天津市滨海新区2018-2019学年七年级(下)期末数学试卷 含解析

2018-2019学年七年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列各数中是无理数的是（）
A．B．0.5C．D．
2．下列各点中，位于直角坐标系第二象限的点是（）
A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）3．比实数小的数是（）
A．2B．3C．4D．5
4．调查某班级的学生对数学老师的喜欢程度，下列最具有代表性的样本是（）A．调查全体女生
B．调查所有的班级干部
C．调查学号是3的倍数的学生
D．调查数学兴趣小组的学生
5．若a≥0，则4a2的算术平方根是（）
A．2a B．±2a C．D．|2a|
6．如果a＞b，那么下列不等式成立的是（）
A．a﹣b＜0B．a﹣3＜b﹣3C．﹣a＜﹣b D．a＜b
7．方程2x﹣y＝3和2x+y＝9的公共解是（）
A．B．C．D．
8．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD 9．已知是关于x，y的方程组，则x+y的值为（）
A．3B．6C．9D．12
10．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D、E分别在AB、BC边上，BD＝BE＝1．沿直线将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为（）
A．（1，2）B．（2，1）C．（2，2）D．（3，1）
11．某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（）
A．120x≥80×5%B．120x﹣80≥80×5%
C．120×≥80×5%D．120×﹣80≥80×5%
12．已知4＜m≤5，则关于x的不等式组的整数解的个数共有（）A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共5小题）
13．π的相反数是，﹣的绝对值是，2的平方根是．
14．如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2；④∠1＝∠3；⑤∠1+∠4＝180°，其中正确的是．
15．已知一组数据有50个，其中最大值是142，最小值是98．若取组距为5，则可分为组．
16．在平面直角坐标系中，已知点A（7﹣2m，5﹣m）在第二象限内，且m为整数，则A 点坐标为．
17．如图，已知，AB∥CD∥EF，∠E＝140°，∠A＝115°，则∠ACE＝度．
18.小明和小华分别用四个完全相同的，直角边为a，b（a＜b）的三角形拼图，小华拼成的
长方形（如图①）的周长为20．小明拼成的正方形（如图②）中间有一个边长为1的正方形小孔．
（1）能否求出图中一个直角三角形的面积？（填“能”或“否”）；
（2）若能，请你写出一个直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
三、解答题
19.解方程组：
（1）
（2）
20.解不等式（组）：
（Ⅰ）解不等式：＜
（Ⅱ）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答；
（1）解不等式①，得：；
（2）解不等式②，得：；
（3）把不等式①和②的解集在如图数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为．
21.完成下面的证明．
已知：如图，D是BC上任意一点，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD，垂足为F．求证：∠1＝∠2．
证明：∵BE⊥AD，
∴∠BED＝（垂直定义）．
∵CF⊥AD，
∴∠CFD＝．
∴∠BED＝∠CFD．
∴BE∥CF（）．
∴∠1＝∠2（）．
22.滨海新区某中学为了了解学生每周在校体育锻炼的时间，在本校随机抽取了若干名学生
进行调查，并依据调查结果绘制了不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题
（1）表中的a＝，b＝；
（2）请将频数分布直方图补全；
（3）若绘制扇形统计图，时间段6≤x＜7所对应扇形的圆心角的度数是多少？
（4）若该校共有1200名学生，估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为多少名？
23.如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．
（1）求证：ED∥AB；
（2）过点D画直线MN，使MN∥OC交AB于点N，若∠EDM＝25°，补全图形，并求∠1的度数．
24.某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种树苗，第一次分别购进A、B两种树苗
30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种树苗12棵和5棵，共花费265元．两次购进的A、B两种树苗价格均分别相同．
（1）A、B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
解：设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元
根据题意列方程组，得：
解这个方程组，得：
答：．
（2）若购买A、B两种树苗共31棵，且购买树苗的总费用不超过320元，则最多可以购买A种树苗多少棵？
25.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a，b满足
（a﹣3）2+|b﹣6|＝0．现将线段AB向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到线段CD，点A，B的对应点分别为点C，D．连接AC，BD
（1）如图①，求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；
（2）在y轴上是否存在一点M，使三角形MCD的面积与四边形ABDC的面积相等？若
存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由；
（3）如图②，点P是直线BD上的一个动点，连接P A，PO，当点P在直线BD上移动时（不与B，D重合），直接写出∠BAP，∠DOP，∠APO之间满足的数量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列各数中是无理数的是（）
A．B．0.5C．D．
【分析】根据无限不循环的小数为无理数，可得答案．
【解答】解：，，
∴、、0.5是有理数，是无理数．
故选：D．
2．下列各点中，位于直角坐标系第二象限的点是（）
A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、（2，1）在第一象限，故本选项错误；
B、（﹣2，﹣1）在第三象限，故本选项错误；
C、（2，﹣1）在第四象限，故本选项错误；
D、（﹣2，1）在第二象限，故本选项正确．
故选：D．
3．比实数小的数是（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据实数的估计解答即可．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴2＜＜3，
∴比实数小的数是2，
故选：A．
4．调查某班级的学生对数学老师的喜欢程度，下列最具有代表性的样本是（）A．调查全体女生
B．调查所有的班级干部
C．调查学号是3的倍数的学生
D．调查数学兴趣小组的学生
【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【解答】解：本题中调查某班级的学生对数学老师的喜欢程度，调查调查学号是3的倍数的学生就具有代表性．
故选：C．
5．若a≥0，则4a2的算术平方根是（）
A．2a B．±2a C．D．|2a|
【分析】根据算术平方根的定义，4a2的算术平方根记作，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵a≥0，
∴4a2的算术平方根为，
∵＝2a，
∴4a2的算术平方根是2a．
故选：A．
6．如果a＞b，那么下列不等式成立的是（）
A．a﹣b＜0B．a﹣3＜b﹣3C．﹣a＜﹣b D．a＜b
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a﹣b＞0，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴a﹣3＞b﹣3，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴选项C符合题意；
∵a＞b，
∴a＞b，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
7．方程2x﹣y＝3和2x+y＝9的公共解是（）
A．B．C．D．
【分析】联立两方程组成方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：联立得：，
①+②得：4x＝12，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝3，
则方程组的解为，
故选：D．
8．如图，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有条件（）
A．∠1＝∠2B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD 【分析】由平行线的性质得出∠1＝∠2，再由∠1＝∠DFE，得出∠2＝∠DFE，由内错角相等，两直线平行即可得出DF∥BC．
【解答】解：要使DF∥BC，只需再有条件∠1＝∠DFE；理由如下：
∵EF∥AB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠DFE，
∴∠2＝∠DFE，
∴DF∥BC；
故选：B．
9．已知是关于x，y的方程组，则x+y的值为（）
A．3B．6C．9D．12
【分析】方程组两方程相加表示出x+y即可．
【解答】解：，
①+②得：x+y+a﹣3＝a+6，
整理得：x+y＝9，
故选：C．
10．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D、E分别在AB、BC边上，BD＝BE＝1．沿直线将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为（）
A．（1，2）B．（2，1）C．（2，2）D．（3，1）
【分析】首先根据折叠可以得到B′E＝BE，B′D＝BD，又点B的坐标为（3，2），BD ＝BE＝1，根据这些条件即可确定B′的坐标．
【解答】解：∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2），∴CB＝3，AB＝2，
又根据折叠得B′E＝BE，B′D＝BD，而BD＝BE＝1，
∴CE＝2，AD＝1，
∴B′的坐标为（2，1）．
故选：B．
11．某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（）
A．120x≥80×5%B．120x﹣80≥80×5%
C．120×≥80×5%D．120×﹣80≥80×5%
【分析】直接利用打折与利润的计算方法得出不等关系进而得出答案．
【解答】解：设该商品打x折销售，根据题意可得：
120×﹣80≥80×5%．
故选：D．
12．已知4＜m≤5，则关于x的不等式组的整数解的个数共有（）A．2B．3C．4D．5
【分析】表示出不等式组的解集，由m的范围确定出整数解的个数即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
∵4＜m≤5，
∴整数解为2，3，4，共3个，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
13．π的相反数是﹣π，﹣的绝对值是，2的平方根是±．【分析】结合平方根和绝对值的概念进行求解即可．
【解答】解：π的相反数是：﹣π，
|﹣|＝，即﹣绝对值是，
2的平方根是：±．
故答案为：﹣π，，±．
14．如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：①∠1和∠2互为对顶角；②∠1和∠2互为邻补角；③∠1＝∠2；④∠1＝∠3；⑤∠1+∠4＝180°，其中正确的是②④⑤．
【分析】根据对顶角和邻补角的定义逐个判断即可．
【解答】解：∠1和∠2是邻补角，不是对顶角，故①错误；
∠1和∠2互为邻补角，故②正确；
∠1和∠2不一定相等，故③错误；
∠1和∠3是对顶角，所以∠1＝∠3，故④正确；
∠1和∠4是邻补角，所以∠1+∠4＝180°，故⑤正确；
故答案为：②④⑤．
15．已知一组数据有50个，其中最大值是142，最小值是98．若取组距为5，则可分为9组．
【分析】根据组数＝（最大值﹣最小值）÷组距计算．
【解答】解：∵极差为142﹣98＝44，
∴可分组数为44÷5≈9，
故答案为：9．
16．在平面直角坐标系中，已知点A（7﹣2m，5﹣m）在第二象限内，且m为整数，则A 点坐标为（﹣1，1）．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求出m的取值范围，再求出m的值，然后解答即可．
【解答】解：∵点A（7﹣2m，5﹣m）在第二象限内，
∴，
解不等式①得，m＞，
解不等式②得，m＜5，
∴＜m＜5，
∵m为整数，
∴m＝4，
∴7﹣2m＝7﹣2×4＝﹣1，
5﹣m＝5﹣4＝1，
∴A点坐标为（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
17．如图，已知，AB∥CD∥EF，∠E＝140°，∠A＝115°，则∠ACE＝25度．
【分析】延长FE交AC于点G，根据平行线的性质求出∠CGE的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：延长FE交AC于点G，
∵AB∥EF，∠A＝115°，
∴∠CGE＝∠A＝115°．
∵∠E＝140°，
∴∠ACE＝∠CEF﹣∠CGE＝140°﹣115°＝25°．
故答案为：25．
18.小明和小华分别用四个完全相同的，直角边为a，b（a＜b）的三角形拼图，小华拼成的
长方形（如图①）的周长为20．小明拼成的正方形（如图②）中间有一个边长为1的正方形小孔．
（1）能否求出图中一个直角三角形的面积？能（填“能”或“否”）；
（2）若能，请你写出一个直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【考点】4D：完全平方公式的几何背景．
【专题】31：数形结合．
【分析】（1）直接回答即可；
（2）根据长方形（如图①）的周长为20列式为4a+2b＝20，根据拼成的正方形（如图
②）中间有一个边长为1的正方形小孔可得b﹣a＝1，列方程组解出即可，根据直角三
角形面积公式可得结论．
【解答】解：（1）能；
故答案为：能；
（2）由题意得：，
解得：，
∴S＝＝＝6．
三、解答题
19.解方程组：
（1）
（2）
【考点】98：解二元一次方程组．
【专题】11：计算题；521：一次方程（组）及应用．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）①+②得：4x＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝，
则方程组的解为；
（2）由②整理得：3x﹣5y＝3③，
①×5﹣③得：2x＝12，
解得：x＝6，
把x＝6代入①得：y＝3，
则方程组的解为．
20.解不等式（组）：
（Ⅰ）解不等式：＜
（Ⅱ）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答；
（1）解不等式①，得：x＜3；
（2）解不等式②，得：x≥﹣2；
（3）把不等式①和②的解集在如图数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为﹣2≤x＜3．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等式；CB：解一元一次不等式组．
【专题】524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】（Ⅰ）不等式去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后把x的系数化为1可计算出x的解集；
（Ⅱ）首先解出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律：大小小大中间找，确定出不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）去分母得：3（x﹣3）＜2（2x﹣5），
去括号得：3x﹣9＜4x﹣10，
移项得：3x﹣4x＜﹣10+9，
合并同类项得：﹣x＜﹣1，
系数化为1，得：x＞1；
（Ⅱ），
（1）解不等式①，得：x＜3，
（2）解不等式②得：x≥﹣2，
（3）把不等式①和②的解集在如图数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集是：﹣2≤x＜3，
故答案为：x＜3，x≥﹣2，﹣2≤x＜3．
21.完成下面的证明．
已知：如图，D是BC上任意一点，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD，垂足为
F．求证：∠1＝∠2．
证明：∵BE⊥AD，
∴∠BED＝90°（垂直定义）．
∵CF⊥AD，
∴∠CFD＝90°．
∴∠BED＝∠CFD．
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
【考点】JB：平行线的判定与性质．
【专题】17：推理填空题．
【分析】由BE垂直于AD，利用垂直的定义得到∠BED为直角，再由CF垂直于AD，得到∠CFD为直角，得到一对内错角相等，进而确定出BE与CF平行，利用两直线平行内错角相等即可得证．
【解答】证明：∵BE⊥AD，
∴∠BED＝90°（垂直定义），
∵CF⊥AD，
∴∠CFD＝90°，
∴∠BED＝∠CFD，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：90；垂直的定义；90；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等22.滨海新区某中学为了了解学生每周在校体育锻炼的时间，在本校随机抽取了若干名学生
进行调查，并依据调查结果绘制了不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题
（1）表中的a＝6，b＝20；
（2）请将频数分布直方图补全；
（3）若绘制扇形统计图，时间段6≤x＜7所对应扇形的圆心角的度数是多少？
（4）若该校共有1200名学生，估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为多少名？
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图．
【专题】542：统计的应用．
【分析】（1）总人数乘以4≤t＜5对应的百分比可得a的值，5≤t＜6的人数除以总人数可得b的值；
（2）根据以上所求结果可补全图形；
（3）用360°乘以对应的百分比可得答案；
（4）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）a＝40×15%＝6，b%＝×100%＝20%，即b＝20，
故答案为：6、20；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）时间段6≤x＜7所对应扇形的圆心角的度数是360°×30%＝108°；
（4）估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为1200×（1﹣10%﹣15%）＝900（名）．
23.如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．
（1）求证：ED∥AB；
（2）过点D画直线MN，使MN∥OC交AB于点N，若∠EDM＝25°，补全图形，并求∠1的度数．
【考点】IL：余角和补角；JB：平行线的判定与性质．
【专题】551：线段、角、相交线与平行线．
【分析】（1）先求出∠EDO+∠DOC+∠1＝180°，再根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质求出∠EDO+∠DOC+∠1＝180°，求出∠EDO，再根据∠EDO 与∠1互余求出∠1即可．
【解答】（1）证明：∵OC⊥OD，∠EDO与∠1互余
∴∠DOC＝90°，∠EDO+∠1＝90°，
∴∠EDO+∠DOC+∠1＝180°，
即∠D+∠DOA＝180°，
∴ED∥AB；
（2）解：如图，
∵MN∥OC，
∴∠MDO+∠DOC＝180°，
∵∠DOC＝90°，
∴∠MDO＝90°，
∵∠EDM＝25°，
∴∠EDO＝90°﹣25°＝65°，
∵∠EDO+∠1＝90°，
∴∠1＝90°﹣65°＝25°．
24.某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种树苗，第一次分别购进A、B两种树苗
30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种树苗12棵和5棵，共花费265元．两次购进的A、B两种树苗价格均分别相同．
（1）A、B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
解：设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元
根据题意列方程组，得：
解这个方程组，得：
答：A种树苗每棵20元，B种树苗每棵5元．
（2）若购买A、B两种树苗共31棵，且购买树苗的总费用不超过320元，则最多可以购买A种树苗多少棵？
【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用；524：一元一次不等式(组)及应用；
69：应用意识．
【分析】（1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，根据“第一次分别购进A、B两种树苗30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种树苗12棵和5棵，共
花费265元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗（31﹣m）棵，根据总价＝单价×数量结合购买树苗的总费用不超过320元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，
根据题意列方程组，得：，
解这个方程组，得：．
答：A种树苗每棵20元，B种树苗每棵5元．
故答案为：；；A种树苗每棵20元，B种树苗每棵5元．
（2）设购买A种树苗m棵，则购买B种树苗（31﹣m）棵，
依题意，得：20m+5（31﹣m）≤320，
解得：m≤11．
答：最多可以购买A种树苗11棵．
25.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a，b满足
（a﹣3）2+|b﹣6|＝0．现将线段AB向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到线段CD，点A，B的对应点分别为点C，D．连接AC，BD
（1）如图①，求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；
（2）在y轴上是否存在一点M，使三角形MCD的面积与四边形ABDC的面积相等？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由；
（3）如图②，点P是直线BD上的一个动点，连接P A，PO，当点P在直线BD上移动时（不与B，D重合），直接写出∠BAP，∠DOP，∠APO之间满足的数量关系．
【考点】LO：四边形综合题．
【专题】153：代数几何综合题．
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b，根据平移规律得到点C，D的坐标，根据坐标与图形的性质求出S四边形ABCD；
（2）设M坐标为（0，m），根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出m，得到点M 的坐标；
（3）分点P在线段BD上、点P在DB的延长线上、点P在BD的延长线上三种情况，根据平行线的性质解答．
【解答】解：（1）∵（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣6＝0，
，解得，a＝3，b＝6．
∴A（0，3），B（6，3），
∵将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，
∴C（﹣2，0），D（4，0），
∴S四边形ABDC＝AB×OA＝6×3＝18；
（2）在y轴上存在一点M，使S△MCD＝S四边形ABCD，
设M坐标为（0，m）．
∵S△MCD＝S四边形ABDC，
∴×6|m|＝18，
解得m＝±6，
∴M（0，6）或（0，﹣6）；
（3）①当点P在线段BD上移动时，∠APO＝∠DOP+∠BAP，
理由如下：如图1，过点P作PE∥AB，
∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，
∴PE∥CD，
∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，
∴∠BAP+∠DOP＝∠APE+∠OPE＝∠APO；
②当点P在DB的延长线上时，同①的方法得，
∠DOP＝∠BAP+∠APO；
③当点P在BD的延长线上时，同①的方法得，∠BAP＝∠DOP+∠APO．。