18学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.2.3弦切角定理学案新人教B版选修4_1

1．2.3 弦切角定理

[对应学生用书P22]

[读教材·填要点]

1．弦切角

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．

2．弦切角定理

弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．

3．弦切角定理的推论

弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．

[小问题·大思维]

一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？

提示：不一定．弦切角必须同时具备三点：

①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切．

[对应学生用书P23]

[例1] 如图，AB、CB分别切⊙O于D、E，试写出图中所有的弦切角．

[思路点拨] 本题考查弦切角的定义．解答本题需要明确构成弦切角的

三个条件，然后依据定义作出判断．

[精解详析] 由弦切角的定义可知，

∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．

解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：

(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；

(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；

(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．

三者缺一不可，例如上图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．

1．如图，NA与⊙O切于点A，AB和AD是⊙O的弦，AC为直径，试指出图中有哪几个弦切角？

解：弦切角分三类：如题图：

(1)圆心在角的外部；

(2)圆心在角的一边上；

(3)圆心在角的内部．

即∠BAN、∠CAN、∠DAN为弦切角.

[例2] 已知：AB切⊙O于A，OB交⊙O于C，AD⊥OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB.

[思路点拨] 本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．

[精解详析] 法一：如图(1)，延长AD交⊙O于E，AB切⊙O于

A，

∵CD⊥AE，

又∵∠DAC

∠CAB

∴∠DAC＝∠CAB.

法二：如图(2)，延长BO交⊙O于E，

连接AE，则∠CAE＝90°.

又∵AD⊥CE，

∴∠DAC＝∠E.

∵AB是⊙O的切线，

∴∠CAB＝∠E.

∴∠DAC＝∠CAB.

法三：如图(3)，连接OA.

∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.

∴∠CAB与∠OAC互余．

又∵AD⊥OB，

∴∠DAC与∠ACO互余．

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.

∴∠DAC＝∠CAB.

法四：如图(4)，过C作⊙O的切线交AB于G

∵AB是⊙O的切线，

∠CAG＝∠ACG，

又∵OC⊥CG，AD⊥OB，

∴CG∥AD.

∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.

(1)由弦切角定理及其推论可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件．

(2)借助弦切角定理及其推论和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等．

2．如图，△ABD的边AB为直径，作⊙O交AD于C，过点C的切线CE

和BD互相垂直，垂足为E.

证明：AB＝BD.

证明：如图所示，连接BC，延长EC至F.

∵CE是圆的切线，∴∠FCA＝∠CBA.

∵∠FCA＝∠DCE，

∴∠DCE＝∠CBA.

∵AB是直径，∴AD⊥BC，

∴∠BAC＝90°－∠CBA.

又∵CE⊥BD，∴∠D＝90°－∠DCE，

∴∠D ＝∠BAC ，∴AB ＝BD .

[对应学生用书P24]

一、选择题

1．如图，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F .已知∠B ＝50°，∠C ＝60°，连接

OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 的值为( )

A ．40°

B ．55°

C ．65°

D ．70°

解析：∵∠B ＝50°，∠C ＝60°， ∴∠A ＝70°，∴∠EOF ＝110°， ∴∠EDF ＝55°. 答案：B

2．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，

AB ＝6，则AC 的长为( )

A ．2

B ．3

C ．2 3

D ．4

解析：连接BC ，构造出弦切角所对的圆周角，由已知有△ADC

与△ACB 相似，所以可得AD AC ＝

AC

AB

，代入数值得关于AC 的方程． 答案：C

3．在圆O 的直径CB 的延长线上取一点A ，AP 与圆O 切于点P ，且∠APB ＝30°，AP ＝3，则CP ＝( )

A. 3 B ．2 3 C ．23－1

D ．23＋1

解析：如图，连接OP ，则OP ⊥PA ，

又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，

∴在Rt△OPA中，AP＝3，易知，PB＝OP＝1，

在Rt△PCB中，

由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝ 3.

答案：A

4．如图所示，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P，

若∠CAP＝40°，∠ACP＝100°，则∠BAC所对的弧的度数为( )

A．40° B．100°

C．120° D．60°

解析：∵AP是⊙O的切线，

∴∠ABC＝∠CAP＝40°，

又∠ACP＝100°，

∴∠BAC＝∠ACP－∠ABC＝60°，

即∠BAC所对的弧的度数为120°.

答案：C

二、填空题

5．如图，AB为⊙O直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，则∠C等于________．

解析：连接BD，∵AB为直径，

∴∠BDA＝90°.

又∵CD为⊙O切线，切点为D，

由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.

∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.

在△ACD中，

∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°.

答案：40°

6.如图所示，AC切⊙O于点A，∠BAC＝25°，则∠B的度数为