沪科版八年级数学上册第14章单元测试卷

沪科版八年级数学上册第14章单元测试卷
一、选择题
1．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）
A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
二、填空题
4．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=．
5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是．
6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE=BF，则∠AOE=．
三、解答题
7．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．
8．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：
（1）△CDE≌△DBF；
（2）OA=OD．
9．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．
10．如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．
11．已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．
（1）如图1，连接BD，AF，则BD AF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．
12．如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．
13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD 和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．
（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．
14．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
15．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．
16．如图，在▱ABCD中，点E，F在AC上，且∠ABE=∠CDF，求证：BE=DF．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．
【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．
2．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS 即可证出△ABE≌△DBC；
由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根据三角形外角的性质得出∠DMA=60°；
由ASA证明△ABP≌△DBQ，得出对应边相等BP=BQ，即可得出△BPQ为等边三角形；
证明P、B、Q、M四点共圆，由圆周角定理得出∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC．
【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，
∴②正确；
在△ABP和△DBQ中，，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ为等边三角形，
∴③正确；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四点共圆，
∵BP=BQ，
∴，
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④正确；
综上所述：正确的结论有4个；
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
3．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）
A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．
【解答】解：当∠D=∠B时，
在△ADF和△CBE中
∵，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
二、填空题
4．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．
【解答】解：△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD=AE=2，AC=AB=5，
∴CE=BD=AB﹣AD=3，
故答案为3．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．
5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的
长是．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】压轴题．
【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出
∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．
【解答】解：解法一：
∵A，B，C，D四点共圆，∠BAD=60°，
∴∠BCD=180°﹣60°=120°，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB=30°，
如图1，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，
则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，
∴∠ABC+∠EBC=（180°﹣CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）=180°，
∴A，B，E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC=CE，
∴AM=EM=×（5+3）=4，
在Rt△AMC中，AC===；
解法二：过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，如图2，
则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴=，
∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠D=∠CBE，
在△CBE和△CDF中
∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中
∴△AEC≌△AFC，
∴AE=AF，
设BE=DF=x，
∵AB=3，AD=5，
∴AE=AF=x+3，
∴5=x+3+x，
解得：x=1，
即AE=4，
∴AC==，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE=BF，则∠AOE=15°．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．
【分析】根据正方形、等边三角形的性质，可得AO=BO，OE=OF，根据SSS可得△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°．
∵△OEF是正三角形，
∴OE=OF，∠EOF=60°．
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SSS），
∴∠AOE=∠BOF，
∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2
=（90°﹣60°）÷2
=15°.
故答案为15°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形、等边三角形的性质，利用SSS证明三角形全等得出∠AOE=∠BOF是解题的关键．
三、解答题
7．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可得答案．
【解答】解：线段AF，BF，EF三者之间的数量关系AF=BF+EF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．
∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，
∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE （AAS），
∴BF=AE．
∵AF=AE+EF，
AF=BF+EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，等量代换．
8．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：
（1）△CDE≌△DBF；
（2）OA=OD．
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案；（2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案．
【解答】证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．
∵DF∥CE，
∴∠C=∠BDF．
在△CDE和△DBF中，
∴△CDE≌△DBF （SAS）；
（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DF=AE，DF∥AE，
∴四边形DEAF是平行四边形，
∵EF与AD交于O点，
∴AO=OD
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．
9．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；新定义．
【分析】欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．
【解答】证明：∵在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
10．如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求证：∠ADB=∠FCE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据等式的性质得出BD=CE，再利用SAS得出：△ABD与△FEC全等，进而得出∠ADB=∠FCE．【解答】证明：∵BC=DE，
∴BC+CD=DE+CD，
即BD=CE，
在△ABD与△FEC中，
，
∴△ABD≌△FEC（SAS），
∴∠ADB=∠FCE．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出BD=CE，再利用全等三角形的判定和性质解答．
11．已知△ABC，AB=AC，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．
（1）如图1，连接BD，AF，则BD=AF（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）如图2，M为AB边上一点，过M作BC的平行线MN分别交边AC，DE，DF于点G，H，N，连接BH，GF，求证：BH=GF．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平移的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC与∠ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与DF 的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM与HN的关系，BM与FN的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】（1）解：由AB=AC，
得∠ABC=ACB．
由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，
得DF=AC，∠DFE=∠ACB．
在△ABF和△DFB中，
，
△ABF≌△DFB（SAS），
BD=AF，
故答案为：BD=AF.
（2）证明：如图：
，
MN∥BF，
△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，
=，=，
∴MG=HN，MB=NF．
在△BMH和△FNG中，
，
△BMH≌△FNG（SAS），
∴BH=FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
12．如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】如图，首先证明∠ACB=∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS公理证明△ABC≌△DEC，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE；在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AB=DE．
【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．
13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD 和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．
（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．
【专题】证明题．
（1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC，因为G为BD的中点，可得BG=BC，由∠CGB=45°，【分析】
∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四边形ACGD为平行四边形；（2）利用全等三角形的判定证得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性质得BE=CD；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AB=BC，
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，
∴BD==BC=2BC，
∵G为BD的中点，
∴BG=BD=BC，
∴△CBG为等腰直角三角形，
∴∠CGB=45°，
∵∠ADB=45°，
AD∥CG，
∵∠ABD=45°，∠ABC=45°
∴∠CBD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠ACB=180°，
∴AC∥BD，
∴四边形ACGD为平行四边形；
（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，
∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，
∴∠EAB=∠CAD，
在△DAC与△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD；
∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴CE=AB=AD，
在△BCE与△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD，
∴∠CBE=∠ACD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CBE+∠BCD=90°，
∴∠CFB=90°，
即BE⊥CD．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．
14．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；
（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB=CD；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∵AB=CF，∠B=30°，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D=．
【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．
15．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】AC与BD垂直，理由为：利用SSS得到三角形ABD与三角形CBD全等，利用全等三角形对应角相等得到BD为角平分线，利用三线合一性质即可得证．
【解答】解：AC⊥BD，理由为：
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABO=∠CBO，
∵AB=CB，
∴BD⊥AC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．16．如图，在▱ABCD中，点E，F在AC上，且∠ABE=∠CDF，求证：BE=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据平行四边形的性质，证明AB=CD，AB∥CD，进而证明∠BAC=∠DCF，根据ASA即可证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形的对应边相等即可证明．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF．
【点评】本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．。