大学高数第四章3-4节_多元复合函数与隐函数求导法则-多元函数极值

v y
dy)
f1(dx dy) f2(2xdx 2ydy)
f1 2xf2dx f1 2yf2dy
26
z f (x y, x2 y2), f是可微函数，求dz
dz f1 2xf2dx f1 2yf2dy
dz f dx f dy x y
f x
f1 2xf2
f y
f1 2 yf2
( x, y)处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x、 y的函数，它就称为函数z f ( x, y)对 自变量 x的偏导数，
z 记作 z ，f ，
' x
或
f
'x (x,
y) .
x x
类似可定义函数z f ( x, y)对自变量 y的
z 偏导数，记作z ，f ，
' y
或
f
' y (x,
y) .
F F
' x ' y
F(x, y) ln y x2 Fx 2x
dy F'x 2x
dx F'y
1
Fy
1 y
2xy
y
30
例 5 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
解 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
则
F 'x (x, y)
u
x x y
z
x
y
y
解：z f u f x u x x
z f u f y u y y
2u 2 3y
2u 3x
4(2x y) 3y
2(2x y) 3x
8x 7y
7x 2y
16
练习1：z f (x, y,u) ex2y2u2 ,u x2 sin y
解：z f u f x u x x
F[x, y, z( x, y)] 0.
根据链式法则，在方程两端对x求导，得
F F z 0, x z x
F
z Fx x Fz 同理可得：z Fy
(u, v )具有连续偏导数，则复合函数
z f [( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏导
数存在，且可用下列公式计算
z z x u
u x
z v z v， x y
z u
u y
z v.
v y
y f (u), u (x)
dy dy du dx du dx
10
链式法则如图示
17
练习2：z f (u,v, x) eu2v ln x,u sin x v x3, 求 dz dx
解：dz f du f dv f dx u dx v dx x
eu2v cosx 2eu2v 3x2 1 x
eu2v (cos x 6x2 ) 1 x
esin x2x3 (cos x 6x2 ) 1 x
根据链式法则，方程两边对x求导
.
F 'x F ' y dy 0 dx
z F(x, y)
x
y
x
dy dx
F'x F'y
隐函数的求导公式（1）
29
例：ln y x2 0确定了y和x之间函数关系，求dy dx
解：一元函数隐含数求导法则
y 2x 0 y
y 2xy
利用链式法则得到的公式：dy dx
22
二元函数的全微分形式不变性
一元函数微分形式不变性：dy dy dx dx
如果z f (u,v)具有连续偏导数
dz z du z dv
u
v
23
二元函数的全微分形式不变性
如果z f (u,v)具有连续偏导数，而
u (x, y),v (x, y)也具有连续偏导数
则：z f ((x, y), (x, y))是x, y的函数
即 z f [( x, y), x, y],
u
x
z
x
y
y
z f u f , z f u f .
x u x x y u y y
14
2.复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函 数的情形
z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [ ( x, y), x, y],
同理函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 y的
偏导数，可定义 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
记为 z y
， f x x0 y
， z'y
x x0
x x0 y y0
或
f
'y (x0,
y0) .
y y0
y y0
2
如果函数z f ( x, y)在区域D内任一点
z f u f , x u x x
z f u f . y u y y
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把复合函数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
15
例2 z u2 3xy,u 2x y, 求 z , z
27
二、 隐函数的求导公式
(Implicit differentiation)
在一元函数微分学中我们已经提出了隐 函数的概念，并且通过举例的方法指出了不 经过显化直接由方程
F(x, y) 0
求出它所确定的隐函数的导数的方法。
28
一个方程的情形(One equation)
1. F(x, y) 0 一元隐函数
dt 21
例 4 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ，
求全导数dz .
dt u
z
v
t
t
解 dz f du f dv f dt u dt v dt t
vet usin t cos t
et cos t et sin t cos t
et (cos t sint) cos t.
z du z dv u v
dv v dx v dy x y
25
z f (x y, x2 y2), f是可微函数，求dz
解：令u x y,v x2 y2,则z f (u,v) 由全微分形式不变性
dz f du f dv u v
f1(
u x
dx
u y
dy)
f
2(
v x
d
x
y y
3
几何意义:
偏导数 f 'x (x0, y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点 M0处的切线M0Tx 对 x轴的
斜率.
偏导数 f 'y (x0, y0) 就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴
的斜率.
4
二、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
u
dx
解：dz f du f dv dx u dx v dx
z
u v
x
v u2
ex
1 u
2x
x2 e2x
ex
2x ex
2x x2
ex
20
上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz f du f dv f dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
z x x
2z x2
f
''xx (x,
y),
y
z y
2z y2
f '' yy (x, y) 纯偏导
z 2z f ''xy(x, y), y x xy
x
z y
2z yx
f
'' yx
(x,
y)
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
定理 如果函数z f ( x, y) 的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
沿线相乘，分线相加 11
例 1 设z eu sinv ，而u xy ，v x y ，
求 z 和z .
x y
解 z z u z v
z
x u x v x
u v
x y
eu sin v y eu cos v 1
z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
z
u
z
v
z
w
.
u v w
x y
y u y v y w y
13
2.复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函 数的情形
z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
exy(y sin(x y) cos(x y)),
z y
z u
u y
z v
v y
eu sinv x eu cosv 1
exy(xsin(x y) cos(x y)),
12
推论
设u ( x, y)、v ( x, y)、w w(x, y)都在
点( x, y)具有对 x和 y的偏导数，复合函数
dz z dx z dy x y
z
u
v
x
y
z u
u x
z v
v x
dx
z u
u y
z v
v y
dy
24
二元函数的全微分形式不变性
z u
u x
z v
v x
dx
z u
u y
z v
v y
dy
z u
u x
dx
u y
dy
z v
v x
dx
v y
dy
u (x, y)
v (x, y)
du u dx u dy x y
复习
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻域内有定
义，当 y y0 时,而 x在 x0 处有增量x 时，相应地函数有 增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在，则称此
dy dy du dx du dx
这一法则称为一元复合函数的链式求导法则. 现在，我们要将这一法则推广到多元复合函数.
9
1.复合函数的中间变量都是多元函数的情形
z f [ ( x, y), ( x, y)].
定理 2 如果u ( x, y)及v ( x, y)都在点( x, y) 具有对 x和 y的偏导数，且函数z f (u,v)在对应点
18
3.复合函数的中间变量都是一元函数的情形
设 z = f (x , y ) 可微，且 x (t), y (t) 对t
可导,则复合函数 z f [(t), (t)] 对t 可导,且
dz f
dx f
dy .
dt x dt y dt
x
z
t
y
全导数
19
例3 z v , u ex , v x2求 dz
求 z , z z f u f x y y u y y
2uex2y2u2 2xsin y
2uex2y2u2 x2 cos y
2xex2 y2 u2 (4x3 sin2 y 2x)ex2y2x4 sin2 y
2yex2 y2 u2
(2x4 sin y cos y 2y)ex2y2x4 sin2 y
x 0
x
极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对x的偏导
数, 记为
1
z x
， f x x0 x
z'x
，
x x0
x x0 y y0
或
f
'x (x0 ,
y0 ) .
y y0
y y0
f 'x ( x0 ,
y0 )
lim
x 0
f ( x0
x,
y0 ) x
f ( x0 ,
y0 )
两个二阶混合偏导数必相等．
5
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中 A, B不依赖于 x, y而仅与 x, y有关， (x)2 (y)2 ，则
称函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分， Ax By 称为函数z f ( x, y)在点( x, y)的全微分，记为 dz，即 dz= Ax By.
1 x2 y2 2
2x x2
y2
1
y
x2 y2
x2
x y x2 y2 ,
F ' y (x,
y)
y x2
x y2
,
dy
FБайду номын сангаас
' x
dx F'y
x y. y x
31
二元隐函数
2. F ( x, y, z) 0
z Fx z Fy （2） x Fz y Fz
32
推导 设z z( x, y),则有
7
第3节 多元复合函数与 隐函数求导法则
目的与要求
❖掌握二元函数的三种不同形式及链式法则, 并会求各种形式的偏导数或全微分
❖掌握隐函数的求导
8
一、 复合函数的求导法则
问题的提出
如果函数u ( x)在点x可导，函数y f (u)在对应 点u可导,则复合函数y f (( x))在点x可导,且有
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这 函数在 D 内可微分.
6
可微的必要条件
定理（必要条件）
如果函数 z f (x, y) 在点 (x, y)可微分， 则该函数在点 (x, y) 的偏导数必存在，且函数在
该点的全微分为
． dz z dx z dy. x y
定理：如果函数在点(x,y)的偏导数存在且连续， 则函数在该点可微分