲乙两位选手抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次卡片相同的抽取结果，即可算出概率．
【详解】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：
由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率31
93
P
==． 解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：
由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率31
93
P
==． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．
17. 如图，点C 在线段BD 上，在ABC 和DEC 中，A D AB DE B E ∠=∠=∠=∠，，． 求证：AC DC =．
【答案】证明见解析 【解析】
【分析】直接利用ASA 证明ABC DEC ≌△△，再根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】解：在ABC 和DEC 中，
A D A
B DE B E ∠=∠
= ∠=∠
∴()ASA ABC DEC ≌ ∴AC DC =．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 18. 2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A ，B 两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A 种鱼和2箱B 种鱼需花费1300元：如果购买2箱A 种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A 种鱼和每箱B 种鱼的价格．
【答案】每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元． 【解析】
【分析】设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，根据题意建立方程组，解方程组即可得．
【详解】解：设每箱A 种鱼的价格是x 元，每箱B 种鱼的价格是y 元，
由题意得：21300232300x y x y += +=
，
解得700300
x y =
= ，
答：每箱A 种鱼的价格是700元，每箱B 种鱼的价格是300元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用用，正确建立方程组是解题关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 图①、图②、图③均是55×的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB
为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角
三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
【答案】见解析 【解析】
【分析】根据勾股定理可得AB = 【详解】解：如图所示，
如图①，AC AB ===，则ABC 是等腰三角形，且ABC 是锐角三角形，
如图②，AD AB ===
，BD =
=
，则222AD AB BD +=
，则ABD △是等腰直角三角形，
如图③，AE AB ==
=ABE 是等腰三角形，且ABE 是钝角三角形，
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m ）会随着电磁波的频率f （单位：MHz ）的变化而变化．已知波长λ与频率f 是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f （MHz ） 10 15 50 波长λ（m ） 30
20
6
（1）求波长λ关于频率f 的函数解析式． （2）当75MHz f =时，求此电磁波的波长λ． 【答案】（1）300
f
λ=
；
（2）4m 【解析】
【分析】（1）设解析式为k
f
λ=
()0k ≠，用待定系数法求解即可； （2）把75MHz f =值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长λ． 【小问1详解】
解：设波长λ关于频率f 的函数解析式为k
f
λ=()0k ≠， 把点()10,30代入上式中得：3010
k
=， 解得：300k =，
300
f
λ∴=
； 【小问2详解】
解：当75MHz f =时，
300
475
λ==， 答：当75MHz f =时，此电磁波的波长λ为4m ．
【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，
21. 某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度 活动过程
【步骤一】设计测量方案
小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
α=________．
1.54m AB =． 请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】． 【答案】40°，9.9m CD = 【解析】
【分析】根据测角仪显示的度数和直角三角形两锐角互余即可求得α的度数，证明四边形ABDE 是矩形得到DE AB =，再解直角三角形求得CE 的度数，即可求解． 【详解】解：测角仪显示的度数为50°， ∴905040α=°−°=°，
∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，CE AE ⊥， ∴90ABD EDB AED ∠=∠=∠=°，
∴四边形ABDE 是矩形，10m AE BD ==， 1.54m ED AB ==
在Rt CAE △中，tan 8.39m CE AE α==， ∴8.39 1.549.939.9m CD CE ED =+=+=≈．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用和矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的运算是解题的关键．
22. 为了解20182022−年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：
20182022−年吉林省粮食总产量及其增长速度
（以上数据源于《2022年吉林省国民经济和社会发展统计公报》） 注：-=
100%×本年粮食总产量去年粮食总产量
增长速度去年粮食总产量
．
根据此统计图，回答下列问题：
（1）2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多__________万吨． （2）20182022−年全省粮食总产量的中位数是__________万吨．
（3）王翔同学根据增长速度计算方法得出2017年吉林省粮食总产量约为4154.0万吨． 结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”
①20182022−年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，因此这5年中，2019年全省粮食总产量最高．（ ）
②如果将20182022−年全省粮食总产量的中位数记为a 万吨，20172022−年全省粮食总产量的中位数记为b 万吨，那么a b <．（ ） 【答案】（1）161.3 （2）3877.9 （3）①×；②√ 【解析】
【分析】（1）根据条形统计图，可知2021年全省粮食总产量为4039.2；2019年全省粮食总产量为
3877.9，作差即可求解．
（2）根据中位数的定义，即可求解．
（3）①根据统计图可知2019年全省粮食总产量不是最高； ②根据中位数的定义可得3877.94039.2
3877.92
b +>，即可求解．
【小问1详解】
解：根据统计图可知，2021年全省粮食总产量为4039.2；
2019年全省粮食总产量为3877.9，
∴2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多4039.23877.9161.3−=（万吨）； 故答案为：161.3． 【小问2详解】
将20182022−年全省粮食总产量从小到大排列为：3632.7,3803.2,3877.9,4039.2,4080.8； ∴20182022−年全省粮食总产量的中位数是3877.9万吨 故答案为：3877.9． 【小问3详解】
①20182022−年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，但是在这5年中，2019年全省粮食总产量不是最高． 故答案为：×．
②依题意，3877.9a =，3877.94039.2
3877.92
b +>
∴b a >， 故答案为：√．
【点睛】本题考查了条形统计图与折线统计图，中位数的计算，从统计图中获取信息是解题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙
组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和()m y 与甲组挖掘时间x （天）之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了__________天．
（2）求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．
（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．
【答案】（1）30 （2）()312060y x x =
+30<≤ （3）10天 【解析】
【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；
（2）设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为y kx b =
+，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x 的取值范围；
（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天数为a ，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可． 【小问1详解】
解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做， ∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，
603030−=（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天， 故答案为：30； 【小问2详解】
解：设乙组停工后y 关于x 的函数解析式为y kx b =
+， 将()30,210和()60,300两个点代入，可得210
30300
60k b k b =+
=+ ，
解得3120k b = =
，
∴()312060y x x =
+30<≤ 【小问3详解】
解：甲组每天挖
300210
36030−=−（千米）
甲乙合作每天挖210
730
=（千米） ∴乙组每天挖734−=
（千米），乙组挖掘的总长度为304120×=（千米） 设乙组己停工的天数为a ，
则()330120a +=
， 解得10a =，
答：乙组己停工的天数为10天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．
24. 【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形
EFMN ．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN 总是平行四边形其中判定的依据是__________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD 和EFGH （AB BC <，FG BC ≤）
，其中AB EF =，B FEH ∠=
∠EF 落在边BC 上，FG EH ，与边AD 分别交于点M ，N ．求证：EFMN 是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD 不动，将平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移，且EF 始终在边BC 上．当MD MG =时，延长CD HG ，交于点P ，得到图③．若四边形ECPH 的周长为40，4sin 5
EFG ∠=
（EFG ∠为锐角），则四边形ECPH 的面积为_________．
【答案】（操作发现），两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（探究提升），见解析；（结论应用），8 【解析】
【分析】（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；
（探究提升），证明四边形ABEN 是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立；
（结论应用），证明四边形ECPH 是菱形，求得其边长为10，作GQ BC ⊥于Q ，利用正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， ∴MN EF ∥，NE MF ∥，
∴四边形EFMN 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （探究提升），∵MN EF ∥，NE MF ∥， ∴四边形EFMN 是平行四边形， ∵B FEH ∠=∠， ∴NE AB ∥， 又AN BE ∥，
∴四边形ABEN 是平行四边形， ∴EF AB NE ==，
∴平行四边形EFMN 是菱形；
（结论应用），∵平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移， ∴MD GP ∥，PD MG ∥，
∴四边形MNHG 、CDMF 、PGMD 是平行四边形， ∵MD MG =，
∴四边形PGMD 是菱形， ∵四边形EFMN 是菱形， ∴四边形ECPH 是菱形， ∵四边形ECPH 的周长为40， ∴10FH GF ==， 作GQ BC ⊥于Q ， ∵4
sin 5
EFG ∠=， ∴
4
5
GQ GF =， ∴8GQ =，
∴四边形ECPH 的面积为10880×=． 故答案为：80．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在正方形ABCD 中，4cm AB =，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD −向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA AB −于点N ，连接PQ ，
QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<），四边形PQMN 的面
积为y （2cm ）
（1）BP 的长为__________cm ，CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示） （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． （3）当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值． 【答案】（1）()4x −；x
（2）()()
2
412160241624x x x y x x −+<≤ = −+<≤ （3）43x =或83
x = 【解析】
【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出
,OM OP OQ ON ==，可得四边形PQMN 是平行四边形，证明ANP CQM ≌即可；
（2）分02x <≤，24x <≤两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；
（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解． 【小问1详解】
解：依题意，1AP x x =×=()cm ，则()4PB AB AP x cm =−=−， ∵四边形ABCD 是正方形，
∴,90AD BC DAB DCB ∠=
∠=°∥， ∵点O 是正方形对角线AC 的中点，
∴,OM OP
OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形， ∴MQ PN =，MQ NP ∥，
∴PNQ MQN ∠=
∠， 又AD BC ∥，
∴ANQ CQN ∠=∠， ∴ANP MQC ∠=
∠， 在,ANP CQM 中，
ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠
∠=
∠ =
， ∴ANP CQM ≌，
∴()cm MC
AP x == 故答案为：()4x −；x ． 【小问2详解】
解：当02x <≤时，点Q 在BC 上，
由（1）可得ANP CQM ≌，
同理可得PBQ MDN ≌，
∵4,2,PB x QB x MC x =
−==，42QC x =−， 则2
22MCQ BPQ y AB S S =
−− ()()164242x x x x =−−×−−
241216x x =−+；
当24x <≤时，如图所示，
则AP x =，224AN CQ x CB x ==−=−，
()244PN AP AN x x x =−=−−=−+，
∴()44416y x x =−+×=−+；
综上所述，()()2
412160241624x x x y x x −+<≤ = −+<≤
； 【小问3详解】
依题意，①当四边形PQMN 是矩形时，此时PB QB = 即42x x −= 解得：43
x =
，
当四边形PQMN 是菱形时，则PQ MQ =，
∴()()()222
24242x x x x −+=+−，
解得：0x =（舍去）
； ②如图所示，当PB CQ =时，
424x x −−，解得83
x =， 当四边形PQMN 是菱形时，则4PN PQ ==，即44x −+=，解得：0x =（舍去）
， 综上所述，当四边形PQMN 是轴对称图形时，43x =或83
x =． 【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
2y x x c =−++经过点(0,1)A ．点P ，Q 在此抛物线上，其横
坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．
（3）当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点
A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写
出m 的值．
【答案】（1）221y x x =−++
（2）12
m = （3）点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8
（4）13m =或54
m = 【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点Q 的横坐标为2m ，即可求解；
（3）分AQ x ∥轴时，AP x ∥轴时分别根据抛物线的对称性求得Q 的横坐标与P 的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；
（4）分四种情况讨论，①如图所示，当,P Q 都在对称轴1x =的左侧时，当,P Q 在对称轴两侧时，当点
P 在1x =的右侧时，当P 的纵坐标小于1时，分别求得12,h h ，根据21h h m −=
建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线22y x
x c =−++经过点(0,1)A ． ∴1c =
∴抛物线解析式为221y x x =−++；
【小问2详解】
解：∵221y x x =−++()212x =
−−+， 顶点坐标为()1,2，
∵点Q 与此抛物线的顶点重合，点Q 的横坐标为2m
∴21m =， 解得：12
m =； 【小问3详解】
①AQ x ∥轴时，点,A Q 关于对称轴1x =对称，
22Q
x m ==， ∴1m =，则212112−+×+=，222211−+×+=
， ∴()1,2P ，Q ()2,1
∴点P 与点Q 的纵坐标的差为211−=；
②当AP x ∥轴时，则A P ，关于直线1x =对称，
∴2P x m ==，24Q
x m == 则242417−+×+=−
∴()2,1P ，()4,7Q −；
∴点P 与点Q 的纵坐标的差为()178−−=
； 综上所述，点P 与点Q 的纵坐标的差为1或8；
【小问4详解】
①如图所示，当P Q ，都在对称轴1x =的左侧时，
则021m << ∴102
m << ∵()
2,21P m m m −++，()()()22,2221Q m m m −++即()22,441Q m m m −++ ∴()
21211P A h y y m m =−=−++−22m m =−+； 222441144Q A h y y m m m m =−=−++−=−+
∵21h h m −=
∴22442m m m m m −++−= 解得：13
m =或0m =（舍去）；
②当,P Q 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，
则211m m ≥≤，，即
112m ≤≤， 则2122,211h m m h =
−+=−=， ∴212m m m +−=，
解得：m =； ③当点P 在1x =的右侧且在直线0y =上方时，即12m <<，
1211h =−=，()2222441441h m m m m =−−++=−+
∴24411m m m −+−= 解得：54
m =或0m =（舍去）； ④当P 在直线1y =上或下方时，即2m ≥，
，
()22122121h m m m m =−−++=−+，
()2222441441h m m m m =−−++=−+，
()2244121m m m m m ∴−+−−+=
解得：1m =（舍去）或0m =（舍去） 综上所述，13m =或54
m =． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。