高数12

高数12

高等数学教案

章节题目

第十二章微分方程

§12-1微分方程基本概念

§12-2可分离变量的微分方程

课型

理论

课

教学目的1．了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。2．掌握变量可分离的方程的解法。

重点掌握变量可分离的方程的解法

难点基本概念的理解

参考书目同上教具

教学后记

教学过程

备注

（一）、复习上节内容

(二)、讲授

§12-1微分方程基本概念

一、引例

二、微分方程的基本概念

三、举例

§12-2可分离变量的微分方程

一、可分离变量的微分方程

二、举例

（三）、本次课内容小结

（四）、布置作业

第十二章 微分方程

§12-1微分方程的基本概念

一、 引例

首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。

例1．一条曲线通过点（1,2），且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。

解： 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足

x dx

dy

2= （1）

同时还满足以下条件 1

=x 时，

2

=y

（2）

把（1）式两端积分，得

⎰=xdx

y 2 即

C

x y +=2

（3）

其中C 是任意常数。

把条件（2）代入（3）式，得

1

=C ，

由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：

1

2+=x y （4）

例2．列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；

当制动时列车获得加速度2

/4.0s m -.问开始制动后

多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？

解： 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：

4.02

2-=dt

s

d （5）

此外，还满足条件：

=t 时，20,0===dt

ds v s （6） (5)式两端积分一次得：

14.0C t dt

ds

v +-==

（7）

再积分一次得

2122.0C t C t s ++-=

（8）

其中2

1

,C C 都是任意常数。

把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（7）式和（8）式，得

,2021==C C

把2

1

,C C 的值代入（7）及（8）式得

,

204.0+-=t v （9） t

t s 202.02+-= （10）

在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：

)(504

.020

s t ==

。

再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程

).

(5005020502.02m s =⨯+⨯-=

上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。

二 微分方程的基本概念

定义 1 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。 未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未

知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。

定义 1微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。

例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程

()x

y y y y y 2sin 5121044=+'-''+'''-

是四阶微分方程。

一般地，n 阶微分方程的形式是

,

0),,,,()(='n y y y x F Λ （11）

其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)

(n y 是必须出现的，而

)

1(,,,,-'n y y y x Λ等变量则可以不出现。例如n 阶微分方

程

1)(=+n y

中，除)

(n y 外，其他变量都没有出现。

由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。

定义 3 设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，

(),

0)](,),('),(,[≡x x x x F n ϕϕϕΛ

那么函数)(x y ϕ=就叫做微分方程（11）在区间I 上的解。

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

如果微分方程（11）的解1

2

(,,)n

y x c c c ϕ=L 中含有n

个任意常数，则称该解为微分方程（11）的通解；如果方程（11）的通解为1

2

(,,)n

y x c c c ϕ=L ，其中常数