两个重要极限

x 0 x 0
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
求 lim
求 lim
x 0
1 cos x . x2
（
即
1 cos x ~
1 2 x , 当x 0 ）. 2
sin(sin x ) . x sin(sin x ) sin(sin x) sin x sin(sin x) sin x 解 lim lim lim lim 1 1 1 . x 0 x0 x0 x0 x sin x x sin x x
g ( x) f ( x) h ( x) ，且 lim g ( x ) lim h (x ) A ，则必有 lim f ( x ) A .
x x 0 x x0 x x0
例 6.1 证
证明 lim sin x 0. x 0
当 x 在 0 附近，即当 | x | 时，有关系 0 | sin x | | x | ，而 lim 0 0 ; lim | x | 0 ,由 x 0 x 0 2
cos x cos 3x . x sin x 解法一 当 x 0 时, 1 1 1 cos x ~ x 2 , 1 cos 3x ~ (3x ) 2 . 2 2 又 sin x ~ x ∴ 原式 (1 cos 3x ) (1 cos x ) lim x 0 x sin x 1 cos 3x 1 cos x lim lim x 0 x x 0 sin x x sin x 1 2 1 (3x )2 x 9 1 lim 2 lim 2 4 x 0 x0 x x x x 2 2 解法二 利用三角函数的和差化积公式 (cos cos 2 sin sin ) 原式 2 2 2 sin 2x sin x sin 2 x lim 4 lim 4 1 4 . x 0 x 0 x sin x 2x
n
n
n
的，应该舍去一个值. 因为 xn 0 , 故知 B 0 ，于是 B 2 . 即 lim xn 2.
n
1 例 6.7 给定 0, 0, 令 ), 证明 lim 1 n 1 ( n n 存在，并求其值。 n 2 n
n n
（练习题：若 x 0, 求 lim n 1 xn (
n
x2 n ) .提示： 2
将 0, 分成四个区间来讨论） 定理 6.2（单调有界定理） （1）单调有界数列必有极限； （2）若 f ( x) 在 x0 的某一侧邻域内单调有界，则当 x x0 时， f ( x) 在此侧的单侧极限必 存在。
n
lim a n sin
n
t lim n n a
t sin
t t sin n n a t lim a t. n t t an an
35
综合以上讨论，有如下结论： 0, | a | 1 t lim a sin n sin t , | a | 1 n a t, | a | 1
§2.6 两个重要极限 本节主要介绍如下两个重要极限 ：
sin x 1 x lim 1 ; lim (1 ) e x 0 x x x
( lim(1 x ) e ).
x 0
1 x
并介绍极限存在的两个准则。 一. 极限存在的准则 定 理 6.1 （ 两 边 夹 定 理 ） 若 存 在 正 数 ， 使 得 当 0 | x x0 | 时 ， 有 关 系
求 lim
x 0
例 6.15
1 求 lim x sin . x 0 x
1 sin 1 1 x 解 错误的做法 是： lim x sin lim 1 （ 不趋近于 0） x 0 x x 0 1 x x 1 1 正确的做法是：lim x 0, | sin | 1 ，即 sin 是有界变量（当 x 0 时） 。 x 0 x x 下面介绍第二个重要极限。
证
1 n 1 (1 2 ) 1 但调下降 2 n n
1 1 ) 2 . 有下界。故有极限。两边取极限，可得 lim . n 1 ( n n n 2 2 n
二.
两个重要极限 sin x 重要极限一: lim 1 （ x 的单位为弧度）. x 0 x 证 因为 sin( x) sin x ，所以只考虑 0 x ( x) x 2
即可。为此,作一个半径为 1 的单位圆，比较三角形 OPR ，扇形 OQR 和三角形 OQS 三 者的面积，显然有 1 1 1 cos x sin x x 1 1 tan x 2 2 2 1 1 1 sin x 即 cos x sin x x ， 2 2 2 cos x 2 遍乘以正数 ，得 图 2.14 sin x x 1 cos x ，因为两边极限 sin x cos x 1 lim cos x lim 1 .故由两边夹定理知 x 0 x 0 cos x x lim 1 ，其倒数极限亦等于 1， 即 x 0 sin x sin x lim 1 (注意，此结论是在弧度制下)。 x 0 x
n
n n 1 n 1 n n
1 n n
1 n n
1 n n
1 n
1 n n
lim 3 3 3 lim 3 3 1 3 .故知 lim (1 2 3 ) 3.
n n n n 1
容易证明：
1
lim (1 2n 3n ... K n ) n k ; 若a 0, b 0, c 0 lim (a n bn cn ) n max{a, b, c}
34
tan x . x 0 x tan x sin x 1 sin x 1 解 lim lim lim lim 1 1 1 例 6.9 x 0 x 0 x 0 x 0 x x cos x x cos x x 解 利用倍角公式 cos x 1 2 sin 2 , 可知 2 x x x 2 sin 2 sin sin 1 cos x 1 1 2 lim ( 2 )2 2 ) 2 1 lim lim (lim 2 2 x 0 x0 x0 2 x x x 2 x 0 x 2 2 2
例 6.10
求 lim x 0
例 6.11 求 lim
1 cos x 1 2 .（可用 1 cos x ~ x ） x0 x sin x 2
x 2 解 原式 lim x 0 x x x 2 2sin cos 2 2 2 x x sin sin 1 1 1 2 2 lim lim lim 1 1 . x0 x x0 x x0 x 2 2 2 sin cos 2 2 2 t n 例 6.12 求 lim a sin n （ a 0, t 为常数）. n a t 0 t n n 解 若 t 0 ，则 sin n 0,a sin n 0 ，故 lim a sin n 0. n a a a 若t 0 ，分三种情况讨论： t n n 当 | a | 1 时 ， 有 lim a 0 ， 即 a 是 无 穷 小 量 ， 而 | sin n | 1 为有界 变量， 故 n a t n lim a sin n 0. n a 2 sin 2 当 | a | 1 时，原式 lim sin t sin t . n 当 | a | 1 时， lim | a n | ，因此，启发我们将原式作如下变形
1 1 2 3 数列 y n 1 ：即 0, , , , . 显然是单调增加的，并有上界 1 ( y n 1) ，故 n 2 3 4 1 1 由定理 6.2 可知 lim (1 ) 存在。事实上 lim (1 ) 1. n n n n 例 6.6
例 6.5
设 x1 2 ,

x2 2 x1 2 2 2 ， x3 2 x2 2 2 2
33

用数学归纳法可证 xn 2 xn 2 1 (n 1,2,) ，故数列 {xn }有上界。
n
2.由定理 6.2 知，数列 {xn } 有极限.设极限为 B ，即 lim x n B .为了求此极限，将
x2 2 2 , x3 2 2 2 ,,
xn 2 xn 2 , . 1 2 2 2
n层
试证明 lim xn 存在，并求极限值。
n
证 x1 2 , x2 2 2 2 0 2 x1 ， ∴ x2 x1 , x3 2 x2 2 2 x2 ，∴ x3 x 2 同理可证 xn xn （ n = 1, 2, …）, 即 1 数列 {xn } 是单调上升的。下面证明 {xn } 有上界。 因为 x1 2 2 ，
2 2 xn 2 xn 2 xn lim x n lim xn B2 ， 1 两端平方，得 x n 1 .令 n ，则 lim x n
n n n 2 lim xn B .于是 lim xn lim(2 x n 2 B， 解出 B 2, 1 .由于极限是唯一 1 1 ) 化为 B 2
x2 而 lim 0 0 ; lim 0 ，利用两边夹定理可知 x 0 x 0 2 例 6.3 求 lim[ 1 1 1 ]. 2 2 n n (n 1) (2n )2
lim(1 cos x) 0 , 即 lim cos x 1.
x 0 x 0
解
lim
32
lim[
n
1 1 1 ] 0 2 2 n (n 1) ( 2n)2
1 n n 求 lim (1 2 3 )n . n
例 6.4 解
1 n
∵
(3 ) (1 2 3 ) (3 3) 3 3 ， 而 lim (3 ) lim 3 3 ; 且
∵
n 1 1 1 1 n 1 n 1 n 1 2 2 . 而 lim lim 2 0 ； 2 2 2 2 n n ( 2n) n (n 1) (2 n) n (2n) 4n
n
n 1 1 lim 0 .由两边夹定理可知 2 n n n