2017-2018年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷和答案

2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列方程中是一元二次方程的是（）
A．2x﹣1=3 B．x2+x﹣1=0 C．x2+y=5 D．ax2+bx+c=0
2．（2分）一元二次方程x2﹣6x+9=0的根的情况（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个不等的实数根D．有两个相等的实数根
3．（2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0
4．（2分）下列命题正确的是（）
A．平面上三个点确定一个圆
B．三角形的外心到三边距离相等
C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上
D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线
5．（2分）如图，⊙O中的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠OBC等于（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
6．（2分）如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（）
A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）
二、填空题（每小题2分，共20分）
7．（2分）将一元二次方程x2+x=2化成一般形式为．
8．（2分）设方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，则（x1+x2）2﹣x1x2=．9．（2分）已知圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，则这条弧的长为．
10．（2分）将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的函数图象对应的二次函数表达式为．
11．（2分）某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程．
12．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD=°．
13．（2分）圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥的侧面积是．14．（2分）如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠P=50°，则∠ACB=°．
15．（2分）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，则弦
CD的长为．
16．（2分）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表所示：
x﹣2﹣10123
y70﹣5﹣8﹣9﹣8
则下列结论：①当x＜1时，y＞﹣8；②x=﹣5是方程ax2+bx+c=0的一个根；③当x=6时，y的值是7；④二次函数y=ax2+bx+c+9的图象与x轴只有一个交点，正确的有．
三、解答题（本题10个小题，满分88分）
17．（10分）解下列方程：
（1）x2﹣3x+2=0
（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0．
18．（10分）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m2+2m+2017的值．
19．（8分）已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．
20．（8分）某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，如图所示，生物园的一面靠墙（墙有足够长），面积为30m2．
（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的一边为m（用含x的代数式表示）；
（2）求（1）中x的值．
21．（8分）已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．
22．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．
求证：DB=DC．
23．（8分）某商场某种品牌鞋子平均每天可销售20双，每双盈利44元，若每双降价1元，则平均每天可多销售5双，如果每天要盈利1600元，那么每双应降价多少元？
24．（10分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O 在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=1，∠A=45°，求阴影部分的面积．
25．（8分）已知△ABC，∠C=90°．
（1）用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若AC=4，BC=3，求（1）中半圆的半径．
26．（10分）已知二次函数y1=ax2﹣2x﹣3（a≠0）的图象与一次函数y2=﹣x﹣1的图象有一个交点在x轴上．
（1）求出该二次函数的表达式和图象的顶点坐标；
（2）填写下面的表格，并利用表格中的数据在方格纸上画出该二次函数的图象；（3）当x在什么范围内时，y1＞y2？当x在什么范围内时，y1•y2＜0？请直接写出答案．
x﹣2﹣1 01234
y1
2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列方程中是一元二次方程的是（）
A．2x﹣1=3 B．x2+x﹣1=0 C．x2+y=5 D．ax2+bx+c=0
【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、是一元二次方程，故此选项正确；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：B．
2．（2分）一元二次方程x2﹣6x+9=0的根的情况（）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个不等的实数根D．有两个相等的实数根
【解答】解：△=36﹣4×9=0，
∴该方程有两个相等的实数根，
故选：D．
3．（2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0
【解答】解：A、∵抛物线开口向下，
∴a＜0，结论A错误；
B、∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，结论B错误；
C、∵当x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，结论C正确；
D、∵抛物线的对称轴在y轴右侧，且a＜0，
∴﹣＞0，
∴b＜0，结论D错误．
故选：C．
4．（2分）下列命题正确的是（）
A．平面上三个点确定一个圆
B．三角形的外心到三边距离相等
C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上
D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线
【解答】解：A、平面上不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以A选项错误；
B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以B选项错误；
C、矩形的四个顶点一定在同一个圆上，所以C选项正确；
D、经过半径的外端并且与这条半径垂直的直线为该圆的切线，所以D选项错误．故选：C．
5．（2分）如图，⊙O中的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠OBC等于（）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【解答】解：∵弧AB的度数为60°，
∴∠AOB=60°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠BOC=180°﹣∠AOB=180°﹣60°=120°．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C=30°，
故选：A．
6．（2分）如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（）
A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）
【解答】解：∵过格点A，B，C作一圆弧，
∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），
∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，
∴当△BOD≌△FBE时，
∴EF=BD=2，
F点的坐标为：（5，1）或（1，3），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）或（1，3）．
故选：B．
二、填空题（每小题2分，共20分）
7．（2分）将一元二次方程x2+x=2化成一般形式为x2+x﹣2=0．
【解答】解：x2+x=2，
x2+x﹣2=0，
故答案为：x2+x﹣2=0．
8．（2分）设方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，则（x1+x2）2﹣x1x2=73．【解答】解：∵方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，
∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣72，
则（x1+x2）2﹣x1x2=1+72=73．
故答案为：73
9．（2分）已知圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，则这条弧的长为2π．【解答】解：l==2π，
故答案为2π．
10．（2分）将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的函数图象对应的二次函数表达式为y=3（x+2）2﹣1．
【解答】解：y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y=3（x+2）2﹣1．
故答案为：y=3（x+2）2﹣1．
11．（2分）某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程400（1+x）2=484．【解答】解：
∵2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，
∴设年平均增长率为x，则可列出方程为400（1+x）2=484，
故答案为：400（1+x）2=484．
12．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD= 130°．
【解答】解：∵∠BOD=100°，
∴∠A=50°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD=180°﹣50°=130°．
故答案为：130．
13．（2分）圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥的侧面积是60πcm2．
【解答】解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．
∴BC==10cm，
∴这个圆锥的侧面积是：×2πrl=π×6×10=60πcm2
故答案为：60πcm2．
14．（2分）如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠P=50°，则∠ACB=65°．
【解答】解：
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
∴∠AOB=180°﹣∠P=130°，
由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=65°，
故答案为：65．
15．（2分）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，则弦CD的长为8．
【解答】解：如图，连接OC；
∵直径AB=10，BE=2，
∴OE=5﹣2=3，OC=5；
∵弦CD⊥AB，
∴CE=DE；由勾股定理得：
CE==4，
∴CD=2CE=8．
故答案为8．
16．（2分）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表所示：
x﹣2﹣10123
y70﹣5﹣8﹣9﹣8
则下列结论：①当x＜1时，y＞﹣8；②x=﹣5是方程ax2+bx+c=0的一个根；③当x=6时，y的值是7；④二次函数y=ax2+bx+c+9的图象与x轴只有一个交点，正确的有①③．
【解答】解：由表格中的数据可得：顶点坐标为（2，﹣9），与x轴一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线开口向上，
与x轴另一个交点为（5，0）；
x=﹣2或6时，y=7；
当x＜2，y随x的最大而减小，由x=1时，y=﹣8，得到x＜1时，y＞﹣8；正确的有：①③
故答案为：①③
三、解答题（本题10个小题，满分88分）
17．（10分）解下列方程：
（1）x2﹣3x+2=0
（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0．
【解答】解：（1）x2﹣3x+2=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得x1=1，x2=2；
（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0，
（x﹣2）（x+1）=0，
解得x1=2，x2=﹣1．
18．（10分）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为1，求m2+2m+2017的值．
【解答】（1）证明：∵△=（2m）2﹣4（m2﹣1）=4＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当x=1时，m2+2m=0，
∴m2+2m+2017=0+2017=2017．
19．（8分）已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．
【解答】证明：过点O作OE⊥AB，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
又∵在⊙O中，
∴CE=DE，
∴AC=BD．
20．（8分）某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，如图所示，生物园的一面靠墙（墙有足够长），面积为30m2．
（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的一边为16﹣2x m（用含x的代数式表示）；
（2）求（1）中x的值．
【解答】解：（1）∵垂直于墙的边长为xm，
∴平行于墙的一边为（16﹣2x）m．
故答案为：16﹣2x．
（2）根据题意得：x（16﹣2x）=30，
整理，得：x2﹣8x+15=0，
解得：x1=3，x2=5．
答：x的值为3或5．
21．（8分）已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），∴，
解得：，
所求方程为2x2﹣3x﹣2=0，即（2x+1）（x﹣2）=0，
解得：x1=﹣，x2=2．
22．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．
求证：DB=DC．
【解答】证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，
∴∠DAC=∠DBC．
∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠DAC，
∴∠EAD=∠DBC．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAD=∠BCD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC．
23．（8分）某商场某种品牌鞋子平均每天可销售20双，每双盈利44元，若每双降价1元，则平均每天可多销售5双，如果每天要盈利1600元，那么每双应降价多少元？
【解答】解：设每双应降价x元．
（44﹣x）×（20+5x）=1600，
解得x1=4，x2=36．
答：每双应降价4元或36元．
24．（10分）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O 在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=1，∠A=45°，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
又∵∠C=90°（已知），
∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；
（2）∵AC⊥OD，∠A=45°，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∵AD=1，
∴△OAD的面积=．
∵∠DOE=45°，
∴扇形ODE的面积=，
∴阴影部分的面积=．
25．（8分）已知△ABC，∠C=90°．
（1）用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）若AC=4，BC=3，求（1）中半圆的半径．
【解答】解：（1）作∠B的角平分线与AC的交点O，以O为圆心，OC为半径画半圆；
∵∠ACB=90°
∴OC⊥CB且OC=r，
∴BC与半圆O相切
过点O作OD垂直于AB交AB于点D
∵OB平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，
∴OD=OC=r且OD⊥AB
∴AB与半圆O相切；
（2）设半圆的半径为r，
∵半圆O与AB相切于点D∴OD⊥AB∴∠ADO=90°
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴AB===5，
在△ADO和△ACB中
∠ADO=∠ACB∠A=∠A
∴△ADO∽△ACB
∴=，
∴r=．
答：半圆的半径为．
26．（10分）已知二次函数y1=ax2﹣2x﹣3（a≠0）的图象与一次函数y2=﹣x﹣1的图象有一个交点在x轴上．
（1）求出该二次函数的表达式和图象的顶点坐标；
（2）填写下面的表格，并利用表格中的数据在方格纸上画出该二次函数的图象；（3）当x在什么范围内时，y1＞y2？当x在什么范围内时，y1•y2＜0？请直接写出答案．
x﹣2﹣1 01234
y1
【解答】解：（1）当y=0时，﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，则一次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）；
把（﹣1，0）代入y1=ax2﹣2x﹣3得a+2﹣3=0，解得a=1，
所以抛物线解析式为y1=x2﹣2x﹣3，
因为y1=（x﹣1）2﹣4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）如图，
（3）解方程组得或，
所以抛物线与一次函数的交点坐标为（﹣1，0）、（2，﹣3），当﹣1＜x＜2时，y1＞y2；
当x＞3时，y1•y2＜0．。