第七章 第5节 探究弹性势能的表达式
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C．在弹性限度范围内，同一个弹簧 形变量越大，弹性势能就越大
D．火车车厢底下的弹簧比自行车车 座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长 度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势 能小
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[解析] 所有发生弹性形变的物体都具 有弹性势能，A 错误；弹簧伸长和压缩时都 具有弹性势能，B 错误；根据弹性势能的表 达式 Ep＝12kx2，C 正确；火车车厢底下的弹 簧比自行车车座底下的弹簧劲度系数大，所 以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具 有的弹性势能大，D 错误。
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(1)在木块下移 0.10 m 的过程中弹性 势能的增加量；
(2)弹簧的劲度系数。
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[解析] (1)木块下移 0.10 m 的过程， 力 F 和重力克服弹簧的弹力做功，克服 弹力所做的功等于弹簧增加的弹性势能， 故弹性势能的增加量为
ΔEp ＝ WF ＋ mgh ＝ (2.5 ＋ 2.0×10×0.10) J＝4.5 J
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1．关于弹簧的弹性势能，下列说法 中正确的是( )
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一 定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一 定变小
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C．在伸长量相同时，劲度系数越大 的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大 于压缩时的弹性势能
A．重力势能减小 B．重力势能增大 C．弹性势能减小 D．弹性势能增大
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解析：选 AD 重力做正功，重力势 能减小，A 正确，B 错误；弹簧的压缩量 增大，弹性势能增大，C 错误，D 正确。
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3．关于弹性势能和重力势能，下列 说法不正确的是( )
A．重力势能属于物体和地球这个系 统，弹性势能属于发生弹性形变的物体
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①[选一选] 关于弹性势能，下列说法错误的是( ) A．发生弹性形变的物体都具有弹性势能 B．只有弹簧在发生形变时才具有弹性势能 C．弹性势能可以与其他形式的能相互转化 D．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
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解析：选 B 发生弹性形变的物体的 各部分之间由于有弹力的相互作用都具 有弹性势能，A 正确，B 错误；弹性势能 跟重力势能一样，可以与其他形式的能相 互转化，C 正确；所有能的单位跟功的单 位相同，在国际单位制中的单位是焦耳， D 正确。
因素 不同质量物体的高度相 形变量相同但劲度系数 k 不
同，重力势能不 同 同的弹簧，弹性势能不 同 结论 弹性势能与弹簧的 劲度系数 k 和 形变量 l 有关
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[说明] (1)弹性势能大小与弹力做功有关， 弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功， 弹性势能增大。 (2)弹性势能大小与弹簧形变量大小 有关，形变越大，弹性势能越大。
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5．(2016·桂林高一检测)如图所示，在光滑水 平面上有 A、B 两物体，中间连一弹簧，已知 mA ＝2mB，今用水平恒力 F 向右拉 B，当 A、B 一起 向右加速运动时，弹簧的弹性势能为 Ep1，如果用 水平恒力 F 向左拉 A，当 A、B 一起向左加速运动 时，弹簧的弹性势能为 Ep2，比较 Ep1 与 Ep2 的大小。
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[典型例题] 例 2.在水平地面上放一竖直轻弹簧，弹 簧上端与一个质量为 2.0 kg 的木块相连，若 在木块上再作用一个竖直向下的力 F，使木 块缓慢向下移动 0.10 m，力 F 做功 2.5 J。 此时木块再次处于平衡状态，力 F 的大小 为 50 N，如图所示，g 取 10 m/s2，求：
[答案] C
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[点评] 关于弹性势能的两点提醒 (1)对于同一个弹簧，伸长和压缩相 同的长度时弹性势能是相同的。 (2)弹性势能表达式 Ep＝21kx2。高考 中不作要求，但熟记公式可迅速判断弹性 势能的大小及弹性势能的变化。
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[即时巩固] 1．如图所示，撑杆跳是运动会上常 见的比赛项目，用于撑起运动员的杆要求 具有很好的弹性，下列关于运动员撑杆跳 起的过程说法中正确的是( )
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(2)由胡克定律 F＝kx 可以推出，ΔF ＝kΔx，其中 ΔF、Δx 分别指弹力变化和 弹簧长度的变化。所以劲度系数
k＝ΔΔFx＝ΔFx＝05.100 N/m＝500 N/m [答案] (1)4.5 J (2)500 N/m
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[即时巩固] 2．[多选]如图所示，一个物体以速 度 v0 冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧， 墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过 程中以下说法正确的是( )
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1.关系 弹性势能只与相应的弹力做功有关， 弹力做正功时，弹性势能减少，并且弹力 做多少功，弹性势能就减少多少；弹力做 负功时，弹性势能增加，并且克服弹力做 多少功，弹性势能就增加多少。 2．表达式：W 弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2。
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3．使用范围 在弹簧的弹性限度之内，该式总是成 立的，与系统所受其他力的情况无关，与 系统的运动状态无关。 4．与重力势能对比 弹性势能与弹力做功的关系，重力势 能与重力做功的关系遵从同样的规律，这 一规律对于其他形式的势能也是适用的。
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3．弹性势能与重力势能对比 弹性势能和重力势能两种势能分别 以弹力、重力的存在为前提，又由物体的 初、末位置来决定，同属机械能的范畴， 在一定条件下可相互转化。
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[典型例题] 例 1.关于弹性势能，下列说法中正确 的是( ) A．只有弹簧发生弹性形变时才具有 弹性势能，其他物体发生弹性形变时是不 会有弹性势能的 B．弹簧伸长时有弹性势能，压缩时 没有弹性势能
解析：选 C 弹簧变长(或变短)时， 弹簧长度的变化量不一定变大(或变小)， 比如弹簧在被压缩着的时候，长度稍变长 一点，弹性势能反而减小，A、B 错误； 由 Ep＝21kx2 知，C 正确，D 错误。
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2．[多选](2016·临沂高一检测)如图 所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中 的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势 能、弹簧的弹性势能的变化是( )
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解析：设 mB＝m，则 mA＝2m，向右拉 B 时加速度 a1＝3Fm，对 A 物体有 kx1＝2ma1， 得 x1＝2mka1＝23Fk。
当向左拉 A 时，加速度 a2＝3Fm， 对 B 物体有 kx2＝ma2，得 x2＝mka2＝3Fk， 可见 x1>x2，从而 Ep1>Ep2。 答案：Ep1>Ep2
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[注意] 对于同一个弹簧伸长和压缩相同的 长度时弹性势能是一样的，所以对于某一 弹性势能可能对应着弹簧伸长和压缩两 个不同的状态。
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②[判一判] 1．不同弹簧发生相同的形变量时弹 力做功相同(× ) 2．同一弹簧发生不同的形变量时弹 力做功不同(√ ) 3．弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势 能增加(×) 4．作用在同一弹簧上的拉力越大， 弹簧的弹性势能越大(√ )
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A．运动员助跑时，杆弹性势能最大 B．运动员撑杆刚刚触地时，杆弹性 势能最大 C．运动员撑杆跳起到达最高点时， 杆弹性势能最大 D．运动员撑杆触地后上升到达最高 点之前某时刻，杆弹性势能最大
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解析：选 D 杆形变量最大时，杆弹 性势能最大，根据每个选项的物理情景可 知，D 项杆的形变量最大，D 正确。
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二、弹性势能(变化)大ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ探究┄┄┄ ┄┄┄┄┄②
1．弹力做功特点：随弹簧形变量 的 变化而变化，还因弹簧的不同而不同。
2．弹力做功与弹性势能的关系
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3.“化变为恒”求拉力做的功 W 总＝F1Δl1＋F2Δl2＋……＋FnΔln。 4．F-l 图象面积意义：表示 弹性势能 的值。
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1.弹性势能的产生及影响因素
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2．弹性势能的两个特性 (1)系统性：弹性势能是发生弹性形 变的物体上所有质点因相对位置改变而 具有的能量，因此弹性势能具有系统性。 (2)相对性：弹性势能的大小与选定 的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定 弹簧处于原长时的势能为零势能。
B．重力势能是相对的，弹性势能是 绝对的
C．重力势能和弹性势能都是相对的 D．重力势能和弹性势能都是状态量
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解析：选 B 重力势能、弹性势能都 是相对于零势能点的，B 错误，A、C、 D 正确。
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4．[多选]如图所示，水平地面上固 定一竖直轻弹簧，有一物体由弹簧正上方 某位置竖直下落，从与弹簧接触到物体继 续下落到速度变为零的过程中( )
A．物体的重力对物体做正功 B．物体的重力势能逐渐增大 C．弹簧的弹力对物体做负功 D．弹簧的弹性势能逐渐减小
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解析：选 AC 下落过程中，物体的 高度变低，重力对物体做正功，重力势能 减小，A 正确，B 错误；物体受到向上的 弹力，此力对物体做负功，C 正确；弹簧 的形变量越来越大，弹性势能逐渐变大， D 错误。
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A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量 成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力 做的功不相等
C．弹力做正功，弹簧的弹性势能减小 D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
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解析：选 BD 由功的计算公式 W＝Flcos θ 知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成 正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力 F＝kl， A 错误；弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的 功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同 的距离做的功多，B 正确；物体压缩弹簧的过 程中，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相 反，所以弹力做负功，弹簧的压缩量增大，弹 性势能增大，C 错误，D 正确。
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一、弹性势能┄┄┄┄┄┄┄┄① 1．概念：发生 弹性形变 的物体的 各部分之间，由于有弹力的相互作用而具 有的势能。
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2．弹性势能与重力势能同属于势能，由此，影响弹性
势能的因素猜想如下：
重力势能
弹性势能
与物体被举起的高度 h 可能与弹簧的形变量 l 有关
影响 有关
C．在弹性限度范围内，同一个弹簧 形变量越大，弹性势能就越大
D．火车车厢底下的弹簧比自行车车 座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长 度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势 能小
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[解析] 所有发生弹性形变的物体都具 有弹性势能，A 错误；弹簧伸长和压缩时都 具有弹性势能，B 错误；根据弹性势能的表 达式 Ep＝12kx2，C 正确；火车车厢底下的弹 簧比自行车车座底下的弹簧劲度系数大，所 以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具 有的弹性势能大，D 错误。
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(1)在木块下移 0.10 m 的过程中弹性 势能的增加量；
(2)弹簧的劲度系数。
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[解析] (1)木块下移 0.10 m 的过程， 力 F 和重力克服弹簧的弹力做功，克服 弹力所做的功等于弹簧增加的弹性势能， 故弹性势能的增加量为
ΔEp ＝ WF ＋ mgh ＝ (2.5 ＋ 2.0×10×0.10) J＝4.5 J
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1．关于弹簧的弹性势能，下列说法 中正确的是( )
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一 定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一 定变小
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C．在伸长量相同时，劲度系数越大 的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大 于压缩时的弹性势能
A．重力势能减小 B．重力势能增大 C．弹性势能减小 D．弹性势能增大
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解析：选 AD 重力做正功，重力势 能减小，A 正确，B 错误；弹簧的压缩量 增大，弹性势能增大，C 错误，D 正确。
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3．关于弹性势能和重力势能，下列 说法不正确的是( )
A．重力势能属于物体和地球这个系 统，弹性势能属于发生弹性形变的物体
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①[选一选] 关于弹性势能，下列说法错误的是( ) A．发生弹性形变的物体都具有弹性势能 B．只有弹簧在发生形变时才具有弹性势能 C．弹性势能可以与其他形式的能相互转化 D．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
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解析：选 B 发生弹性形变的物体的 各部分之间由于有弹力的相互作用都具 有弹性势能，A 正确，B 错误；弹性势能 跟重力势能一样，可以与其他形式的能相 互转化，C 正确；所有能的单位跟功的单 位相同，在国际单位制中的单位是焦耳， D 正确。
因素 不同质量物体的高度相 形变量相同但劲度系数 k 不
同，重力势能不 同 同的弹簧，弹性势能不 同 结论 弹性势能与弹簧的 劲度系数 k 和 形变量 l 有关
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[说明] (1)弹性势能大小与弹力做功有关， 弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功， 弹性势能增大。 (2)弹性势能大小与弹簧形变量大小 有关，形变越大，弹性势能越大。
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5．(2016·桂林高一检测)如图所示，在光滑水 平面上有 A、B 两物体，中间连一弹簧，已知 mA ＝2mB，今用水平恒力 F 向右拉 B，当 A、B 一起 向右加速运动时，弹簧的弹性势能为 Ep1，如果用 水平恒力 F 向左拉 A，当 A、B 一起向左加速运动 时，弹簧的弹性势能为 Ep2，比较 Ep1 与 Ep2 的大小。
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[典型例题] 例 2.在水平地面上放一竖直轻弹簧，弹 簧上端与一个质量为 2.0 kg 的木块相连，若 在木块上再作用一个竖直向下的力 F，使木 块缓慢向下移动 0.10 m，力 F 做功 2.5 J。 此时木块再次处于平衡状态，力 F 的大小 为 50 N，如图所示，g 取 10 m/s2，求：
[答案] C
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[点评] 关于弹性势能的两点提醒 (1)对于同一个弹簧，伸长和压缩相 同的长度时弹性势能是相同的。 (2)弹性势能表达式 Ep＝21kx2。高考 中不作要求，但熟记公式可迅速判断弹性 势能的大小及弹性势能的变化。
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[即时巩固] 1．如图所示，撑杆跳是运动会上常 见的比赛项目，用于撑起运动员的杆要求 具有很好的弹性，下列关于运动员撑杆跳 起的过程说法中正确的是( )
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(2)由胡克定律 F＝kx 可以推出，ΔF ＝kΔx，其中 ΔF、Δx 分别指弹力变化和 弹簧长度的变化。所以劲度系数
k＝ΔΔFx＝ΔFx＝05.100 N/m＝500 N/m [答案] (1)4.5 J (2)500 N/m
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[即时巩固] 2．[多选]如图所示，一个物体以速 度 v0 冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧， 墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过 程中以下说法正确的是( )
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1.关系 弹性势能只与相应的弹力做功有关， 弹力做正功时，弹性势能减少，并且弹力 做多少功，弹性势能就减少多少；弹力做 负功时，弹性势能增加，并且克服弹力做 多少功，弹性势能就增加多少。 2．表达式：W 弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2。
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3．使用范围 在弹簧的弹性限度之内，该式总是成 立的，与系统所受其他力的情况无关，与 系统的运动状态无关。 4．与重力势能对比 弹性势能与弹力做功的关系，重力势 能与重力做功的关系遵从同样的规律，这 一规律对于其他形式的势能也是适用的。
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3．弹性势能与重力势能对比 弹性势能和重力势能两种势能分别 以弹力、重力的存在为前提，又由物体的 初、末位置来决定，同属机械能的范畴， 在一定条件下可相互转化。
高中同步新课标·物理
[典型例题] 例 1.关于弹性势能，下列说法中正确 的是( ) A．只有弹簧发生弹性形变时才具有 弹性势能，其他物体发生弹性形变时是不 会有弹性势能的 B．弹簧伸长时有弹性势能，压缩时 没有弹性势能
解析：选 C 弹簧变长(或变短)时， 弹簧长度的变化量不一定变大(或变小)， 比如弹簧在被压缩着的时候，长度稍变长 一点，弹性势能反而减小，A、B 错误； 由 Ep＝21kx2 知，C 正确，D 错误。
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2．[多选](2016·临沂高一检测)如图 所示，小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中 的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势 能、弹簧的弹性势能的变化是( )
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解析：设 mB＝m，则 mA＝2m，向右拉 B 时加速度 a1＝3Fm，对 A 物体有 kx1＝2ma1， 得 x1＝2mka1＝23Fk。
当向左拉 A 时，加速度 a2＝3Fm， 对 B 物体有 kx2＝ma2，得 x2＝mka2＝3Fk， 可见 x1>x2，从而 Ep1>Ep2。 答案：Ep1>Ep2
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[注意] 对于同一个弹簧伸长和压缩相同的 长度时弹性势能是一样的，所以对于某一 弹性势能可能对应着弹簧伸长和压缩两 个不同的状态。
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②[判一判] 1．不同弹簧发生相同的形变量时弹 力做功相同(× ) 2．同一弹簧发生不同的形变量时弹 力做功不同(√ ) 3．弹簧弹力做正功时，弹簧弹性势 能增加(×) 4．作用在同一弹簧上的拉力越大， 弹簧的弹性势能越大(√ )
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A．运动员助跑时，杆弹性势能最大 B．运动员撑杆刚刚触地时，杆弹性 势能最大 C．运动员撑杆跳起到达最高点时， 杆弹性势能最大 D．运动员撑杆触地后上升到达最高 点之前某时刻，杆弹性势能最大
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解析：选 D 杆形变量最大时，杆弹 性势能最大，根据每个选项的物理情景可 知，D 项杆的形变量最大，D 正确。
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二、弹性势能(变化)大ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ探究┄┄┄ ┄┄┄┄┄②
1．弹力做功特点：随弹簧形变量 的 变化而变化，还因弹簧的不同而不同。
2．弹力做功与弹性势能的关系
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3.“化变为恒”求拉力做的功 W 总＝F1Δl1＋F2Δl2＋……＋FnΔln。 4．F-l 图象面积意义：表示 弹性势能 的值。
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1.弹性势能的产生及影响因素
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2．弹性势能的两个特性 (1)系统性：弹性势能是发生弹性形 变的物体上所有质点因相对位置改变而 具有的能量，因此弹性势能具有系统性。 (2)相对性：弹性势能的大小与选定 的零势能位置有关，对于弹簧，一般规定 弹簧处于原长时的势能为零势能。
B．重力势能是相对的，弹性势能是 绝对的
C．重力势能和弹性势能都是相对的 D．重力势能和弹性势能都是状态量
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解析：选 B 重力势能、弹性势能都 是相对于零势能点的，B 错误，A、C、 D 正确。
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4．[多选]如图所示，水平地面上固 定一竖直轻弹簧，有一物体由弹簧正上方 某位置竖直下落，从与弹簧接触到物体继 续下落到速度变为零的过程中( )
A．物体的重力对物体做正功 B．物体的重力势能逐渐增大 C．弹簧的弹力对物体做负功 D．弹簧的弹性势能逐渐减小
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解析：选 AC 下落过程中，物体的 高度变低，重力对物体做正功，重力势能 减小，A 正确，B 错误；物体受到向上的 弹力，此力对物体做负功，C 正确；弹簧 的形变量越来越大，弹性势能逐渐变大， D 错误。
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A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量 成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力 做的功不相等
C．弹力做正功，弹簧的弹性势能减小 D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
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解析：选 BD 由功的计算公式 W＝Flcos θ 知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成 正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力 F＝kl， A 错误；弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的 功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同 的距离做的功多，B 正确；物体压缩弹簧的过 程中，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相 反，所以弹力做负功，弹簧的压缩量增大，弹 性势能增大，C 错误，D 正确。
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一、弹性势能┄┄┄┄┄┄┄┄① 1．概念：发生 弹性形变 的物体的 各部分之间，由于有弹力的相互作用而具 有的势能。
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2．弹性势能与重力势能同属于势能，由此，影响弹性
势能的因素猜想如下：
重力势能
弹性势能
与物体被举起的高度 h 可能与弹簧的形变量 l 有关
影响 有关