三角形证明难题

B A

B 全等的证明专训

例1：在Rt △ACB 中，AC=BC,点O 是斜边AB 的中点，，将一个直角的顶点放在点O 处，两直角边分别交AC 、BC 于M 、N

〔1〕求证：CM+CN=AC

(2) 假设点M 、N 分别在AC 、CB 的延长线上，其它条件不变,问〔1〕中的结论还是否成立？说明理由。

例2. 在△ABC 中，AB=AC,AC ⊥AB,，过点C 做AB 的平行线m ，取直线BC 上一点P ，连接AP ，过P 做AP 的垂线，交直线m 于点E ，再过点P 做BC 的垂线，交直线AC 于点F ， 〔1〕如图1，点F 在线段CA 的延长线上时，求证：CF-CE=AC

m F E

C B A P

F E

C

B A P (2) 点F 在线段CA 的上时， A

C 、CE 、CF 三条线段的数量关系为

〔3〕点F 在线段AC 的延长线上时， AC 、CE 、CF 三条线段有怎样的数量关系？ 说明理由。

例3. 如图：在△ACB 中，∠BAC=90°,AB=AC, 分别过B 、C 两点做过点A 的直线的垂线，垂足为D 、E ，

〔1〕如图当D 、E 两点在直线BC 的同侧时，求证：BD+CE=DE.

(2) 如图当D 、E 两点在直线BC 的两侧时，BD 、CE 、DE 三条线段的数量关系为

H

M

F B A D E 例4. 如图：在∠EAF 的平分线上取点B 做BC ⊥AF 于点C ，在直线AC 上取一动点P,顺时针做∠PBQ=2∠ABC,另一边交AE 于点Q,

（1） 当点P 在点A 右侧时，求证：AQ+AP=2AC

（2） 当点P 在点A 左侧时，AQ 、AP 、AC 三条线段的数

量关系为

例5. 如图1,在四边形ABCD 中，AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=CD,∠C=60°，DH ⊥BC 于点H,点E 是BC 上一点，连接AE,将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，射线EF 交CD 所在直线于点M ， 〔1〕假设点M 在CD 边上时求证：FM-DM=CH

H M F B C

A D E (2) 假设点M 在CD 边的延长线上时，FM 、DM 、CH 三条线段有怎样的数量关系？ 说明理由。

6. 已知：如下图，直线MA NB MAB ∠∥，与NBA ∠的平分线交于点C ，过点C 作一条直

线l 与两条直线MA NB 、分别相交于点D E 、．

〔1〕如图1所示，当D E 、都在AB 的同侧时，求证：BE+AD=AB

〔2〕如图2所示，当D E 、都在AB 的两侧时，BE 、AD 、AB 三条线段的数量关系为

P （图3）N

A

C

B M 7. 如图，在△AB

C 中，∠B =2∠C ， A

D 平分∠BAC ，，求证：AB+BD=AC ．

8.已知AB=AC,∠BAC=90°，将一,45°角的顶点与点A 重合,两边分别为射线AP 和射线AQ,过点C 作AC 的垂线交AQ 于N;过点B 作AB 的垂线交AP 于M,连接MN 〔1〕如图1当射线AP 和射线AQ 在∠BAC 内部时，求证BM+CN=MN

〔2〕如图2当射线AP 和射线AQ 在AB 两侧时〔1〕的结论还是否成立，说明理由。 〔3〕如图3当射线AP 和射线AQ 在∠BAC 外部时〔1〕的结论还是否成立，说明理

由。

P

Q N A

C B M

P Q

（图2）

N A C B M

9．已知AB=AC,∠BAC=90°，过点C作AC的垂线交射线AR于点E,将△ACE以AR为轴向上翻折,翻折后点C落在点G处,再过点B作AB的垂线,交射线AG于点D,

〔1〕如图1当射线AR与射线AG都在∠BAC的内部时,求证：AD=BD+CE

〔2〕如图2当射线AR在∠BAC的内部,射线AG在的∠BAC外部时,〔1〕的结论还是否成立，说明理由。

〔3〕如图3当射线AR与射线AG都在∠BAC的外部时〔1〕的结论还是否成立，说明理由。

图1

10．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且

1

()2

AE AB AD =+,求∠ABC+∠ADC 的度数。

11．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．

12．如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE ，AB=BC ．(1)求证：AD=CE ，AD ⊥CE

(2)假设△DBE 绕点B 旋转到△ABC 外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明

13．如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：〔1〕BP=CE ； 〔2〕试证明：EM-PM=AM.

B C E

M

14．点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，线段AN,MC 交于点

E ，BM,CN 交于点

F 。求证：

〔1〕AN=MB.〔2〕将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，〔1〕中的结论是否依然成立？ 〔3〕AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化。

15．等边△ABC ，D 为△ABC 外一点，∠BDC=120°，BD=DC ．∠MDN=60°射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ，

①当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．

②当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？假设成立，请证明．

③当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．

O O F E A

B A

B N

C

M

M C N

F E