人教版B版高中数学必修5等差数列

(2)由上述可知， an＝ a1＋(n－1)·1＝n， ∴an＝n2.
已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，a＋b c，a＋c b也 成等差数列．
【思路点拨】 只要证明b＋a c＋a＋c b＝2ab＋c，而已知条
件为1a＋1c＝2b，因此，这其实就是一个条件等式的证明问题．
【证明】 ∵1a，1b，1c为等差数列， ∴2b＝1a＋1c，即 2ac＝b(a＋c)． ∵b＋a c＋a＋c b＝cb＋c＋acaa＋b＝c2＋a2＋acba＋c ＝a2＋ca2c＋2ac＝2baa＋＋cc2＝2ab＋c. ∴b＋a c，a＋b c，a＋c b为等差数列．
【解析】 设数列{an}的公差为 d，由题意知：
a1＋4d＝11 a1＋7d＝5
，解得ad1＝＝－192
，
故 an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21. ∴a10＝－2×10＋21＝1.
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有 关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均
【解析】 (1)数列{ an}是等差数列，理由如下： 由 an＋1－ an＋1＝an＋ an得 an＋1－an＝ an＋1＋ an， 即( an＋1＋ an)( an＋1－ an) ＝ an＋1＋ an. 由于 an＞0，故 an＋1＋ an＞0， ∴ an＋1－ an＝1 即数列{ an}是首项为 a1＝1，公差为 1 的等差数列．
(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义：其一， 第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻 合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保 证使数列中各项均与其前面一项作差．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求， 它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减 前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
通项公式
an－an－1＝d(n≥2) an＝ a1＋(n－1)d .
3.等差中项
(1)如果三个数x、A、y组成等差数列 ，那么 A 叫做 x 和
y 的等差中项．
x＋y
(2)如果A是x和y的等差中项，则A＝ 2
4．从函数角度认识等差数列

若数列
a
n

是等差数列，首项a1，公差d，则an＝f(n)＝a1＋(n－
等差数列
1．数列{an}的前4项为－1,1,3,5，则其一个通项公式为 an＝2n－3
2 ． 若 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 an ＝ 5n ＋ 1 ， 则 其 前 5 项 依 次 为 6,11,16,21,26 ，第10项为 51
3．若{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋4，则该数列的前4项依次 为 3,7,11,15 ，a2－a1＝ 4 ，a3－a2＝ 4 ，a4－a3＝ 4 .其通 项公式an＝ 4n－1 .
判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋1－an ＝ d(d 为 常 数 ) ， 也 可 以 用 an ＋ 1 － an ＝ an － an － 1(n≥2) 进 行 判 断．本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思
想方法，运用方程思想求通项公式．
2.正项数列{an}满足 a1＝1.an＋1－ an＋1＝an＋ an. (1)数列{ an}是否是等差数列？说明理由； (2)求 an.
【提示】 等差数列的公差决定了数列的单调性
①当d＞0时，{an}是递增数列； ②当d＜0时，{an}是递减数列； ③当d＝0时，{an}是常数列，不是递增数列，也不是递减数
列．

在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
【思路点拨】 先求出首项和公差，写出通项公式，再求a10.
由通项公式，得 a12＝a1＋(12－1)d，即 110＝33＋11d. 解得 d＝7，因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4 ＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96， a11＝103. 所以梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40 cm,47 cm,54 cm，61 cm，68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
已知等差数列an中，a2＋a6＋a10＝1，求 a3＋a9. 【思路点拨】 既可以用等差数列的性质得到a2＋a10＝a3＋
a9＝2a6，也可以由通项公式得a1与d间的关系再求解．
【解析】 方法一：根据等差数列的性质
a2＋a10＝a3＋a9＝2a6. 由 a2＋a6＋a10＝1， 得 3a6＝1，解得 a6＝13. ∴a3＋a9＝2a6＝23.
an＋1 a1n是否为常数即可．
【解析】 (1)数列a1n是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝a2n＋an2，∴an1＋1＝an2＋an2＝12＋a1n， ∴an1＋1－a1n＝12，即a1n是首项为a11＝12，公差 d＝12的等差 数列． an＝2n.
通性通法．两种方法都运用了整体代换及方程的思想．
4.(1)在等差数列中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列的 通项公式．
(2)设为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.
【解析】 (1)∵a1＋a7＝2a4＝a2＋a6， ∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15. ∴a4＝5，∴a2＋a6＝10 且 a2a6＝9. ∴a2、a6 是方程 x2－10x＋9＝0 的两根， ∴aa26＝＝19，， 或aa26＝＝91，. 若 a2＝1 且 a6＝9，则 d＝2，∴an＝2n－3. 同理可得 an＝13－2n.故 an＝2n－3 或 an＝13－2n.
方法二：根据等差数列的通项公式，得 a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d) ＝3a1＋15d. 由题意知 3a1＋15d＝1，即 a1＋5d＝13. ∴a3＋a9＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝23.
方法一运用了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am ＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；方法二利 用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于
(3)若an是公差为 d 的等差数列，则下列数列：
① c＋a (c


n
为任一常数)是公差为
d
的等差数列；
② c·a (c


n
为任一常数)是公差为
cd
的等差数列；
③ a ＋a (k

n

n＋k
为常数，k∈N＋)是公差为
(3)注意定义中的．“同一常数”这一要求，否则这个数列不 能称为等差数列．
2．判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)等价于{an}是等 差数列．
(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)等价于{an}是 等差数列．
在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考 虑利用数列方法解决．若这组数依次成直线上升或下降，则 可考虑利用等差数列方法解决．
在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等 关键问题．
5.甲虫是行动较快的昆虫之一．下表记录了某种类型的甲虫的 爬行速度：
时间t(s) 1 2 3 … ？ … 60

梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还
有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．
【思路点拨】 由题意可知，问题就是已知数列的首、末两 项和项数，求中间其它项，因此，先求通项公式．
【解析】 用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差 数列，由已知可得 a1＝33，a12＝110，n＝12.
(2)方法一：a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 方法二：因为an为等差数列，设首项为 a1，公差为 d. ∴a3＋a4…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋ 20d， 即 5a1＋20d＝450，∴a1＋4d＝90， ∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180.
三个数x，y，z成等差数列的充要条件是x＋z＝2y，即若已知 x、y、z成等差数列，则2y＝x＋z，反之要证x，y，z成等差 数列，则只要证x＋z＝2y即可．
3.已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b) 是否构成等差数列？
【解析】 ∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b. 又a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a) ＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b) ＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0， ∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)， 即a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)能构成等差数列．
1．等差数列的定义
如果一个数列从第 二 项起，每一项与它的前一项的差都等 于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数 叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示．
2．等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列an的首项为 a1，公差为 d，则有：
递推公式
1)d＝nd＋(a1－d)．由此可看出：
(1)an是n的 一次 函数
(2)点(n，an)落在直线 y＝dx＋(a1－d) 上．
(3)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 d .
5．等差数列的性质 (1)等差数列的项与序号的关系
两项关系
多项关系
通
项公 ＋
式的推广 (n－m)
：
an ＝ am d(m，
距离S(cm) 9.8 19.6 29.4 … 49 … ？
(1)你能建立一个模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关 系吗？
(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？
【解析】 (1)由表可知，表示距离的数列从第 2 项起， 每一项与其前一项的差都是常数 9.8，
项的运算性质：若m＋n＝p＋q(m， n，p，q∈N＋)，则 am＋an ＝ap
n∈N＋)
＋aq
(2)等差数列的项的对称性 有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等 于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的 2 倍)，即 a1＋an＝a2＋ an－1 ＝ak＋ an－k＋1 ＝2an＋2 1(其中 n 为奇数且 n≥3)．
所以是等差数列模型． 因为 a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离 S 与时间 t 的关系是 S＝9.8t. (2)当 t＝1(min)＝60(s)时，S＝9.8t＝9.8×60＝588(cm)． 当 S＝49(cm)时，t＝9S.8＝94.98＝5(s)．
1．理解等差数列的定义需注意的问题
2d
的等差数列；
(4)若 a 、 b 分别是公差为 n

n

d1、d2 的等差数列，则数列
pan＋qbn(p、q 是常数)是公差为 pd1＋qd2 的等差数列．
如果{an}是公差为d的等差数列，那么，d与{an}的单调性有什 么关系？
可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式 的变形及整体计算，以减少计算量．
1.本例中，将条件改为已知a5＝11，an＝1，d＝－2，如何求 n?
【解析】 由已知aa11＋＋4n×－－12－＝21＝1 1 ，解得 a1＝19， n＝10.
已知数列{an}，满足 a1＝2，an＋1＝a2n＋an2， (1)数列a1n是否为等差数列？说明理由； (2)求 an. 【思路点拨】 只要将已知的递推关系变形判断 1 －