甘肃省高一下学期中考试数学试题(解析版)8

高一下学期期中考试数学试题
一、选择题
1．数列1,4,9,16,25-- 的一个通项公式是（ ） A. 2n a n = B. ()21n
n a n =- C. ()
1
21n n a n +=- D. ()()2
11n n a n =-+
【答案】C
【解析】数列奇数项为正，偶数项为负，绝对值为序号的平方，因此有
()
1
21n n a n +=-，故选C ．
2．已知平面向量()1,2a = ， ()2,m b =- ，且a b
，则b = （ ）
A.
B.
C.
D. 【答案】A
【解析】由于向量， ()1,2a = ， ()2,m b =- ，且a b
，从而220m +⨯=，即4m =-，
所以b =
= A.
3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S 等于（ ） A. 13 B. 35 C. 49 D. 63 【答案】C
【解析】试题分析：依题意有21613
{
511
a a d a a d =+==+=，解得11,2a d ==，所以
7172149S a d =+=.
【考点】等差数列的基本概念.
【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的
通项公式
()11n a a n d
=+-及前n 项和公式
()()1112
2
n n n a a n n S na d +-=
=+
，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就
能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
4．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，
若
230c b C ===︒，，则角B 等于（ ） A. 30︒ B. 60︒ C. 30︒或60︒ D. 60︒或120︒ 【答案】D
【解析】
试题分析：因为230c b C ===︒，，所以由正弦定理可得：
1
sin 2sin 22
b C
B c
=
==，因为b c >，可得： ()30180B ∈︒︒，，所以60B =︒或120︒，故选D. 【考点】正弦定理 5．在等比数列{}n a 中，若公比32,7q S ==，则6S 的值为（ ） A. 64 B. 63 C. 58 D. 56
【答案】B
【解析】试题分析： 32,7q S == 345637856a a a S q ∴++==⨯=
675663S ∴=+=,故选B.
6．在等差数列{}n a 中， 515a =，则3458a a a a +++的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 【答案】B
【解析】试题分析：由题意得，因为数列{}n a 为等差数列，由等差数列的性质可得
()()()345835484652460a a a a a a a a a a a +++=+++=+==，故选C ． 【考点】等差数列的性质．
7．在ABC ∆中， ,,a b c ，分别是角,,A B C 的对边，若角A B C 、、成等差数列，且3,1a c ==， 则b 的值为（ ）
A.
B. 7
C. D. 2
【答案】A
【解析】试题分析：角A B C 、、成等差数列，有2,3
B A
C B B π
π=+=-∴=
，
13,1,cos 2
a c B ===
，由余弦定理得：
2222cos 9137,b a c ac B b =+-⋅=+-=∴=,故选A.
8．已知12-1,,,4a a - 成等差数列，且1231,,,,4b b b --成等比数列，则21
2
a a
b -的值为（ ）
A. —
12 B. 12 C. 12或—12 D. 14 【答案】A
【解析】由题意()214113
a a ----==-， ()()2
214b =-⨯-， 22b =-（2b 与－
1，－4同号），所以
2121122
a a
b --==-，故选A ． 9．《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每
天比前一天多织相同量的布，现在一月（按30天计）共织布390尺，最后一天织布21尺”，则该女第一天共织多少布？（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C
【解析】由题意，设第n 天织布为,n a 数列{}n a 是等差数列，公差为d ，
11152129{ {
,16302939030292
a a d
d a d
==+⇒⨯==+ 所以第一天织布为5尺，选C. 10．已知非零向量AB 与C A 满足•0AB AC
BC AB AC ⎛⎫ ⎪+= ⎪⎝⎭
，且1•2AB AC AB AC
=- ，则ABC ∆的形状为（ ）
A. 等边三角形
B. 等腰非等边三角形
C. 三边均不相等的三角形
D. 直角三角形 【答案】B
【解析】注意到AB AB 表示与AB 同向的单位向量， AC
AC
表示与AC 同向的单位向量，所以AB AB AC
AC +
表示以与AB 同向的单位向量和与AC 同向的单
位向量为邻边的平行四边形的对角线，因为(AB AB )0AC BC AC +⋅=
,所以
AB = AC ；由AB AB
1
2AC AC
⋅
=-
可以得出AB 与AC 夹角为120 ，
所以ABC ∆为等腰非等边三角形,故选B. 11．已知菱形ABCD 边长为2， 3
B π
∠=
，点P 满足AP AB λ=
， R λ∈．若
3BD CP ⋅=-
，则λ的值为（ ）
A.
12 B. 12- C. 13 D. 13- 【答案】A
【解析】试题分析：因为菱形ABCD 边长为2， 3
B π
∠=
，所以，
22cos 23
BA BC π
⋅=⨯= .
所以()()
BD CP BA BC BP BC ⋅=+⋅-
()()()
()1BA BC AP AB BC BA BC AB BC λ⎡⎤=+⋅--=+⋅--⎣⎦
()()22
1|1|BA BA BC BA BC BC λλ=--⋅+-⋅-
()()14221463,λλλ=-⨯-+--=-=-故1
2
λ=
，选A ． 【考点】1、平面向量的数量积；2、平面向量的线性运算；3、菱形的性质．
12．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >，其中正确命题的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B
【解析】7670S S a -=< ， 6560S S a -=> ，所有760d a a =-< ，①正确；
()
111116111102a a S a +=
=> ，②正确；
75670S S a a -=+> ，
()
()112126712602
a a S a a +=
=+> ，③正确；因为670,0a a ><，所有数列{}
n S 的最大项为6S ，④不正确；因为67670a a a a +>⇒>- ，即67a a > ，⑤正确. 故选B.
二、填空题
13．实数2和8的等比中项是__________． 【答案】4±
【解析】所求的等比中项为：
4=± . 14．在数列{}n a 中， 114a =- ，且1
11n n a a -=- (1)n >，则2017a 的值是________. 【答案】14
-
【解析】2145a =+=， 345a =， 41
4
a =-,……,所以数列是周期数列， 并且3T =,那么2017
3672111
4
a a a ⨯+===-.
15．在直角三角形ABC 中， 90C =︒， 6AC =， 4BC =，若点D 满
足D 2DB A =-
，则CD = ______．
【答案】10
【解析】试题分析：因为90C =︒， 6AC =， 4BC =，所以以可以C 为原点，以,CB CA 所在直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则()()4,0,0,6B A ，
设(),D x y ，由2AD DB =- 得()
()824{ ,{ ,8,6662x x x D y y y
==---=--=，可得CD =
10，故答案为10.
【考点】1、共线向量的性质；2、向量的坐标表示及几何意义.
【方法点睛】本题主要考查共线向量的性质、向量的坐标表示及几何意义，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答(这种方法将几何问题转化为代数问题你，更加直观)．本题就是根据三角形特点，建立直角坐标系后进行解答的
.
60︒15︒
【答案】
【解析】根据题意，可得出753045B ∠=︒-︒=︒ ，在ABC 中，根据正弦
定理得：
148BC ⨯
=
=
三、解答题
17．已知向量a (1=， 2)， b (3=-， 4)． （1）求a b +与a b -的夹角；
（2）若a (⊥ a λ+ b )，求实数λ的值．
【答案】（1）a b +与a b -的夹角为；（2）1λ=-.
【解析】试题分析：（1）由条件中()1,2a = ， ()3,4b =- 可求得()
2,6a b +=- 与()4,2a b -=-
，从而可求得()()
()246220a b a b +-=-⋅+⋅-=- ，
a b +=
， a b -=
，再由平面向量数量积的定义
(
)()
cos ,a b a b a b a b a b a b +-=+⋅-⋅+- 可求得cos ,2
a b a b +-=-
从而可知夹角为
；（2）由()
a a
b λ⊥+
可知
，再由已知条件
()1,2a = ，
()3,4b =- 可求得()13,24a b λλλ+=-+
，从而可以得到关于的方程13480λλ-++=即可解得1λ=-.
试题解析：（1）∵(1a =， 2)， (3b =-， 4)， ∴(2a b +=-， 6)， (4a b -=， 2)-， 2分
∴2642cos
a b a b -⋅-+-=
==，
，，； 5分 又∵()0,a b a b π+-∈，，∴34
a b a b π
+-=
，； 6分 （2）当()a a b λ⊥+时， ()0a a b λ⋅+=， 8分
∴()()1213240λλ⋅-+=，，，则13480λλ-++=，∴1λ=-． 12分 【考点】平面向量的数量积.
18．已知三个数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，9就成等比数列，求这三个数.
【答案】所求三个数为，，或
，，
.
【解析】试题分析：根据对称性，可将成等差数列的三个数分别设为
，再由条件分别加上，，就成等比数列，可以得到关于，
的方程组
，解得或，即所求
三个数为，，或
，，
.
试题解析：设三个数为，则：，
则或，
故所求三个数为，，或
，，
.
【考点】1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和.
19．在锐角ABC ∆中， ,,a b c 是角,,A B C 2sin c A =． （1）求角C 的大小；
（2）若2a =，且ABC ∆，求c 的值．
【答案】（1）060C =（2）c =
【解析】试题分析：（1）2sin sin A C A =即
可得sin C =，故060C =（2）∵1sin 2S ab C ==，∴3b =再由余弦定
理可得边c 试题解析： 解：
（12sin sin A C A =，
∵,A C 是锐角，∴sin C =
，故060C =.
（2）∵1sin 2S ab C =
=
，∴3b = 由余弦定理得2222cos 49237c a b ab C =+-=+-⨯=
∴c =点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在
角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长 20．已知数列{}n a 满足121n n a a +=+，且11a =． （1）证明：数列{}1n a +是等比数列；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得62n S n ≥-成立62n ≥-的正整数n 的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）正整数n 的最小值是5
【解析】试题分析：（1）构造()1121n n a a ++=+ ⇒
{}11
211
n n n a a a ++=++是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）知1221n n n n a a +==- ⇒
()
12122222n n n S n n +=+++-=-- ⇒ 12645n n +≥≥ ⇒正整数n 的最
小值是5.
试题解析：（1）由已知有： ()1121n n a a +∴+=+ 又1120a +=≠ ， 11
21
n n a a ++∴
=+ 所以{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知， 12n n a +=， 21n n a ∴=-， 所以()
(
)121
122122222
212
n n n n n S a a a n n n +-=+++=+++-=-=---
由n S 62n ≥-得1264165n n n +≥+≥≥，，， 所以正整数n 的最小值是5.
21．如图，在ABC ∆中， 10AC =,
AB = 6BC =， D 是边BC 延长线上的一
点， 30ADB ∠= ，
（1）•AC CB （2）求AD 的长.
【答案】（1）•30AC CB =-
（2
）AD =【
解
析
】
试
题
分
析
：
(1)
由
余
弦
定
理
得
2221cos 60?3022
AC BC AB ACB ACB AC CB AC BC +-∠==∠==-⋅
(2)由正弦定理得,
sin sin AC AD ADB ACB =∠∠ ⇒
sin sin AC ACB
AD ADB
⋅∠=
=∠ 试题解析：(1)在ABC ∆中， 10AC =,
AB =, 6BC =，
由余弦定理得22210036761
cos 221062
AC BC AB ACB AC BC +-+-∠=
==⋅⨯⨯， 所以60ACB ∠=
, •30AC CB =-
(2) ACD 120∠= 在ACD ∆中， 10AC =, 30ADB ∠= , 120ACD ∠= ，由正弦定理得,
sin sin AC AD
ADB ACB
=∠∠
所以sin 10sin120sin sin30
AC ACB AD ADB ⋅∠⋅===∠
22．已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和为n S 满足2
12n n a S +⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，设 ()10n n b a n N =-∈.
（1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最大值. （3）设数列{}n c 的通项公式为n
n n a c a t
=
+，问: 是否存在正整数t ，使得12m c c c ，，
()3m m N ≥∈，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明
理由.
【答案】（1）证明见解析， 21n a n =- （2）2max 510525n T =-+⨯= （3）存在正整数235
,,{
{ { 754
t t t t m m m m ======、、 ，使得12m c c c ，，成等差数列 【解析】试题分析：（1）当1n =时， 2
1111112a a S a +⎛⎫
=== ⎪⎝⎭．当2n ≥时，
{}2
2
11111222n n n n n n n n a a a S S a a a ---++⎛⎫⎛⎫
=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是等差数列，
21n a n =-；（2）{}1102112n n n n n b a n b b b -=-=-+-=-是等差数列⇒
()12102
n n n b b T n n +=
=-+ ⇒ 2max 510525n T =-+⨯=；（3）12m c c c ，，成等
差数列⇒ 213121422331211
m m c c c m t t m t t -=+⨯
=+=+++-+- ⇒t 只能取2，3，5⇒当2t =时， 7m =；当3t =时， 5m =；当5t =时， 4m = ⇒故存在
正整数t ，使得12m c c c ，，成等差数列
试题解析：（1）当1n =时， 2
11112a a S +⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，∴11a =．
当2n ≥时， 22
111122n n n n n a a a S S --++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即22
11220n n n n a a a a -----=
∴22
112121n n n n a a a a ---+=++，∴()()2
2
111n
n a a --=+，∴111n n a a --=+ ∴12n n a a --=，所以{}n a 是等差数列， 21n a n =-．
（2）10211n n b a n =-=-+， 19b =，∵12n n b b --=-，∴{}n b 是等差数列， ∴()12102
n n n b b T n n +=
=-+，当5n =时， 2max 510525n T =-+⨯=．
（3）由（1）知21
21n n c n t
-=
-+.要使12m c c c ，，成等差数列，必须212m c c c =+，
即312123121m t t m t -⨯=+++-+，…….整理得431m t =+-， 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.
当2t =时， 7m =；当3t =时， 5m =；当5t =时， 4m =.
故存在正整数t ，使得12m c c c ，，成等差数列。