备战2024年高考数学大一轮老教材人教A版理第五章平面向量基本定理及坐标表示

则 A(1,0)，B－12， 23， C(3， 3).
由O→C＝λO→A＋μO→B，
得3＝λ－12μ，
3＝ 23μ，
解得λμ＝＝42，.
所以λ＋μ＝6.
题型二 平面向量的坐标运算
例2 (1)已知A→B＝(1，－1)，C(0,1)，若 C→D＝2A→B，则点D的坐标为
A.(－2,3)
B.(2，－3)
则实数λ的值为
2 A.3
√B.43
7 C.4
7 D.5
由已知得a＋2b＝(5,2－4λ)，a－b＝(－7,2＋2λ)，
∵(a＋2b)∥(a－b)， ∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0，解得λ＝ 43.
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，C＝π3，若 m＝(c－ 6，a－b)，n＝(a－b，c＋ 6)，且 m∥n，则△ABC 的面积为
题型三 向量共线的坐标表示
命题点1 利用向量共线求参数
例3 (2023·临汾模拟)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若a∥c，则
k等于
A.－1
√B.0
C.1
D.2
因为c＝a＋kb＝(3,1)＋(k，k)＝(k＋3，k＋1)，而a∥c，所以3×(k＋1) －1×(k＋3)＝0，解得k＝0.
(2)如图，已知平面内有三个向量O→A，O→B，O→C，其中O→A与O→B的夹角为 120°， O→A与O→C的夹角为 30°，且|O→A|＝|O→B|＝1，|O→C|＝2 3.若O→C＝λO→A＋μO→B(λ， μ∈R)，则 λ＋μ＝____6____.
方法一 如图，作平行四边形OB1CA1， 则O→C＝O—→B1＋O—→A1， 因为O→A与O→B的夹角为 120°，O→A与O→C的夹角为 30°，
教材改编题
2.若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P
的坐标为
√A.(2,2)
B.(3，－1)
C.(2,2)或(3，－1)
D.(2,2)或(3,1)
设 P(x，y)，由题意知—P→1P＝13P—1→P2， ∴(x－1，y－3)＝13(4－1,0－3)＝(1，－1)，
(
2)
已ห้องสมุดไป่ตู้
知
向
量
a
，
b
，
c
在
正
方
形
网
格
中
的
位
置
如
图
所
示
，
用
基
底
a，b
表
示c，则
A.c＝2a－3b
B.c＝－2a－3b
C.c＝－3a＋2b
√D.c＝3a－2b
如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)， 所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)， 设向量c＝ma＋nb， 则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)， 则mm－ ＋23nn＝ ＝7－，3 ⇒mn＝＝－3，2， 所以c＝3a－2b.
A.3
93 B. 2
√C.3 2 3
D.3 3
∵m＝(c－ 6，a－b)，n＝(a－b，c＋ 6)，
且m∥n， ∴(a－b)2＝(c－ 6)(c＋ 6)，化为 a2＋b2－c2＝2ab－6.
∴cos π3＝a2＋2ba2b－c2＝2a2ba－b 6＝12，解得 ab＝6.
∴S△ABC＝12absin
常用结论
已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为 △xA1＋B2Cx的2，重y1心＋2Gy2的 ；坐已标知为△AxB1＋C的x32＋顶x点3，Ay(x1＋1，y3y2＋1)，y3B.(x2，y2)，C(x3，y3)，则
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
C.(－2,1)
√D.(2，－1)
设 D(x，y)，则C→D＝(x，y－1)， 2A→B＝(2，－2)， 根据C→D＝2A→B，得(x，y－1)＝(2，－2)， 即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝－ 2，1， 所以点D的坐标为(2，－1).
(2)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E 为AD的中点，若 C→A＝λC→E＋μD→B (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为
思维升华
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是 x1y2＝x2y1. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
跟踪训练3 (1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，
√D.27
A→N＝27A→M＝27(A→B＋B→M)＝27A→B＋27B→M＝27A→B＋27×32B→C＝27A→B＋37(B→A＋
A→C)＝－17A→B＋37A→C， 所以 λ＝－17，μ＝37，λ＋μ＝－17＋37＝27.
思维升华
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则 或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底， 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运 算来解决.
教材改编题
1.下列各组向量中，可以作为基底的是 A.e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B.e1＝(2，－3)，e2＝12，－34 C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
√D.e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
由于选项A，B，C中的向量e1，e2都共线，故不能作为基底.而选项D 中的向量e1，e2不共线，故可作为基底.
λ＝1， 对 A 项，设 e1＋e2＝λe1，则1＝0， 无解，故 e1 与 e1＋e2 不共线，可 以作为平面内所有向量的一组基底；
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 (1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且 A→E ＝2 E→O，则E→D等于
A.13A→D－23A→B
B.23A→D＋13A→B
√C.23A→D－13A→B
D.13A→D＋23A→B
因为四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O，且A→E＝2E→O，
所以∠B1OC＝90°. 在 Rt△OB1C 中，∠OCB1＝30°，|O→C|＝2 3， 所以|O—→B1|＝2，|B—→1C|＝4， 所以|O—→A1|＝|B—→1C|＝4， 所以O→C＝4O→A＋2O→B，
所以λ＝4，μ＝2，
所以λ＋μ＝6.
方法二 以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
第五章 平面向量与复数
§5.2
平面向量基 本定理及坐 标表示
考试要求
1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
所以E→A＝－13A→C， 所以E→D＝E→A＋A→D＝－13A→C＋A→D＝－13(A→D＋A→B)＋A→D＝23A→D－13A→B.
(2)(2022·昆明模拟)如图，在△ABM 中，B→M＝3C→M，A→N＝27A→M，若A→N＝λA→B ＋μA→C，则 λ＋μ 等于
A.－17
1 B.7
C.－27
C＝12×6×
23＝3
2
3 .
第
三 部 分
课时精练
基础保分练
1.如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作 为平面内所有向量的一组基底的是 A.e1与e1＋e2 B.e1－2e2与e1＋2e2 C.e1＋e2与e1－e2
√D.e1－2e2与－e1＋2e2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.( × ) (2)设{a，b}是平面内的一组基底，若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0.( √ )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成 xx12＝yy12.
(×) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( √ )
∴λ－＋22λ＋ μ＝μ2＝，－2， 故 λ＋μ＝85.
解得λ＝65， μ＝52，
思维升华
(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算 法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等” 这一原则，化归为方程(组)进行求解. (2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体， 可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任 意向量a， 有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2 . 我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_基__底__. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解.
即xy－－13＝＝－1，1， ∴xy＝＝22，.
教材改编题
3.若a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则下列结论成立的是
A.a－c与b共线
B.b＋c与a共线
√C.a与b－c共线
D.a＋b与c共线
a－c＝(4,2)，因为4×7－5×2＝18≠0，所以a－c与b不共线； b＋c＝(7,11)，因为7×6－6×11＝－24≠0，所以b＋c与a不共线； b－c＝(3,3)，因为3×6－6×3＝0，所以a与b－c共线； a＋b＝(11,13)，因为11×4－2×13＝18≠0，所以a＋b与c不共线.
知识梳理
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝_(x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2_) ，a－b＝_(_x_1－__x_2_，__y_1－__y_2_)，λa＝_(_λx_1_，__λ_y_1)_，|a| ＝ x21＋y21 .
命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标 例4 设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且 |A→B|＝2|A→P| ，则点P的
坐标为
A.(3,1)
B.(1，－1)
√C.(3,1)或(1，－1)
D.(3,1)或(1,1)
∵A(2,0)，B(4,2)，∴A→B＝(2,2)，∵点 P 在直线 AB 上，且|A→B|＝2|A→P|， ∴A→B＝2A→P或A→B＝－2A→P，故A→P＝(1,1)或A→P＝(－1，－1)，故 P 点坐标 为(3,1)或(1，－1).
(2)向量坐标的求法
①一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A→B＝_(x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_， |A→B|＝___x_2－__x_1__2＋___y_2－__y_1_2___.
知识梳理
4.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔__x_1y_2_－__x_2y_1_＝__0__.
跟踪训练1 (1)下列命题中正确的个数是
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则存在实数x，y使得p＝xa＋yb； ③若M→P＝xM→A＋yM→B ，则P，M，A，B共面； ④若P，M，A，B共面，则存在实数x，y使得M→P＝xM→A＋yM→B .
A.1
√B.2
C.3
D.4
对于②，若a，b共线，p与a，b不共线，则不存在实数x，y使得p＝ xa＋yb，故②错误； 对于④，若M，A，B共线，P在直线AB外，则不存在实数x，y使得 M→P＝xM→A＋yM→B ，故④错误； 由平面向量基本定理知①③正确.
6 A.5
√B.85
8
C.2
D.3
建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0).
不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，
∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，
∴C→A＝(－2,2)，C→E＝(－2,1)，D→B＝(1,2)， ∵C→A＝λC→E＋μD→B，
∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，
跟踪训练2
(1)已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且
→ PN
＝－2P→M ，则P点的坐标为
√A.(2,4)
B.(－14,16)
C.(6,1)
D.(22，－11)
设 P(x，y)，则P→N＝(10－x，－2－y)， P→M＝(－2－x,7－y)，
由P→N＝－2P→M⇒1－0－ 2－x＝y＝－－22－7－ 2－yx， ⇒xy＝ ＝24， .