空间向量及其运算的坐标表示课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

对应一个向量 O A ，且点A 的位置由向量 O A 唯一确定，由空间向量基本
定理，存在唯一的有序数组(x，y，z)，使 OA xi y j z k .
在单位正交基底 { i ，j ，k } 下与向量对应
z
的有序数组(x，y，z)，叫做点A在空间直
A
角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其
6.平面向量的夹角余弦值如何用坐标表示？
x1 x2 y1 y2
a b
cos

.
2
2
2
2
| a || b |
x1 y1 x2 y2
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(1)＋＝
Ԧ
．
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(2)－＝
Ԧ
(λa1，λa2，λa3)
(3)λ＝
Ԧ
(λ∈R)．
a1b1＋a2b2＋a3b3
(4)·＝
Ԧ
.
∙
＝(a
Ԧ
1，a2，a3)＝a1i＋a2j＋a3k，＝(b1，b2，b3)
＝b1i＋b2j＋b3k，所以 ·＝(a
中x 叫做点A 的横坐标、y 叫做点A 纵坐标、
O
z 叫做点A 竖坐标.
x
y
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量 a ，作 OA a ，由空间向量基
本定理，存在唯一的有序数组(x，y，z)，使 a xi y j z k .
有序实数组(x，y，z)叫做 a 在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可
1
1 1
直角坐标系 Oxyz ,则 E (1,1, ), F ( , ,1),
2
2 2
1 1 1
所以 EF ( , , ).
2 2 2
z
D1
A1
因此 EF DA1 ,即 EF DA1 .
F
B1
E
又 A1 (1, 0,1), D(0, 0, 0), 所以 DA1 (1,0,1).
.
2
AC A' D' D' C ' 3i 4 j 0k (3,4,0)；
AC AO OC CC ' 3i 4 j 2k (3,4,2).
A
x
O
C′
B′
Cy
B
空间直角坐标系中一些特殊的点
1.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标
点的位置
(7)点(a,b,c)关于Ozx平面的对称点为(a,-b,c).
空间中点坐标公式和重心坐标公式
在空间直角坐标系中，点 A(a 1 ， a 2 ， a 3 ) 和点 B(b 1 ， b 2 ， b 3 ) 的中点坐
标为:
a 1 b1 a 2 b 2 a 3 b 3
，
，


2
2
3
4
3
(1)写出D、C、A、B四点的坐标；
z
D′
(2)写出AB、
BB、
AC 、
AC的坐标.
解: (1) D'(0,0, 2),C(0,4,0),A'(3,0, 2),B'(3,4, 2)
A′
（2）AB OC 0i 4 j 0k (0,4,0)；
BB OD' 0i 0 j 2k (0,0,2)；
(1)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy =135°(或45°)，
∠yOz =90°.
(2)直角坐标系右手定则:
在空间直角坐标系中，握住右手，四指向手心方向折合,从x 的方向沿小于
180°的角转向y 轴，大拇指的方向就是z 轴.
在空间直角坐标系Oxyz中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A，
4
4
（1）求AM的长.
（2）求 BE1 与 DF1 所成角的余弦值.
z
D1
解：（1）建立如图的空间直角坐标系 Oxyz ,则
B1
1 1
点 A 的坐标为 1, 0, 0 ，点M 的坐标为 ,1, .
2 2
M
D
2
6
2
1
1

于是 AM 1 1 0 0
从而把平面向量的运算转化为坐标的运算.
y
类似地，能否利用空间向量基本定理和空
间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，
进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标
j
的一一对应呢？
O
i
x
空间直角坐标系
在空间选定一点O 和一个单位正交基底 { i ，j ，k } ，以点O 为原点，分
别以 i ，j ，k 的方向为正方向、以它们的长为单位长度，建立三条数轴：
→ ＝(2,0，－6)．
以 p＝AB
(1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)．
(2)3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)．
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－[ 22＋0 2＋(－6) 2] ＝－26.
两向量的数量积是否为0.
(2)平行与垂直的应用.
①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程.
②选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
例题4 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,M为BC1的中点，E1,F1分别在棱
A1B1,C1D1上, B1 E1 1 A1 B1 , D1 F1 1 C1 D1
1.3
空间向量及其运算的坐标表示
知识回顾
1.在平面直角坐标系中，如何表示向量？
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
2.平面向量的加减运算如何用坐标表示？
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）
3.平面向量的数乘运算如何用坐标表示？
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
→ ，q＝CD
→ ，求下列各式的值：
(0,－1,4)，(2,－1,－2)．若 p＝AB
(1)p＋2q；
(2)3p－q；
(3)(p－q)·(p＋q)；
(4)cos〈p，q〉
．
[ 解析]
由于 A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)，所
→ ＝(2,1,3)，q＝CD
简记作 a (x，y，z) . 这样，在空间直角
z
a
坐标系中，空间中的点和向量都可以用三
A( x， y， z)
个有序实数表示.
O
x
y
思考 在空间直角坐标系中，对空间任意一点，或任意
一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标(, , )吗？
过点A分别作垂直于x轴,y轴,z轴的平面，分
Ԧ
1＝λb1，a2＝λb2，
a3＝λb3(λ∈R)．
（6）若 ⊥，则有
Ԧ
（7）| |＝
Ԧ
Ԧ 2 ＝
（8） cos ,
Ԧ =
.
2
b1＋a
b32＋a
a121+
. 3b3＝0
2 +2 2
∙

＝
a1b1＋a2b2＋a3b3
.
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
3
3


知识点2 空间向量及其运算的坐标表示
【复习回顾】已知 =(
Ԧ
1 ,1 )，=(2 ,2 )，平面向量的运算是如何利用坐标表示的？
【提示】 +=(
Ԧ
Ԧ
Ԧ
Ԧ ∙ =1 2 + 1 2
1 +2 ，1 +2 ) ； -=(
1 -2 ，1 -2 )；λ =(λ
x轴上
y轴上
z轴上
坐标形式
(x,0,0)
(0,y,0)
(0,0,z)
点的位置
Oxy平面
Oyz平面
Ozx平面
坐标形式
(x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
空间直角坐标系中一些特殊的点
2.空间直角坐标系中对称点的坐标（关源自谁对称,谁保持不变,其余坐标相反）
(1)点(a,b,c)关于原点O的对称点为(-a,-b,-c);
(2)点(a,b,c)关于x轴的对称点为(a,-b,-c);
(3)点(a,b,c)关于y轴的对称点为(-a,b,-c);
(4)点(a,b,c)关于z轴的对称点为(-a,-b,c);
(5)点(a,b,c)关于Oxy平面的对称点为(a,b,-c);
(6)点(a,b,c)关于Oyz平面的对称点为(-a,b,c);
知识点3 空间两点之间的距离公式
用终点B的坐标减去起点A
的坐标，可得向量的坐
标。
◆ 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则
(1) 12＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1)
(2)| 12|＝
x2－x1
2
+ y2－y1
2
．
+ z2－z1 .2
例题2 已知空间四点 A，B，C，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，
1 ，λ1 )；
//
Ԧ
⟺ 1 2 −1 2 =0； ⊥
Ԧ
⟺ 1 2 + 1 2 =0 ； cos ,
Ԧ =

=
1 2 +1 2
12 +12 22 +22
数量积坐标运算的推导：
空间向量及其运算的坐标表示：
◆若＝(a
Ԧ
1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3),则
别交x轴,y轴,z轴于点B,C,D，可以证明在x
轴,y轴,z轴上的投影向量分别为,,.
设点B,C和D在x轴,y轴,z轴上的坐标
分别为, , ，则A的坐标为(, , ).
求某点A的坐标的方法：先找到点A在xOy平面上的射影A'，过
点A'向x轴作垂线，确定垂足B.其中|OB|,|BA'|,|A'A|即为点A
Ԧ
1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋
．
b2j＋b3k)＝a1b1i2＋a2b2j2＋a3b3k2＋a1b2i·j＋a1b3i·k
＋a2b1j·i＋a2b3j·k＋a3b1k·i＋a3b2k·j
＝a1b1＋a2b2＋a3b3.即a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
（5）若≠0，则 ∥⇔
Ԧ
＝λ⇔a
1 1 1
所以 EF DA1 ( , , ) (1, 0,1) 0.
2 2 2
C1
D
x A
C
O
B
y
总结 向量平行与垂直问题的两种类型
(1)平行与垂直的判断.
①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.
②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断
坐标的绝对值，再按O→B→A'→A确定相应坐标的符号(与坐标
轴同向为正，反向为负)，最后得到相应的点A的坐标．
z
D
k
A
C
y
O j
B
x
i
A'
例题1 如图，在长方体OABC DABC 中，OA 3, OC 4, OD 2,以
1
1
1
{ OA, OC, OD}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
2
在空间直角坐标系中，已知点 A(a 1 ， a 2 ， a 3 ) ，点 B(b 1 ， b 2 ， b 3 ) ，点
C(c 1 ， c 2 ， c 3 ) ，则△ABC的重心坐标为:
a 1 b1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3
，
，


3
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代
数化”,为了使得空间几何“代数化”,我们引入了坐
标及其运算.
在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x 轴，y 轴方向相同的两
个单位向量 i ，j 为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，
4.平面向量的数量积如何用坐标表示？
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
知识回顾
5.平面向量的模如何用坐标表示？
若a ( x,y ),则 | a | x 2 y 2 .
若A( x1 ,y1 ),B( x2 ,y2 )，则 | AB | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 .
x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标
系Oxyz，O叫做原点，i ， j ，k 叫做坐标向量，
z
通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，
k
它们把空间分成八个部分.
i
x
j
O
y
空间直角坐标系的划分：
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
•
y
O
Ⅶ
Ⅷ
Ⅵ
x
Ⅴ
空间直角坐标系的画法
2，1，3·2，0，－6
－14
p·q
35
(4)cos〈p，q〉＝
＝ 2 2
＝
＝－
.
2
2
2
2
|p||q|
10
14×2 10
2 ＋1 ＋3 × 2 ＋0 ＋－6
例题3 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是BB1, D1B1的中点，
求证：EF⊥DA1.
证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间