专题4 利用图形变换添加辅助线

【答案】 ①②④
专题四
利用图形变换添加辅助线
命题者说
典例精析
针对训练
-10-
【名师点拨】 在遇到线段中点问题时,可以联想到三角形中位线、三角形中线、直角 三角形斜边的中线等知识,但以线段中点为对称中心作中心对称图形也是一条很好的 思路.当然这类问题也可理解为是利用线段中点“构造”全等三角形.
专题四
专题四
利用图形变换添加辅助线
命题者说
典例精析
针对训练
-3-
类型1利用平移“添辅” 典例1 如图,在四边形ABCD中,对角线AC=BD,AC与BD的锐夹角为60°.求证: AD+BC>AC.
【解析】题中的“对角线AC=BD,AC与BD的锐夹角为60°”等已知条件难以直接运用, 可通过平移线段AD和AC,把这些已知条件集中到△BDE中去,再解答.
【名师点拨】 利用旋转变换解题虽不常用,但有奇效.这种方法就是使得难以找到常规 解题思路的问题转化成我们熟悉的常规问题,这其实还是转化思想的应用.
专题四
利用图形变换添加辅助线
命题者说
典例精析
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-13-
类型5利用相似(全等)“添辅”
典例5 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为AC的中点,连接BD,过点A作AE⊥BD于点
A.12
B.34
C.1
D.32
【解析】将图中的△ABE绕点A逆时针旋转90°,得到△ADE',易得△ABE≌△ADE',
∴∠E'=∠AEB=90°,∠ADE'=∠B,∠E'AD=∠BAE,
∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠B+∠ADC=180°,
∴∠ADE'+∠ADC=180°,即C,D,E'三点在同一条直线
A.3 2 6
B.3 2 3
C.6
D.3
专题四
利用图形变换添加辅助线
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-22-
∵∠OCH=30°,∴OH=12OC= 23,CH= 3OH=32,∴CD=2CH=3.
专题四
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-23-
7.如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC的中点,则AD的取值范围是 1<AD<4 .
专题四
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-12-
【答案】 将△AOB绕点O旋转,使得OB与OC重合,易得△OCF≌△OBA,
∴OF=OA=OD,CF=AB,∠AOB=∠COF,∵∠AOB+∠COD=180°, ∴∠COF+∠COD=180°,∴点D,O,F在同一条直线上, ∵E是CD边的中点,O是DF的中点, ∴OE=12CF,即 OE=12AB.
41.
【答案】 D
专题四
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-7-
【名师点拨】 像这种利用轴对称性质求两条线段之和的最小值问题是一个固定的模 型,有人形象地称为“将军饮马”问题,注意体会并运用这个模型.
同时,这样添加辅助线,也是巧妙地解决了结论“求点P到A,B两点距离之和PA+PB的最 小值”的问题.就是说,我们进行图形变换,有时也是为了解决难以直接达到结论的问题.
【解析】过点E作关于BD的对称点E',连接AE',交BD于点P,∴PA+PE的最小值为AE'. ∵E为AD的中点,∴E'为CD的中点, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=DA,∠ABF=∠ADE'=90°, ∴DE'=BF,∴△ABF≌△ADE',∴AE'=AF=AP+EP.
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-20-
5.(2019·马鞍山二模)如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,D是△ABC所在平面上一 点,且满足DB=3,DA=5,则CD的最小值为( A )
A.5 2-3
B.5-3 2
C.2
D.1
【解析】将△ADC 绕点 A 顺时针旋转 90°,得到△ABE,连接 DE,则 CD=BE,△ADE 是等腰
专题四
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-6-
【解析】由 S△PAB=13S 矩形 ABCD 可得点 P 在 AB 的平行线 l 上,且 AB 与 l 的距离为 2,作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连接 A'B,A'B 与直线 l 的交点为 P,此时 PA+PB=A'B,即 PA+PB 的最小值为线段 A'B 的长.在 Rt△A'AB 中,A'A=4,AB=5,由勾股定理得 A'B= 16 + 25 =
专题四
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-4-
【答案】 过点C作AD的平行线,过点D作AC的平行线,二者交于点E,连接BE.即四边形
ACED为平行四边形,∴DE=AC=BD,∠BDE=∠BOC=60°,即△BDE为等边三角形. ∴BD=DE=BE.在△BCE中,CE+BC>BE,即AD+BC>AC.
【名师点拨】 本题的解答,表象上的辅助线是作垂线(或平行线),其实是在“构造”三角 形相似和三角形全等,其实这样的题型还有很多,比如2017年安徽卷第23(2)题也是如此 (见本书《相似三角形》一节).
专题四
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-15-
1.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD(AB>CD),点E,F分别是AB,CD的中点,若 ∠A+∠B=90°,则下列结论成立的是( D )
专题四
利用图形变换添加辅助线
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-5-
类型2利用轴对称“添辅”
典例2 (2017·安徽第10题)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足
S△PAB=
1 3
S矩形ABCD,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为
(
)
A. 29 C.5 2
B. 34 D. 41
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-11-
类型4利用旋转变换“添辅”
典例4 如图,O是四边形ABCD内一点,E是CD边的中点,分别连接OA,OB,OC,OD,OE,已
知OA=OD,OB=OC,∠AOB+∠COD=180°.求证:OE=
1
2AB.
【解析】题中的条件“∠AOB+∠COD=180°”很难直接使用,同时其他已知条件也都“分 散”在多个三角形中,也难直接使用.此时通过旋转△AOB,使得已知条件大都“集中”在 △CDF中,从而利用三角形中位线定理解题.
专题四
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-9-
【解析】充分利用“F是AD的中点”这个条件,作△AEF关于F点的中心对称图形△DFG,
再过点F作AB的平行线,这样即可利用中心对称(或全等三角形)的性质以及三角形中位
线定理解答.过点D作DG∥AB交EF的延长线于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,交CE
直角三角形,ED=5 2.因为 AE,AD,BD 都是定值,所以当 E,B,D 三点共线时,BE 最小,即
CD 最小.此时 BE 的最小值为 DE-BD=5 2-3.
专题四
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-21-
6.如图,∠AOB=60°,P 是∠AOB 内的定点且 OP= 3,若 M,N 分别是射线 OA,OB 上异于 点 O 的动点,则△PMN 周长的最小值是( D )
E,交BC于点F,求证:
������������ ������������
=
12.
【解析】利用D为AC的中点这个条件可以“构造”△ADE≌△CDG和△CHF∽△BEF,给 解题带来思路.
专题四
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-14-
【答案】 过点C分别作CG⊥BD于点G,作CH⊥AF于点H,易得四边形CGEH是矩形,
专题四 利用图形变换添加辅助线
专题四
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-2-
解答平面几何题有难度,多半是添加辅助线带来的.我们平时添加的辅助线大多是作 平行线、垂线、连接、延长之类,其实这是表象,而本质是利用图形变换转换解题思路 所得.
初中阶段常见的图形变换有:图形的平移,图形的对称(轴对称和中心对称),图形的旋 转,图形的相似(包括全等、位似)等.我们在解决平面几何问题时,如果已知条件不好直 接使用,或结论难以直接达到,可以通过这些图形变换进行“图”移“形”动,使得条件发生 转化,从而找到添加辅助线的思路并解答,但直接呈现在我们面前的并不是图形变换,而 是作平行线、垂线、连接、延长等.这类试题几乎每年都会多次遇到,如2015年安徽数 学中考第14题、第23题,2017年第18题、第23题,2018年第23题等.
=
12,即������������������������
=
13.
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-19-
4.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列 线段的长等于AP+EP最小值的是( D )
A.AB B.DE
C.BD D.AF
【解析】过点B作BA'∥AC交AD的延长线于点A',易得△ACD≌△A'BD.
∴AD=A'D,∴AA'=2AD.∵2<AA'<8,∴1<AD<4.
△ADE≌△CDG,△ABE≌△CAH,AE=CH=CG,∴四边形CGEH是正方形, ∴CH=EH=12AH,∵AH=BE,∴������������������������ = 12,∵������������������������ = ������������������������,∴������������������������ = 12.
A.12
B.13
C.14
Leabharlann Baidu
D.15
专题四
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-18-
【解析】过点E作EG∥BC,交CA的延长线于点G,
∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD,即∠B+∠BED=∠ACB+∠ACE,
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠BED=∠ACE,
∵EG∥BC,∴∠G=∠ACB=∠B,
在△BED和△GCE中,∠BED=∠ACE,∠G=∠B,EC=ED,
∴△BED≌△GCE,∴EG=BD=CD,∴△GEF≌△CDF,
∴FG=FC,������������������������
=
������������ ������������
=
1 2
,
������������-������������ ������������+������������
A.AB+CD=3EF B.AB+CD=4EF C.AB-CD=EF D.AB-CD=2EF 【解析】过点F分别作FG∥AD交AB于点G,作FH∥BC交AB于点H,易得AB-CD=GH= 2EF.
专题四
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-16-
2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=5,AE=4,∠BAD=∠BCD=90°,AE⊥BC于点E,则 BE的长为( C )
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类型3利用中心对称“添辅”
典例3 (2014·安徽第14题)如图,在▱ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E
在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是
.(把所有正确结论的序
号都填在横线上)
①∠DCF= 12∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.
于点O.易得点C,D,G在同一条直线上,△AEF≌△DGF.∵AD=2AB,F是AD的中点,∴H是 BC的中点,∴DF=CH=CD.∵DF∥CH,∴四边形CDFH是菱形,∴CF平分∠BCD,∴① ∠DCF= 12∠BCD成立;∵AB∥CG,∴∠ECG=90°,在Rt△ECG中,CF是EG的中线, ∴CF=EF=FG,∴②EF=CF成立;∵S△CEF=S△CGF=S△CDF+S△DFG=S△CDF+S△AEF, ∴2S△CEF=S△CDF+S△AEF+S△CEF=S梯形AECD,显然S△BEC<S梯形AECD,∴③S△BEC=2S△CEF不成 立;∵FH∥AB,∴∠AEF=∠EFH,∵FO垂直平分EC,∴∠EFH=∠CFH,∵四边形CDFH是菱 形,∴∠DFC=∠CFH,∴④∠DFE=3∠AEF成立.
上,∵∠AEC=∠C=∠E'=90°,AE'=AE,
∴四边形AECE'为正方形,∴AE=EC=4,∴BE=1.
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3.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,在BA的延长线上取一点E,使得ED=EC,ED
������������
与AC交于点F,则 ������������ 的值为( B )