高中数学第一章解三角形1.2应用举例(二)学案新人教B版必修5(2)

∴∠ CAD＝45°， ∴∠ BAD＝45°＋ 90°＝ 135°． 即小船应朝与水速成 135°的方向行驶． ]
类型三 命题角度 1 1 例 3 解 (1) 应用 S＝2casin B，
1 得 S＝ 2×23.5 ×14.8 ×sin 148.5 °
2
≈90.9(cm ) ．
b
c
(2) 根据正弦定理 sin B ＝ sin C ，
(3) 根据余弦定理的推论，得
c2＋ a2－ b2 cos B＝
2ca
38.72 ＋ 41.42 －27.32
＝ 2×38.7 ×41.4
≈0.769 7 ，
sin B＝ 1－ cos2B
≈ 1－0.769 72 ≈0.638 4. 1
应用 S＝2casin B，
9 / 11
1 得 S≈ 2×38.7 ×41.4 ×0.638 4
1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应 用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况： (1) 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之． (2) 已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再 逐步在其余的三角形中求出问题的解．
方向相反． 如图，在 △ OF1F 中，由余弦定理，得
| F| ＝ 302＋ 502－2×30×50cos 120 ° ＝ 70(N) ，
再由正弦定理，得
50sin 120 ° 5 3
sin ∠ F1OF＝
70
＝ 14 ，
所以 ∠ F1OF≈38.2 ° ， 从而 ∠ F1OF3≈141.8 °． 所以 F3 为 70 N ， F3 和 F1 间的夹角为 141.8 °．
方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西
60°，即以正南方向为始边，
顺时针方向向西旋转 60°．
知识点二 解三角形在物理中的应用 思考 我们知道，如图中的向量 →AB＋ A→D＝ A→C. 那么物理中的哪些量可以解释
为向量？
梳理 数学在物理学中的应用非常广泛，某种角度上说，物理题实际上是数学应用题，解物 理题就是先把实际问题抽象成数学问题，解决后再还原成实际问题的答案．
≈511.4 (cm 2) ．
跟踪训练 3 解 由正弦定理，
1
3
得 sin 30 ° ＝ sin C ，
例 4 解 由余弦定理及已知条件，得
3 ∴sin C＝ .
2 ∵0°＜C<180°，且 AB＞ AC， C＞ B，
∴ C＝60°或 120°． ①当 C＝60°时， A＝90°，
1
3
∴ S ＝ △ABC 2× 3×１＝ 2 ；
1．一艘海轮从 A 处出发，以 40 n mile/h 的速度沿南偏东 40°方向直线航行， 30 min 后到 达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯 塔，其方向是北偏东 65°，那么 B， C两点间的距离是 ( )
A． 10 2 n mile
B．与水速成 135°
A．与水速成 45°
D．不能确定
C．垂直于对岸
类型三 三角形面积公式的应用
例 3 在 △ ABC中，根据下列条件，求三角形的面积
命题角度 1 求面积 S( 精确到 0.1 cm 2) ：
(1) 已知 a＝14.8 cm ，c＝ 23.5 cm ， B＝148.5 °；
3 / 11
11 / 11
∠ FGO＝180°－ 75°－ 45°＝ 60°，
由正弦定理得
OF
OG
＝ sin ∠FGO，sin ∠GFO
OG
10
即 sin 75 ° ＝sin 60 ° ，
解得 OG＝ 5 2 1＋ 3 ， 3
OF
FG
由正弦定理得 sin ∠OGF＝ sin ∠FOG，
10
FG
10 6
即 sin 60 ° ＝sin 45 ° ，解得 FG＝ 3 .
＝ 5－ 4cos α， α ∈(0 ，π ) ， ∴ S＝ S△ ＋ AOB S△ABC
1 ＝ 2OA·OB·sin
α＋ 43AB2
π5 ＝ 2sin α－ 3 ＋ 4 3.
当
α－
π 3
＝
π 2
，α＝
5π 6
，
10 / 11
即
∠
AOB＝
5π 6
时，四边形的面积最大．
当堂训练
1． A 2.A 3. 解 F3 应和 F1，F2 的合力 F 平衡，所以 F3 和 F 在同一直线上，并且大小相等，
②当 C＝120°时， A＝30°，
1
3
S△ ＝ ABC 2× 3×1×sin 30 ° ＝ 4 .
命题角度 2
a2 ＋b2－ ab＝4，又因为 △ ABC的面积等于
1 3，所以
2
absin C＝ 3，得 ab＝ 4，
a2＋ b2－ ab＝ 4， 联立方程组
ab＝ 4，
a＝2， 解得
b＝2.
跟踪训练 4 解 设∠ AOB＝ α， 在△ ABO中，由余弦定理，得 AB2＝ 12＋ 22－ 2×1×2cos α
B． 10 3 n mile
C． 20 2 n mile
D． 20 3 n mile
1
2．已知三角形面积为 4，外接圆面积为 π，则这个三角形的三边之积为 (
)
1 A． 1 B ． 2 C. D ． 4
2
3．作用于同一点的三个力 F1， F2， F3 平衡，已知 | F1| ＝ 30 N ， | F2 | ＝ 50 N ，F1 和 F2 之间的夹 角是 60°，求 F3 的大小与方向． ( 精确到 0.1 °）
学习目标
1.2 应用举例（二）
1. 能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题
.2. 了解解三角形在物理
中的应用 .3. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．
知识点一 航海中的测量问题 思考 在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．阅读教材，看看船只是如何
表达位置和航向的？
梳理 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角．
驶，已知甲船的速度是每小时
3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相
遇？
例 2 如图所示，对某物体施加一个大小为
类型二 解三角形在物理中的应用 10 N 的力 F，这个力被分解到
2 / 11
OA， OB两个方向上，已知∠ AOB＝120°，力 F 与 OA的夹角为 45°，求分力的大小．
反思与感悟 题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公 式．
跟踪训练 4 如图所示，已知半圆 O的直径为 2，点 A 为直径延长线上的一点， OA＝ 2，点 B 为半圆上任意一点，以 AB为一边作等边三角形 ABC，求 B 在什么位置时，四边形 OACB的面
积最大．
5 / 11
根据余弦定理，
AC＝ AB2＋ BC2－2AB×BC×cos∠ABC
＝ 67.52 ＋ 54.02 －2×67.5 ×54.0 ×cos 137 °
≈113.15.
BC
AC
根据正弦定理， si n∠CAB＝ sin ∠ABC，
BCsin∠ABC 54.0sin 137 °
sin ∠ CAB＝
≈
≈0.325 5 ，
知识点三 三角形面积公式的拓展 思考 如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么如果知道三角形两边及夹角，
有没有办法求三角形面积？
1
1
梳理 在 △ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，则 △ ABC的面积 S＝ 2absin C＝2
1 bcsin A＝2acsin B.
(2) 已知 B＝62.7 °， C＝65.8 °， b＝3.16 cm ； (3) 已知三边的长分别为 a＝ 41.4 cm ， b＝27.3 cm ，
c＝38.7 cm.
1
1
1
反思与感悟 三角形面积公式 S＝ 2absin C， S＝ 2bcsin A， S＝2acsin B中含有三角形的边
角关系．因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系．首先根据已知，求出所需，然后 求出三角形的面积．
反思与感悟 解决物理等实际问题的步骤 (1) 把实际问题受力平衡用图示表示．
(2) 转化为数学问题，通过正余弦定理解三角形． (3) 把数学问题的解转化为实际问题的解．
跟踪训练 2 有一两岸平行的河流，水速为 1 m/s ，小船的速度为 2 m/s，为使所走路程最
短，小船应朝 ________方向行驶． ( )
类型二
例 2 解 如图，作 O→F＝ F，→OG＝ F1， O→C＝ F2，作 ?OGF，C 由题设知 | O→F| ＝ 10，∠ FOG＝ 45° ，
∠ AOB＝120°，
则∠ FOC＝∠ AOB－∠ FOG
＝120°－ 45°＝ 75°，
由 ?OGFC知，∠ GFO＝∠ FOC＝75°，
在△ FOG中，
3
10 6
所以 OA方向的力大小为 5 2 1＋ 3 N， OB方向的力大小为
N. 3
跟踪训练 2 B
[ 如图，设 A→B为水速， →AD为船在静水中的速度， A→C为A→B＋ A→D.
依题意，当 A→C⊥ C→D时，所走路程最短，
现需求∠ BAD，只要求∠ CAD即可，
8 / 11
在 Rt△ CAD中， | C→D| ＝ | A→B| ＝ 1， | A→D| ＝ 2， |C→D| 2 ∴sin ∠ CAD＝ |A→D| ＝ 2 ，且 ∠ CAD为锐角．
bsin C 得 c＝ sin B ，
1 S＝ 2bcsin
A＝
1b2sin Csin 2 sin B
A
，
A＝180°－ ( B＋ C) ＝180°－ (62.7 °＋ 65.8 °）
＝51.5 °，
1 S＝ 2×3.16
2× sin
65.8 sin
°sin 62.7
51.5 °
°
≈4.0 (cm 2) ．
B＝90°＋ 30°＝ 120°，
BC
AC
由 sin ∠CAB＝sin B ，得
BCsin B at ×sin 120 °
sin ∠ CAB＝ AC ＝
3at
3 21 ＝ 3＝2，
∵0°<∠ CAB<90°，∴∠ CAB＝30°，
∴∠ DAC＝60°－ 30°＝ 30°，
∴甲船应沿着北偏东 30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
AC
113.15
所以∠ CAB＝19.0 °， 75°－∠ CAB＝56.0 °．
所以此船应该沿北偏东 56.0 °的方向航行，需要航行 113.15 n mile.
跟踪训练 1 解 如图所示．设经过 t 小时两船在 C点相遇，
7 / 11
则在△ ABC中， BC＝ at ( 海里 ) ， AC＝ 3at ( 海里 ) ，
1 / 11
类型一 航海中的测量问题
例 1 如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75°的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B，然
后从 B 出发，沿北偏东 32°的方向航行 54.0 n mile 后到达海岛 C. 如果下次航行直接从 A
出发到达 C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？
跟踪训练 3 在 △ABC中， AB＝ 3， AC＝ 1，B＝ 30° ，求 △ ABC的面积．
4 / 11
命题角度 2 已知三角形面积 π
例 4 在 △ ABC中，内角 A， B， C 对边的边长分别是 a， b， c，已知 c＝ 2， C＝ . 若 △ ABC 3
的面积等于 3，求 a， b.
6 / 11
答案精析
问题导学
知识点一
思考 用方向角和方位角． 知识点二
思考 力、速度、加速度、磁场强度等．
知识点三
思考 在△ ABC中，如果已知边 AB、 BC和角 B，边 BC 上的高记为 ha，则 ha＝ ABsin B．从
而可求面积．
题型探究 类型一
例 1 解 在△ ABC中， ∠ ABC＝180°－ 75°＋ 32°＝ 137°，
( 角度精确到 0.1 °，距离精
确到 0.01 n mile)
பைடு நூலகம்
反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角 ( 方向角 ) ，二要弄清不动点 ( 三角形顶点 ) ，然后
根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题． 跟踪训练 1 甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60°的 B处，乙船以每小时 a 海里的速度向北行