重庆市第一中学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题(含答案)

秘密★启用前
2022~2023学年重庆一中上期学情调研
高二数学试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个数中，哪一个是数列{(1)n n +}中的一项 （ ）A ．380
B ．39
C ．35
D ．23
2．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为
A ．1
2
y x
=±B ．2y x =±C ．4y x
=±D ．1
4
y x
=±3．若圆的方程为x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0，则该圆的圆心和半径r 分别为（ ）A ．（1，﹣2）；r ＝2B ．（1，-2）；r ＝4C ．（-1，2）；r ＝2
D ．（-1，2）；r ＝4
4．如图是抛物线形拱桥，当水面在n 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（ ）
A B C ．D ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24=3,10S S =，则6S =（ ）A ．21
B ．15
C ．13
D ．11
6．已知椭圆22
22x y 1(a b 0)a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆交于点A ，B ，若AB 中点为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，
且直线AB 的倾斜角为45 ，则椭圆方程为( )
A ．22
x y 1
95+=B ．22
x y 1
94+=C ．22
2x 4y 1
99+=D ．22
x 2y 1
99
+=7．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9113a a -=（ ）A ．42
B ．45
C ．48
D ．51
8．如图,已知双曲线22
22:1x y C a b
-=()0,0a b >>的右顶点为,A O 为坐标原点,以点A 为圆心的圆与双曲线C 的
一条渐近线交于,P Q 两点,若120PAQ ∠=︒且2OQ OP =-
,则双曲线C 的离心率为（ ）
A B ．3C ．2D 二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．在同一直角坐标系中，直线2y ax a =+与圆222()x a y a ++=的位置可能的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知a ，b ，c 分别是椭圆E 的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x 的方程220ax bx c ++=有实根，则椭圆E 的离心率e 可能是（ ）
A B ．
35
C ．
34
D 11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20210S <，20220S >，则下列结论正确的是（ ）
A ．20210a <
B ．10120a <
C ．10110a <
D ．10
a <12．已知双曲线C ：22
1916
x y -=和点()0,12A ，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上在第一象
限内的点，点I 为12PF F △的内心，则下列说法正确的是（ ）A ．1PA PF +的最小值为25B ．
12
12
53
IF F PIF PIF S S S =-△△△C ．()
120,20F IF S ∈△D ．若1232
PF PF =
，12PI xPF yPF =+ ，则2
9y x -=
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知直线1:210l x my ++=与()2:4120l mx m y +++=垂直，则m 的值为______．
14．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为________．
15．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，A (t ，1)是抛物线第一象限上的点，5AF =，直线AF 与抛物线的另一个交点为B ，则AOB S =△_________．
16．若椭圆22
221x y a b
+=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰
好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ______________
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）
如图，圆E 与圆F (点F 在点E 的右侧)与x 轴分别相切于A ，C 两点，
另两圆外切且与直线y =分别相
切于B ，D
两点，若)E .
（1）求圆E 与圆F 的标准方程；
（2）过B 作直线EF 的垂线L ，求直线L 被圆E 截得的弦的长度.18．（本小题满分12
分）
已知数列{}n a 中，11a =，22a =，34a =，+1143(3)n n n a a a n -=+≥.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设121b b ==，()()
12)1
(55n n n b n a n a +=
-->，求证：13i
i b i
∞
=>∑
.19．（本小题满分12分）
已知向量(2,0),(0,1)OA OC AB ===
，动点M 到定直线1y =的距离等于d ，并且满足
()
2OM AM k CM BM d ⋅=⋅-
，其中O 是坐标原点，k 是参数.
（1）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e
e …k 的取值范围.20．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，点,M N 分别在侧棱
,PD PC 上，且PM MD =（I ）求证：AM ⊥平面PCD ；
（II ）若12
PN NC =
，求平面AMN 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值
21．（本小题满分12分）
已知点(2,0)P 及圆22:6440C x y x y +-++=.
(1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；
(2)设过点P 的直线1l 与圆C 交于,M N 两点，当||4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；(3)设直线10ax y -+=与圆C 交于,A B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）
已知椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为
B ，O 为坐标原点，
||2||OA OB =．
(1)若12BF F △的面积为1C 的标准方程；
(2)如图，过点(1,0)P 作斜率(0)k k >的直线l 交椭圆1C 于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直
线SN 交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使OM ON OQ +=
，记四边形OMQN 的面积
为1S ，求
2
1OT OQ S k
⋅- 的最大值．
参考答案
1．A
因为数列{(1)n n +}，那么将四个选项代入,可知192038019n ⨯=⇒=,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.2．A
椭圆的离心率c e a =
=
即22222
34c a b a a -==，12
b a =，所以双曲线22
221x y a b
-=的渐近线为12y x =±．故选A ．
考点：椭圆与双曲线的几何性质．3．A
将圆的方程化为标准形式:22(1)(2)4x y -++=,则该圆的圆心为(1,2)-,半径为2,故选:A.4．D
建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为2x my =，由题意知：(2,2)-在抛物线上，即222m =-，解得：2m =-，22x y ∴=-，
当水位下降1米后，即将=3y -代入22x y =-，
即()2
23x =-⨯-，解得：x =
∴水面宽为.故选：D.5．A
因为数列{}n a 是等差数列，所以24264,,S S S S S --成等差数列，所以()()422642-=+-S S S S S ，因为24=3,10S S =，
所以()()62103310S -=+-，解得621S =，故选：A 6．C
∵1
211
c =-，∴c ＝3
2，
令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则212x a ＋212y b ＝1，2
2
2x a ＋222y b
＝1，
∴()()()()12121
21222
0x x x x y y y y a b +-+-+=，2222221022a b c a b -+=⇒==，∴a 2＝92，b 2＝94
.故选C 7．C
依题意{}n a 是等差数列，
4681012885120,24a a a a a a a ++++===，
9119911971111832248a a a a a a a a a a -=+-=++-==.故选：C 8．C
因为AP AQ =，120PAQ ∠=︒，
所以30OQA ∠=︒，设AQ R =
，则PQ =，
又因为2OQ OP =-
，
所以OQ =
，双曲线的渐近线方程为b
y x a =
，()0A a ，
，取PQ 的中点M
，则AM =
由勾股定理可得2
22R =+，即()()
2
22
214
R a a b b =
+ ①，在OQA
中，2
22cos R a
OQA +-∠==
，所以22
13
R a =②，
联立①②：()()
2
22
234a a a b b =
+，即()
22234
a b b =+，223b a =，结合222c a b =+可得2c
e a
==.故选：B.9．AC
直线2y ax a =+与x 轴交于点(,0)a -，而圆222()x a y a ++=的圆心为(,0)a -，因此，直线2y ax a =+过圆222()x a y a ++=的圆心，排除选项D ；
当0a >时，圆心在x 轴负半轴上，选项A 满足；当a<0时，圆心在x 轴正半轴上，选项C 满足.故选：AC 10．AB
由题意有2440b ac ∆=-≥，由222
b a
c =-
可得220a c ac --≥，故210e e +-≤
e ≤≤
，而01e <<，
∴0e <故选：AB 11．CD
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由12021
202110112021202102
a a S a +=⨯=<得：10110a <，由12022
10111202201220221011()02
a a a a S +=
⨯=>+得，101210110a a ->>，因此，等差数列{}n a 的公差101210110d a a =->，即数列{}n a 是递增等差数列，则有110110a a <<，
202110120a a >>，
所以选项A ，B 都不正确；选项C ，D 都正确.故选：CD 12．BC
设12PF F △的内切圆的半径为r ，则
12
12
121212121
252112322
IF F PIF PIF F F r S F F c S S PF PF a PF r PF r ====---△△△，故B 正确；
设()11,I x y 在12F F 上的垂足为H ，根据双曲线的定义及切线长定理可得
12122PF PF a HF HF -==-，又121222a HF HF c HF HF ⎧=-⎪
⎨=+⎪⎩
，所以1HF a c =+，所以(),0H a ，记渐
近线43
y x =
的倾斜角为θ，则4
tan 3θ=，记2IF H α∠=，则()20,απθ∈-，当
()tan 2tan απθ=-，即242tan 31tan α
α
-
=-，解得tan 2α=，所以()tan 0,2α∈，则()12tan 0,4y HF α=∈，所以()121210,201
2
IF F S F F y =
⋅∈△，故C 正确；延长PI 交12F F 于点M ，由12
12326
PF PF PF PF ⎧
=⎪⎨⎪-=⎩
解得121812PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由角平分线定理可知
112
2
32
PF MF PF MF =
=
，所以24MF =，又由角平分线定理知2213
PF PI MF MI ==，过点I 作12
//NG F F
交1PF 、2PF 分别于点N 、G 点，则
32PN PG =，所以3
2
NI IG =，所以2355PI PN PG =+ ，因为
12PI xPF yPF =+ ，所以34x y +=又23x y =，解得310
920x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，所以320y x -=，故D 错误；
故选：BC 13．0或-914．20
设高一、高二、高三人数分别为,,a b c ，则2b a c =+且1800a b c ++=，解得：600b =，
用分层抽样的方法抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为600
60201800
⨯=人．故答案为：20.15．40∵152
p
AF =+
=，则8p =∴抛物线方程为216x y
=把A (t ，1)代入抛物线方程得：216t =且0t >，则4t =∵()()4,1,0,4A F ,则直线AF 的斜率143
404
k -=
=--∴直线AF 的方程：3
44
y x =-+即34160
x y +-=联立方程2
34160
16x y x y +-=⎧⎨=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩
或1616x y =-⎧⎨=
⎩
即()16,16B -
25
=O 到直线:34160AF x y +-
=的距离165
d =
∴1
402
AOB S AB d =
⨯= 故答案为：40．
16．22
1
54
x y +=∵点(1，1
2)在圆外，过点(1，1
2)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，1
2)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝1
2，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b ＝2，又
c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是
2
5x ＋24
y ＝1．17．（1）(
()2
2
11x y +-=，(()2
2
39x y -+-=；
（2（2）先由题意，联立直线y =与圆E 的方程求出32B ⎫⎪⎪⎭，，以及直线L 的方程，根据几何法，即可求出圆的弦长.
（1）因为点)E ，圆E 与x 轴分别相切于A ，所以1EA =，即圆E 的半径为1，
所以圆(()2
2
:11E x y +-=；
因为圆E 与圆F (点F 在点E 的右侧)与x 轴分别相切于A ，C 两点，与直线y =分别相切于B ，D 两点，且两圆外切，所以O 、E 、F 三点共线，设圆F 的半径为R ，
则有
EA OE
FC OF =，即123R R
=+，解得3R =，即3=FC ，则3F y =又F 在直线:OE y x =上，所以F x =()
F ，因此，圆(()2
2
:39F x y +-=-；
(2).联立(()2211x y y ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩，解得32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以32B ⎫⎪⎪⎭，，
又
OE
EF
k k=
==
所以过点B且与EF垂直的直线L为
:
3
2
y x
-=，
30
y
+-=，
因为点E到直线L的距离
1
2
d
所以直线L
被圆截得弦长=
18．（1）3
1
5,2
3
1,1
n
n
n
a
n
-
⎧
-≥
⎪
=⎨
⎪=
⎩
；（2）证明见解析.
（1）因为11
a=，
2
2
a=，
3
4
a=，
+11
43
n n n
a a a
-
=+，
所以1
1
n n
n n
a a
a a
+
-
-
=
-21
1
a a
-=，
32
2
a a
-=
所以
2
1
1
2
3
n
n n
a a
-
+
⎛⎫
-=⨯ ⎪
⎝⎭
，2
n≥，
121321
()()......()
n n n
a a a a a a a a
-
∴-=-+-++-
2
33
1
2(1)
221
3
12 (14)
1
333
1
3
n
n n
-
--
-
=++++=+=-
-
3
1
5,2
3
n
n
a n
-
⎛⎫
∴=-≥
⎪
⎝⎭
3
1
5,2
3
1,1
n
n
n
a
n
-
⎧
-≥
⎪
∴=⎨
⎪=
⎩
.
（2）()()
1
23
2)
11
(
11
55
33
n
n n
n n
b
a n
n
n a
+
--
==
--⎛⎫⎛⎫
⎪⎪
⎝⎝⎭
>
⎭
，
22
133
23
11
22
1111
3331
i
i i i
i i
b
i i i
∞∞∞
===
--
=+≥+
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑∑∑
22222
11111
23(+++......)=3+3(++......)>3
34545
=+⨯⨯
故得证19．
（1）令()M x y ，，则()()()21OM x y AM x y CM x y ==-=-
，，，，，，()211BM x y d y =--=-
，，，
∴
()22222OM AM x x y x y x ⋅=-+=+- ，()()()22
22121CM BM x x y x x y ⋅=-+-=-+- ，
代入()
2
OM AM k CM BM d ⋅=⋅- ，
得()()22
1210k x k x y -+-+=，
即为动点M 的轨迹方程.当1k =时，表示直线0y =；当0k =时，表示圆；当1k >时，表示双曲线；当01k <<或0k <时，表示椭圆.
（2e M ⇒…点的轨迹为椭圆()22111y x k -+
=-，1°01k <<时，222211a b k c k e k ==-==，，，，
所以22
11
32k k ⇒………….2°0k <时，2
11
k k
e k k -=
=--.
结合11
312k e k ∈⇒-…
…，所以112
k --
……，综上所述：1111232k ⎡
⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦，
，.20．
（I ）PA ⊥ 底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD PA CD
∴⊥ 四边形ABCD 为正方形 CD AD ∴⊥ CD \^平面PAD
AM ⊂ 平面PAD CD AM
∴⊥
PA AD = ，PM MD = AM PD
∴⊥,CD PD ⊂ 平面PCD ，PD CD D ⋂= AM ∴⊥平面PCD （II ）以A 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则有()0,0,0A ，()002P ,,，()0,2,0D ，()0,1,1M ，()2,2,0C ，
设
(),,N x y z ，则()2,2,NC x y z =--- ，(),,2PN x y z =-
又12PN NC = 222224
x x y y z z -=⎧⎪∴-=⎨⎪-=-⎩
，则224,,333N ⎛⎫ ⎪
⎝⎭224,,333AN ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭
，又()2,2,2PC =-
4480333PC AN ∴⋅=+-= ，即PC AN
⊥又AM ⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD AM PC ∴⊥ PC ∴⊥平面AMN
()2,2,2PC ∴=-
为平面AMN 的一个法向量
又AD ⊥平面PAB ()0,2,0AD ∴=
为平面PAB
的一个法向量cos ,PC AD PC AD PC AD ⋅∴<>==
=
∴平面AMN 与平面PAB
21．
(1)直线l 斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为()02y k x -=-，即20kx y k --=.又圆C 的圆心为()3,2-，半径3r =
1，解得3
4
k =-.
所以直线方程为()3
24
y x =-
-，即3460x y +-=.当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件．即直线l 的方程为3460x y +-=或2x =
.
(2)
由于CP =
，而弦心距d ==
所以d CP ==.所以P 恰为MN 的中点．
故以MN 为直径的圆Q 的方程为()2
224x y -+=.
(3)把直线1y ax =+代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()22
+16190a x a x +-+=.
由于直线10ax y -+=交圆C 于,A B 两点，
故()()
2
2
3613610a a ∆=--+>，
即20a ->，解得0a <.则实数a 的取值范围是(),0-∞．设符合条件的实数a 存在，
由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心C ()3,2-必在2l 上．所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC
k a k ==-，所以12
a =
.由于1
2∉ (),0-∞，
故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB .22．
（1）||2||OA OB =，∴2a b =
，
121
22
BF F S b c =⋅=△
bc =，又222a b c =+，
解得4,2,a b c ===1C 的标准方程为：22
1164
x y +
=.（2）||2||OA OB =，∴2a b =，椭圆22122:14x y
C b b
+=，
令()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x ，直线l 的方程为：(1)y k x =-，
联立方程组： 22
22
14(1)x y b b y k x ⎧+=⎪
⎨⎪=-⎩
，消去y 得22222(14)8440k x k x k b +-+-=，由韦达定理得2
122
814k x x k +=+，221224414k b x x k -=+，
有 12122
2(2)14k
y y k x x k -+=+-=
+，
因为：OM ON OQ += ，所以2
02
814k x k
=+，02214k y k -=+ ，将点Q 坐标代入椭圆方程化简得： 2
2
2
414k b k =
+，而此时：()2
2222284(14)(44)480k k k b k ∆=-+-=> .令()11,S x y -，所以直线12
2221
:()y y SN y y x x x x +-=-- ，令0y =得 ()1212211212212112122(1)(1)(2)2
T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x -+-+-=
==+++-+- ，由韦达定理化简得2
4T x b =，
12OMN S S =△，
而
2MN x =-== O 点到
直线l
的距离d =
所以：1122S MN d =⨯⋅= 222
2243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++ ，23122
80(14)OT OQ S k k k ⋅-=+
，因为点P 在椭圆内部，所以 214b <，得2
112k
>
，即k >令3
22()(14)k
f k k =+ ，求导得 222222423
(41)(43)(43)()(14)(14)k k k k k f k k k -+---'==++，
当
213124k <<
，
k <()0f k '>，()f k 单调递增； 当 2
34k >
，即k >()0f k '<，()f k 单调递减.
所以：
max
()f k f ==，即
21max OT OQ S k ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭
.。