4-2 相对论速度变换公式 modified
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∴ u ′y = uy
2 ′ 1 v u / c − ⋅ dt x , = dt 1 − v2 / c2
1− β 2 . u’ 和u 之间的变换关系 y y v 1 − 2 ux c
1− β 2 同 理 ， u ′z = . u’z和uz之间的变换关系 v 1 − 2 ux c uz
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洛仑兹速度变换式
u = (ux , u y , uz )
x
u = u '+ v
x′
在 K′系来看，P的速度为： u ' = ( u ' x , u ' y , u ' z ) 在经典伽利略变换下，速度满足：
速度分量满足：？….
问题: 在洛仑兹坐标变换下， u 和 u’ 之间满 足什么关系？
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洛仑兹速度变换
从最根本的定义出发，进行推导。
洛仑兹速度变换式讨论
d . 在洛仑兹速度变换下，光速不变。 K’系相对K系沿X轴 正向以v运动， 设在K系中, 光沿x轴传播， 即光速ux＝c, uy＝0, uz＝0, 根据洛仑兹速度变换，
O
y K
y′
K'
v
c
O′
x′ x
ux − v c−v u′x = = 2 2 1 − v ⋅ ux / c 1 − v ⋅ c / c
例题：设想一飞船以0.80c 的速度在地球上空飞行（沿x 轴），如果在飞船上沿y方向发射一光子， 问：从地面上看，光子速度如何？
K'
解： 选择地面参考系为K系， 飞船参考系为K’系
K
v
c
∴ v = 0 .8 0 c
在飞船（K’系）中，光子速度：
v
uz ' = 0.
x′
x
u ' x = 0, u y ' = c ,
两者大相径庭。相对论给出 ux< c。按相对论速度变换 ，在v和u’都小于c的情况下，u不可能大于c。
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例题4-2
y
解二：选择地面为K 系，飞船b为K’系，
y’ b x’ 0.9c 0.9c x a
飞船b相对地面以0.9c 速度沿X轴负向运动
即K’参考系相对于K参考系以 v＝－0.9c 的速 度沿X轴正方向运动。 已知飞船a相对K参考系(地面)的速度： ux = ＋0.9c 求：飞船a相对于K’系(飞船b ) 的速度： ux’ = ??
洛仑兹速度变换式
正变换
（同一物体的运动在不同惯性系 中的速度之间的关系）
逆变换
ux − v u 'x = v 1 − 2 ux c
uy 1 − v 2 / c 2 u'y = v 1 − 2 ux c
u 'x + v ux = v 1 + 2 u 'x c
u'y 1 − β 2 uy = v 1 + 2 u 'x c u 'z 1 − β 2 uz = v 1 + 2 u 'x c
c
2 x
u ′z 1 − v / c uz = v 1 + 2 u ′x c
2
2
= 0.6 c
=0
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补充例题
∴
ˆ + 0.6 c ˆ ˆ+u ˆ ˆ = 0.8 c i j u = ux i j + u k y z
∴
u=
=
u +u +u
2 x 2 y
2 z
(0.8 c ) 2 + (0.6 c ) 2
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例题4-2
由洛仑兹速度变换公式，可得：
u′ 0.9c + 0.9c 1.80 c x +v ∴ ux = = = 0.994c = ′ vux 1 + 0.9 × 0.9 1.81 1+ 2 c
即：飞船a 相对于飞船b 的速度为0.994c.
如用伽利略速度变换进行计算，结果为：
ux = u′ x + v = 0.9c + 0.9c = 1.8c > c
v t − 2 x c t′ = v2 1− 2 c
2 1 − v ⋅ u / c ′ dt x , = dt 1 − v2 / c2
ux − v . u’ 和 u 之间的变换关系 u ′x = x x v 1 − 2 ux c 4/16
洛仑兹速度变换
速度变换： dy ' dy ' dt u ′y = = ⋅ dt ' dt dt ' dy ' dy = uy , = dt dt
uz 1 − v 2 / c 2 u 'z = v 1 − 2 ux c
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洛仑兹速度变换式讨论
讨论：
a. 公式适用的条件： K’ 系 相对于 K系 沿X 轴正方向 以v 运动。
y K y′ K '
( x, y, z, t )
r′
v
r
O
O′
P
( x ′ , y′ , z ′ , t ′ )
x
x′
§4-2 相对论速度变换式
本节目的：从洛仑兹坐标变换公式导出 相对论的速度变换公式。
§4-2
相对论速度变换式
约定参考系：K，K’ 考虑质点 P 在空间 的运动，
y K y′ K 'v( x, y, z, t )
在 K 系来看，P的速度为：
r
O O′
r′
P
( x ′, y ′, z ′, t ′ )
b
a
0.9c 地 面
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0.9c
例题4-2
y’
yK b x 0.9c 0.9c x’ a
解一：选择飞船b为 K系，地面为K’系，
地面K’相对飞船bK以 0.9c速度沿X轴正向运
动， 即K’参考系相对于K参考系以v的速度沿X 轴正方向运动。
v = ＋0.9c ,
已知飞船 a 相对K’参考系(地面)的速度： ux’ = ＋0.9c 求：飞船a 相对于K系(飞船b) 的速度： ux = ??
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求：在地面（K系）中光子速度，u x = ?, u y = ?, uz = ?
补充例题
由洛仑兹速度变换 ，
u ′x + v 0 + 0.8 0 c = 0.80 c , = ux = 1+ 0 v 1 + 2 u ′x c 2 2 ′ uy 1− v / c c 1 − 0.8 2 = uy = v 1+ 0 1+ u′
ˆ + yj ˆ + zk ˆ) d r d ( x i 根据速度的定义： u = = dt dt dx ˆ dy ˆ dz ˆ = j+ k i + dt dt dt
ux ,
uy,
uz
dy ' ˆ dz ' ˆ d r ' = d x 'i ˆ + j+ k u'= dt ' dt ' dt ' dt '
u 'x ,
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u 'y ,
u 'z
洛仑兹速度变换
速度变换： dx ' dx ' dt u ′x = i = dt ' dt dt ' ux − v dx ′ , = dt 1 − v2 / c2
∴
洛仑兹坐标变换公式： x − vt , x′ = 2 v 1− 2 c
y′ = y, z′ = z,
若K’ 系相对 K系沿X轴负向以v运动，则v 为负值。 b . x 方向的相对运动，导致y，z方向上的速度修正。
c . 当v，u << c 时，β →0，γ →1，
⎧ u ′x = u x − v , ⎪ ⎨ u ′y = u y , ⎪ ′ ⎩ u z = uz
回到经典的伽利略 速度变换式
7/16
=c
不同参考系中，光子飞行方向变化，但是光速不 变。
再一次验证了： 在洛仑兹变换下，任意参考系中光速都是c。
16/16
作业： 习题
注意： 把题中的2.5×103m/s 改成 2.5×108m/s
4-11,13
17/16
12/16
例题4-2
由洛仑兹速度变换公式，可得：
ux − v ∴ u′x = vux 1− 2 c
0.9c − ( −0.9c ) = 1 − ( −0.9c × 0.9c ) / c 2
1.80c = 1.81
= 0.994c
同样得到： 飞船a 相对于飞船b 的速度为0.994c。
13/16
补充例题
= c.
u′y = 0, u′z = 0,
在任意参考系中，光速都是c。
相对论速度变换 遵从光速不变原理。
8/16
例题4-2
例题 4-2
在地面上测到有两个飞船 a 、 b 分别以 +0.9c
和-0.9c的速度沿相反的方向飞行, 如图所示。 求：飞船a 相对于 飞船b 的速度有多大。 研究 “飞船a” 的运动！
2 ′ 1 v u / c − ⋅ dt x , = dt 1 − v2 / c2
1− β 2 . u’ 和u 之间的变换关系 y y v 1 − 2 ux c
1− β 2 同 理 ， u ′z = . u’z和uz之间的变换关系 v 1 − 2 ux c uz
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洛仑兹速度变换式
u = (ux , u y , uz )
x
u = u '+ v
x′
在 K′系来看，P的速度为： u ' = ( u ' x , u ' y , u ' z ) 在经典伽利略变换下，速度满足：
速度分量满足：？….
问题: 在洛仑兹坐标变换下， u 和 u’ 之间满 足什么关系？
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洛仑兹速度变换
从最根本的定义出发，进行推导。
洛仑兹速度变换式讨论
d . 在洛仑兹速度变换下，光速不变。 K’系相对K系沿X轴 正向以v运动， 设在K系中, 光沿x轴传播， 即光速ux＝c, uy＝0, uz＝0, 根据洛仑兹速度变换，
O
y K
y′
K'
v
c
O′
x′ x
ux − v c−v u′x = = 2 2 1 − v ⋅ ux / c 1 − v ⋅ c / c
例题：设想一飞船以0.80c 的速度在地球上空飞行（沿x 轴），如果在飞船上沿y方向发射一光子， 问：从地面上看，光子速度如何？
K'
解： 选择地面参考系为K系， 飞船参考系为K’系
K
v
c
∴ v = 0 .8 0 c
在飞船（K’系）中，光子速度：
v
uz ' = 0.
x′
x
u ' x = 0, u y ' = c ,
两者大相径庭。相对论给出 ux< c。按相对论速度变换 ，在v和u’都小于c的情况下，u不可能大于c。
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例题4-2
y
解二：选择地面为K 系，飞船b为K’系，
y’ b x’ 0.9c 0.9c x a
飞船b相对地面以0.9c 速度沿X轴负向运动
即K’参考系相对于K参考系以 v＝－0.9c 的速 度沿X轴正方向运动。 已知飞船a相对K参考系(地面)的速度： ux = ＋0.9c 求：飞船a相对于K’系(飞船b ) 的速度： ux’ = ??
洛仑兹速度变换式
正变换
（同一物体的运动在不同惯性系 中的速度之间的关系）
逆变换
ux − v u 'x = v 1 − 2 ux c
uy 1 − v 2 / c 2 u'y = v 1 − 2 ux c
u 'x + v ux = v 1 + 2 u 'x c
u'y 1 − β 2 uy = v 1 + 2 u 'x c u 'z 1 − β 2 uz = v 1 + 2 u 'x c
c
2 x
u ′z 1 − v / c uz = v 1 + 2 u ′x c
2
2
= 0.6 c
=0
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补充例题
∴
ˆ + 0.6 c ˆ ˆ+u ˆ ˆ = 0.8 c i j u = ux i j + u k y z
∴
u=
=
u +u +u
2 x 2 y
2 z
(0.8 c ) 2 + (0.6 c ) 2
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例题4-2
由洛仑兹速度变换公式，可得：
u′ 0.9c + 0.9c 1.80 c x +v ∴ ux = = = 0.994c = ′ vux 1 + 0.9 × 0.9 1.81 1+ 2 c
即：飞船a 相对于飞船b 的速度为0.994c.
如用伽利略速度变换进行计算，结果为：
ux = u′ x + v = 0.9c + 0.9c = 1.8c > c
v t − 2 x c t′ = v2 1− 2 c
2 1 − v ⋅ u / c ′ dt x , = dt 1 − v2 / c2
ux − v . u’ 和 u 之间的变换关系 u ′x = x x v 1 − 2 ux c 4/16
洛仑兹速度变换
速度变换： dy ' dy ' dt u ′y = = ⋅ dt ' dt dt ' dy ' dy = uy , = dt dt
uz 1 − v 2 / c 2 u 'z = v 1 − 2 ux c
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洛仑兹速度变换式讨论
讨论：
a. 公式适用的条件： K’ 系 相对于 K系 沿X 轴正方向 以v 运动。
y K y′ K '
( x, y, z, t )
r′
v
r
O
O′
P
( x ′ , y′ , z ′ , t ′ )
x
x′
§4-2 相对论速度变换式
本节目的：从洛仑兹坐标变换公式导出 相对论的速度变换公式。
§4-2
相对论速度变换式
约定参考系：K，K’ 考虑质点 P 在空间 的运动，
y K y′ K 'v( x, y, z, t )
在 K 系来看，P的速度为：
r
O O′
r′
P
( x ′, y ′, z ′, t ′ )
b
a
0.9c 地 面
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0.9c
例题4-2
y’
yK b x 0.9c 0.9c x’ a
解一：选择飞船b为 K系，地面为K’系，
地面K’相对飞船bK以 0.9c速度沿X轴正向运
动， 即K’参考系相对于K参考系以v的速度沿X 轴正方向运动。
v = ＋0.9c ,
已知飞船 a 相对K’参考系(地面)的速度： ux’ = ＋0.9c 求：飞船a 相对于K系(飞船b) 的速度： ux = ??
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求：在地面（K系）中光子速度，u x = ?, u y = ?, uz = ?
补充例题
由洛仑兹速度变换 ，
u ′x + v 0 + 0.8 0 c = 0.80 c , = ux = 1+ 0 v 1 + 2 u ′x c 2 2 ′ uy 1− v / c c 1 − 0.8 2 = uy = v 1+ 0 1+ u′
ˆ + yj ˆ + zk ˆ) d r d ( x i 根据速度的定义： u = = dt dt dx ˆ dy ˆ dz ˆ = j+ k i + dt dt dt
ux ,
uy,
uz
dy ' ˆ dz ' ˆ d r ' = d x 'i ˆ + j+ k u'= dt ' dt ' dt ' dt '
u 'x ,
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u 'y ,
u 'z
洛仑兹速度变换
速度变换： dx ' dx ' dt u ′x = i = dt ' dt dt ' ux − v dx ′ , = dt 1 − v2 / c2
∴
洛仑兹坐标变换公式： x − vt , x′ = 2 v 1− 2 c
y′ = y, z′ = z,
若K’ 系相对 K系沿X轴负向以v运动，则v 为负值。 b . x 方向的相对运动，导致y，z方向上的速度修正。
c . 当v，u << c 时，β →0，γ →1，
⎧ u ′x = u x − v , ⎪ ⎨ u ′y = u y , ⎪ ′ ⎩ u z = uz
回到经典的伽利略 速度变换式
7/16
=c
不同参考系中，光子飞行方向变化，但是光速不 变。
再一次验证了： 在洛仑兹变换下，任意参考系中光速都是c。
16/16
作业： 习题
注意： 把题中的2.5×103m/s 改成 2.5×108m/s
4-11,13
17/16
12/16
例题4-2
由洛仑兹速度变换公式，可得：
ux − v ∴ u′x = vux 1− 2 c
0.9c − ( −0.9c ) = 1 − ( −0.9c × 0.9c ) / c 2
1.80c = 1.81
= 0.994c
同样得到： 飞船a 相对于飞船b 的速度为0.994c。
13/16
补充例题
= c.
u′y = 0, u′z = 0,
在任意参考系中，光速都是c。
相对论速度变换 遵从光速不变原理。
8/16
例题4-2
例题 4-2
在地面上测到有两个飞船 a 、 b 分别以 +0.9c
和-0.9c的速度沿相反的方向飞行, 如图所示。 求：飞船a 相对于 飞船b 的速度有多大。 研究 “飞船a” 的运动！