2020高考数学最后十天压轴题 专题2.3 以平面向量数量积相关的求值问题为背景的填空题(解析版)

专题二 压轴填空题
第三关 以平面向量数量积相关的求值问题为背景的填空题 【名师综述】
平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与三角函数或平面解析几何相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值．
类型一 平面向量数量积在圆中的应用
已知,A B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），120AOB ∠=o ，点C 是线段AB 上不与A B 、重合的动点.MN 是圆O 的一条直径，则CM CN u u u u r u u u r
g 的取值范围是
【名师指点】本题利用分解转化法求数量积．由CM OM OC =-u u u u r u u u u r u u u r ,CN ON OC =-u u u r u u u r u u u r ,将CM CN u u u u r u u u r g 分解转化
并通过向量运算得2
1CM CN OC ⋅=-+u u u u r u u u r u u u r ，这样只需求OC u u u r 的范围即可．
【举一反三】（2020·山东高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:3l y x =上在第三象限内的点，
()10,0B -，以线段AB 为直径的圆C （C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB CD ⊥，则圆C 的标
准方程为________.
类型二 解析几何中的向量问题
典例2【衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试】若向量()11,3,,32OA OB ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭u u u v u u u v , M 是椭圆
22
14
x y +=上的动点，则MA MB ⋅u u u v u u u v 的最小值为_________．
【名师指点】本题考查坐标法求平面向量数量积，通过设点，将数量积用坐标表示，结合椭圆方程将数量积用一个变量表示，进而转化为函数求最值问题处理．
【举一反三】（2020·山东高三期末）已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，准线l ，P 是l 上一点， Q 是
直线PF 与C 的一个交点，若3PF QF =u u u r u u u r
，则||QF =__________.
类型三 向量中的函数、不等式问题
典例3平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ===u u u r u u u r
g , 点P 在边CD 上，则PA PB u u u r u u u r
g 的取值范围是 。

【名师指点】本题考查平面向量数量积的求法（定义和坐标法）和函数、不等式思想的运用等．先由平面向量数量积定义求角A 的大小，然后通过建系设点，将平面向量数量积用坐标表示，然后运用函数思想求范围．
【举一反三】已知向量,,a b c r r r 满足4,22,,,4
a b a b π==〈〉=r r
r r ()()
·1c a c b --=-r r r r ，则c a -r r 的最大值为
_______.
【精选名校模拟】
1．（2019·安徽马鞍山二中高三月考（理））在ABC V 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =u u u r
u u u r
，
()AE AC AB R λλ=-∈u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r
，则λ的值为______________.
2. （2019·山东高三月考）已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一
动点，若2PC =u u u v ，则()()
4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u u u v
的最小值 ________．
3. 在平面直角坐标系xOy 中，()6,0A -，()3,1B -，点P 在圆22:18O x y +=上，若6PA PB ⋅≥u u u v u u u v
，则点
P 的横坐标的取值范围是________.
4. （2019·山东高考模拟（理））已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，
B 两点，且AF FB =u u u r u u u r
，若点A ，B 在l 上的投影分别为M ，N ，则△MFN 的内切圆半径为
5. （2019·济南市济钢高级中学高三月考）如果直角三角形 ABC 的边 CB ，CA 的长都为 4，D 是 CA 的中点，
P 是以 CB 为直径的圆上的动点，则BD PC ⋅u u u r u u u r
的最大值是_____
6. （2019·山东高考模拟（文））如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，
AE 为半径，作弧交AD 于点F ．若P 为劣弧¶EF
上的动点，则PC PD u u u r u u u r
g 的最小值为___．
7.【湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研】已知在中，，
其中D 为BC 的中点，E 为AC 的中点，则
____．
8．【湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考】已知是边长为1的等边三角形，为中点，
则
的值为________
9．【河南省南阳市第一中学校2018届高三第七次考试】在ABD ∆中， 2,22,,AB AD E C ==分别在
线段,AD BD 上，且13
11,,343
AE AD BC BD AC BE ==⋅=u u u v u u u v ，则∠A=__________．
10． 【山东省滨州市2019届高三上学期期中考试】在直角△ABC 中，A=90°，AB=AC=2，点D 为AC 的中点，点E 满足
，则
=_____．
11．【河北省辛集中学2019届高三12月月考】在面积为2的等腰直角中，
分别为直角边
，
的中点，点在线段
上，则
的最小值为_____．
12．【辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测（一）】已知ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A
为直角顶点， P 为平面ABC 内一点，则PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v
（）
的最小值是__________． 13．【2019吉林省延边第二中学模拟】点是双曲线
上的点，双曲线的离心率是，
是其焦点，
,若
的面积是18，
的值等于________
14．【四川省广元市2019届高三第一次高考适应性统考】在ABC ∆中， 2
26,AB AC BA BC BA ==⋅=u u u v u u u v u u u v ，
点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222
PA PB PC ++u u u v u u u v u u u v
取得最小值时， AP BC ⋅=u u u v u u u v
__________．
15．【北京市通州区2019届下学期高三年级三模考试】在△中，，
，，为
线段上一点，则
的取值范围为____.
专题二 压轴填空题
第三关 以平面向量数量积相关的求值问题为背景的填空题 【名师综述】
平面向量是高中数学的重要知识，是高中数学中数形结合思想的典型体现．近年来，高考对向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与三角函数或平面解析几何相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显平面向量的交汇价值．
类型一 平面向量数量积在圆中的应用
已知,A B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），120AOB ∠=o ，点C 是线段AB 上不与A B 、重合的动点.MN 是圆O 的一条直径，则CM CN u u u u r u u u r
g 的取值范围是
【答案】3
[,0)4-
【解析】22
()()1,CM CN OM OC ON OC OM ON OC OC =-•-=•+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r g Q 120AOB ∠=o
，点C 是
线段AB 上,1|C |[,1),2∴O ∈∴u u u r CM CN ∈u u u u r u u u r g 3
[,0)4
-。

【名师指点】本题利用分解转化法求数量积．由CM OM OC =-u u u u r u u u u r u u u r ,CN ON OC =-u u u r u u u r u u u r ,将CM CN u u u u r u u u r
g 分解转化
并通过向量运算得2
1CM CN OC ⋅=-+u u u u r u u u r u u u r ，这样只需求OC u u u r 的范围即可．
【举一反三】（2020·山东高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:3l y x =上在第三象限内的点，
()10,0B -，以线段AB 为直径的圆C （C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB CD ⊥，则圆C 的标
准方程为________.
【答案】()()2
2
7645x y +++=
【解析】由题意，设点(,3),0A m m m <，因为()10,0B -，则AB 的中点为103,2
2m m C -⎛⎫
⎪⎝⎭， 以线段AB 为直径的圆C 的方程为：(10)()(3)0x x m y y m +-+-=；
由(10)()(3)03x x m y y m y x +-+-=⎧⎨
=⎩，解得：1
3
x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,3)D --；
又AB CD ⊥，所以0AB CD ⋅=u u u r u u u r
；
因为(10,3)AB m m =---u u u r ，83,322m m CD -⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
u u u r 所以()83(10)33022m m m m -⎛⎫⎛
⎫--+---=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 整理得：2280m m +-=，解得4m =-或2m =，因为0m <，所以4m =-， 所以圆C 的方程为：(10)(4)(12)0x x y y ++++=， 整理得：()()2
2
7645x y +++=. 故答案为：()()2
2
7645x y +++=. 类型二 解析几何中的向量问题
典例2【衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试】若向量
()11,3,,32OA OB ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭u u u v u u u v , M 是椭圆2
214
x y +=上的动点，则MA MB ⋅u u u v u u u v 的最小值为_________． 【答案】334
- 【解析】
设()M 2cos θsin θ，，
则()()()2
11512cos θ2cos θ3sin θ3sin θ3cos 3cos θ22MA MB θ⎛⎫⋅=-⋅-+-⋅--=-- ⎪⎝⎭
u u u v u u u v ，当1cos θ2=时，
取最小值为33
4-
. 故答案为： 334
- 【名师指点】本题考查坐标法求平面向量数量积，通过设点，将数量积用坐标表示，结合椭圆方程将数量积用一个变量表示，进而转化为函数求最值问题处理．
【举一反三】（2020·山东高三期末）已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，准线l ，P 是l 上一点， Q 是直
线PF 与C 的一个交点，若3PF QF =u u u r u u u r
，则||QF =__________. 【答案】8
3
【解析】
根据题意画出图形，设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足是N ，
∵抛物线2:8C y x =，∴焦点为2,0F （），准线方程为2x =-，
∵3PF QF =u u u v u u u v ，2288,4,.3333
QN PQ QN QF QN FM PF ∴==∴=⨯=∴==
类型三 向量中的函数、不等式问题
典例3平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ===u u u r u u u r
g , 点P 在边CD 上，则PA PB u u u r u u u r
g 的取值范围是 。

【答案】[]1,8-
min max
()(2)1,()(5)8,f x f f x f PA PB ∴==-==∴⋅u u u r u u u r
的取值范围是[]1,8-。

【名师指点】本题考查平面向量数量积的求法（定义和坐标法）和函数、不等式思想的运用等．先由平面向量数量积定义求角A 的大小，然后通过建系设点，将平面向量数量积用坐标表示，然后运用函数思想求范围．
【举一反三】已知向量,,a b c r r r 满足4,22,,,4
a b a b π==〈〉=r r
r r ()()
·1c a c b --=-r r r r ，则c a -r r 的最大值为
_______. 21 【解析】
设,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r
，以OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系
4,22,a b a b ==Q r r r r 与的夹角为π
4
，则()()()4,0,2,2,,A B C x y 设，
()()
2216290c a c b x y x y -⋅-=-∴+--+=r r r r Q ，即()()22
311x y -+-=表示以()3,1为圆心，1为半
径的圆，c a -r r 表示点A ，C 的距离，即圆上的点与A ()4,0的距离，因为圆心到A 2，所以c a -r r
21．
【精选名校模拟】
1．（2019·安徽马鞍山二中高三月考（理））在ABC V 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =u u u r
u u u r
，
()AE AC AB R λλ=-∈u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r
，则λ的值为______________.
【答案】
311
【解析】
1232cos603,33
AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则
122123()()3493433333311
AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
2. （2019·山东高三月考）已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一
动点，若2PC =u u u v ，则()()
4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u u u v
的最小值 ________．
【答案】48322- 【解析】
如图建立平面直角坐标系，()()(
)()
P 2cos θ2sin θA 22B 22M 02----，
，，，，，，
∴
()(
)()()
42cos θ22sin θ22cos θ22sin θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=++⋅-++⎣⎦
u u u v u u u v u u u v u u u u v
，， ()()
22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦
，，，
当sin θ1=-时，得到最小值为48322-，故选48322-．
3. 在平面直角坐标系xOy 中，()6,0A -，()3,1B -，点P 在圆22:18O x y +=上，若6PA PB ⋅≥u u u v u u u v
，则点
P 的横坐标的取值范围是________.
【答案】3
[,32]5
【解析】
设()00,P x y ，则22
0018,x y += 因为()6,0A -，()3,1B -，所以
()()00006,3,1PA PB x y x y u u u v u u u v
⋅=+⋅-+220000183x y x y =+-++0036x y =+≥，又()00,x y ∴即在圆
2218x y +=，又在直线360x y +-=的上方，设直线与圆交点为,D E ，圆与x 正半轴交于()
32,0C ，
则()00,x y 在弧DCE 上，由22
36018
x y x y +-=⎧⎨
+=⎩，得3,35D E x x ==，又32C x =，03
325x ∴≤≤，即点P 的横坐标的取值范围是3
,325⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
，故答案为3,325
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
.
4. （2019·山东高考模拟（理））已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，
B 两点，且AF FB =u u u r u u u r
，若点A ，B 在l 上的投影分别为M ，N ，则△MFN 的内切圆半径为 【答案】2(21)-
【解析】抛物线2
4y x =的焦点为(1,0)F ,因为AF FB =u u u r u u u r
，所以直线l 垂直于x 轴，所以(1,2),(1,2)A B -,
所以(1,2),(1,2)M N ---，(2,2),(2,2)FM FN =-=--u u u u r u u u r ,因为0FM FN ⋅=u u u u r u u u r
，所以△MFN 为直角三角形，
且22FM FN ==u u u u r u u u r ，设其内切圆半径为r ，则有11
2222(22224)22r ⨯⨯=++，解得
2(21)21
r =
=-+. 5. （2019·济南市济钢高级中学高三月考）如果直角三角形 ABC 的边 CB ，CA 的长都为 4，D 是 CA 的中点，
P 是以 CB 为直径的圆上的动点，则BD PC ⋅u u u r u u u r
的最大值是_____ 【答案】58
【解析】由题意，以C 点为坐标原点，CA ，CB 方向分别为x 轴，y 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为直角三角形 ABC 的边 CA ，CB 的长都为 4，D 是 CA 的中点， 所以(0,0)C ，(2,0)D ，(0,4)B ，
因此以CB 为直径的圆的方程为2
2
(2)4x y +-=，
设(2cos ,22sin )P θθ+，[)0,2θ∈π，
则(2,4)=-u u u r BD ，(2cos ,22sin )θθ=---uuu r
PC ，
因此()4cos 88sin 1664sin 845sin()8θθθϕθϕ⋅=-++=+-+=-+u u u r u u u r
BD PC ，
其中1tan 2
ϕ=
， 因为[)0,2θ∈π，所以[]sin()1,1θϕ-∈
-，所以4
5sin()8845,845θϕ⎡⎤-+∈-+⎣⎦，
因此BD PC ⋅u u u r u u u r
的最大值是458+. 故答案为458+
6. （2019·山东高考模拟（文））如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，
AE 为半径，作弧交AD 于点F ．若P 为劣弧¶EF
上的动点，则PC PD u u u r u u u r
g 的最小值为___．
【答案】525-
【解析】如图，以A 为原点，边AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则：
A （0，0），C （2，2），D （0，2），设P （cosθ，sinθ）θ02
π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，ò
∴()22PC PD cos sin θθ⋅=--u u u r u u u r
，
•（﹣cosθ，2﹣sinθ） ＝（2﹣cosθ）（﹣cosθ）+（2﹣sinθ）2
＝5﹣2（cosθ+2sinθ）525=-sin （θ+φ），tanφ1
2
=
； ∴sin （θ+φ）＝1时，PC PD u u u r u u u r
⋅取最小值525-． 故答案为5﹣25．
7.【湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研】已知在中，
，
其中D 为BC 的中点，E 为AC 的中点，则____．
【答案】
【解析】∵在中，
， ∴
•
=2×2×（﹣）=﹣2
,
.
故答案为：
8．【湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考】已知是边长为1的等边三角形，为
中点，
则的值为________
【答案】 【解析】∵是边长为1的等边三角形，为
中点，
∴
而
9．【河南省南阳市第一中学校2018届高三第七次考试】在ABD ∆中， 2,22,,AB AD E C ==分别在线
段,AD BD 上，且13
11,,343
AE AD BC BD AC BE ==⋅=u u u v u u u v ，则∠A=__________．
【答案】3
4
π
10．【山东省滨州市2019届高三上学期期中考试】在直角△ABC中，A=90°，AB=AC=2，点D为AC的中点，点E满足，则=_____．
【答案】
【解析】∵A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC的中点，点E满足，
∴，，
则•（）•（）
＝﹣42．
故答案为：﹣2
11．【河北省辛集中学2019届高三12月月考】在面积为2的等腰直角中，分别为直角边，的中点，点在线段上，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】等腰直角的面积为2，则，则，
以为坐标原点，，所在直线为，轴建立坐标系．
即有，，，分别为直角边，的中点，
则，，设，且，
则，，
，
当且仅当
时，取得最小值，且为
．故答案为：
．
12．【辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测（一）】已知ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点， P 为平面ABC 内一点，则PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v
（）的最小值是__________． 【答案】-1
【解析】以A 点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()0,0,2,0,0,2A B C ，
则(),P x y ， ()()(),,2,,,2PA x y PB x y PC x y ==-=-u u u v u u u v u u u v
，
利用向量的坐标运算法则有：
()
()()22
11,2
2,2222122PA PB PC x y x y x y ⎛⎫⎛
⎫⋅+=⋅--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭u u u v u u u v u u u v ，
据此可知，当12x y ==
，即点P 坐标为11,22P ⎛⎫
⎪⎝⎭
时， PA PB PC ⋅+u u u v u u u v u u u v （）取得最小值是1-.
13．【2019吉林省延边第二中学模拟】点是双曲线
上的点，双曲线的离心率是，
是其焦点，,若
的面积是18，
的值等于________
【答案】
【解析】
不妨设点P 在双曲线的右支上．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，
根据双曲线的定义可知 ①
由
知
，得 ②，
③，
联立①②③，解得④
由双曲线的离心率是，知⑤，
由双曲线a ，b ，c 的关系，知⑥ 联立④⑤⑥，解得
故
故填：
14．【四川省广元市2019届高三第一次高考适应性统考】在ABC ∆中， 2
26,AB AC BA BC BA ==⋅=u u u v u u u v u u u v ，
点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222
PA PB PC ++u u u v u u u v u u u v 取得最小值时， AP BC ⋅=u u u v u u u v __________．
【答案】-9
【解析】∵2
BA BC BA ⋅=u u u r u u u r u u u r
，
∴()
20BA BC BA BA BC BA BA AC ⋅-=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
∴BA AC ⊥u u u r u u u r
，即BA AC ⊥．
以点A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(0,3)，设(),P x y ，
所以()()22222222263PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-u u u r u u u r u u u r
223123645x x y y =-+-+
()()22
32110x y ⎡⎤=-+-+⎣⎦
．
所以当2,1x y ==时222
PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 有最小值，此时()()2,16,39AP BC ⋅=⋅-=-u u u r u u u r ．
答案： 9-
15．【北京市通州区2019届下学期高三年级三模考试】在△中，
，
，
，为
线段
上一点，则
的取值范围为____.
【答案】
【解析】
以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
可得，
则直线的方程为
设
，则
，
则|
由
可得的最小值为 ，
时，则的最大值为
即的取值范围为
．
故答案为：
．。