等式与不等式的性质(原卷版)

等式与不等式的性质【考纲要求】
1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.
2、会利用不等式性质比较大小
【思维导图】
【考点总结】
【考点总结】
一、等式的基本性质
性质1如果a＝b，那么b＝a；
性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b
c .
二、不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 三、比较两个实数a 、b 大小的依据
文字语言
符号表示 如果a ＞b ，那么a －b 是正数； 如果a ＜b ，那么a －b 是负数； 如果a ＝b ，那么a －b 等于0， 反之亦然
a >
b ⇔a －b >0 a <b ⇔a －b <0 a ＝b ⇔a －b ＝0
[1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．
2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 四、不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .
推论(同向可加性)：
⎭
⎬⎫
a >
b
c >
d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性： ⎭⎬⎫a >b c >0⇒ac >bc ；
⎭
⎬⎫
a >
b
c <0⇒ac <bc ； 推论(同向同正可乘性)：
⎭
⎬⎫
a >
b >0
c >
d >0⇒ac >bd ； (5)正数乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n ≥1)； (6)正数开方性：a >b >0⇒n a >n
b (n ∈N *，n ≥2)． [化解疑难]
1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
【题型汇编】
题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小 题型二：作差法比较数（式）大小 题型三：利用不等式的性质证明不等式 【题型讲解】
题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小 一、单选题
1．（2022·浙江·三模）已知,,,a b c d ∈R ，且,,()()()a b c c d a d b d c d c d <<≠---+=，则（ ） A ．d a <
B ．a d b <<
C ．b d c <<
D ．d c >
2．（2022·北京·北大附中三模）已知0a b >>，下列不等式中正确的是（ ） A ．
c c
a b
> B ．2ab b <
C ．1
2a b a b
-+
≥- D ．
1111
a b <-- 3．（2022·江西萍乡·三模（理））设2ln1.01a =， 1.021b =，1
101
c =，则（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c <<
D ．c b a <<
4．（2022·北京·二模）“0m n >>”是“()22()log log 0-->m n m n ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知0,0a b >>，且2
e 1
b a a b -+=
+则下列不等式中恒成立的个数是（ ） ①1122b a --< ②11b a a b -<- ③e e b a b a -<- ④52727
ln 5a a b b ++-+<
+A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．（2022·山东日照·二模）若a ，b ，c 为实数，且a b <，0c >，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+
B ．
11
a b
< C ．ac bc > D ．b a c ->
7．（2022·陕西渭南·二模（文））设x 、y 都是实数，则“2x >且3y >”是“5x y +>且6xy >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b >
B ．
1
1
b b a a +<+ C ．22a
c bc > D ．332a b -+>
9．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））设0a ≠，若x a =为函数()()()2
f x a x a x b =--的极小值点，则（ ） A ．a b < B ．a b > C ．2ab a <
D ．2ab a >
10．（2022·江西·二模（文））已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论不正确的是（ ） A ab 1
2
B ．14
a b
+的最小值是9
C ．若a b >，则
22
11a b < D ．22log log a b +的最大值为0 二、多选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知11
0a b
<<，则下列不等关系中正确的是（ ） A ．ab a b >-
B ．ab a b <--
C ．2b a
a b
+>
D ．
b a a b
> 2．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b >
D ．
1a
b b
>+ 3．（2022·重庆·二模）已知2510a b ==，则（ ） A ．
11
1a b
+> B ．2a b > C ．4ab > D ．4a b +>
题型二：作差法比较数（式）大小 一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（理））已知1
0a b a
>>
>，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b
b a -⎛⎫> ⎪
⎝⎭
B ．log log a a b
b
a b <
C ．log log a b b
a
a b <
D ．11b a a b
-
<- 2．（2022·重庆·二模）若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．
11
a b
< B ．2a b ab +>
C ．22lg lg a b >
D ．33a b >
3．（2022·江西上饶·二模（理））设e 4ln 2313e 4ln 2
14e e
a b c ===，，
其中e 是自然对数的底数，则（ ） 注：e 2.718ln 20.693==，
A ．b a c <<
B ．b c a <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
4．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b >
B ．
1
1
b b a a +<+ C ．22a
c bc > D ．332a b -+>
5．（2022·广东广州·一模）若正实数a ，b 满足a b >，且ln ln 0a b ⋅>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．log 0a b <
B ．11
a b b a
-
>- C ．122ab a b ++< D ．11b a a b --<
6．（2022·山西太原·二模（文））已知32a =，53b =，则下列结论正确的有（ ） ①a b < ②1
1a b a
b
+<+ ③2a b ab +< ④b a a a b b +<+ A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．（2022·河北衡水中学一模）已知11
0a b
<<，则下列结论一定正确的是（ ） A ．22a b >
B ．2b a
a b
+<
C ．a b
a a <
D ．2lg lg a ab <
8．（2022·重庆·三模）已知0.3πa =，20.9
π
b =，sin 0.1
c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．a c b >>
D ．b a c >>
9．（2022·湖南·雅礼中学二模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是 A ．ax by cz ++ B ．az by cx ++
C ．ay bz cx ++
D ．ay bx cz ++
二、多选题
1．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度
()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员
工，则下列结论正确的是（ ）
A ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
B ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低
C ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱
D ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知0a b >>，11
5a b a b
+++=，则下列不等式成立的是（ ） A ．14a b <+<
B ．114b a a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
C ．2
2
11b a a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．22
11a b a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知1m n >>，若1e 2e e m n m m m n +-=-（e 为自然对数的底数），则（ ） A ．1
e e 1
m n m n +>
+ B ．1
1122m n
-⎛⎫⎛⎫> ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
C ．4222m n --+>
D ．()3log 1m n +>
4．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）． A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 为非奇非偶函数
C ．过点10,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+
D ．若210x x >>，则
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫
> ⎪⎝⎭
5．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a 和b ，满足1ab >，下列不等式正确的是（ ） A ．1ab a b +>+ B ．()2log 1a b +> C ．1
1a b a
b
+<+
D ．11a b a b
+>
+ 15．（2022·山东聊城·三模）已知实数m ，n 满足01n m <<<，则下列结论正确的是（ ） A ．
1
1
n n m m +<+ B ．11m n m n
+
>+ C ．n m m n >
D ．log log m n n m <
题型三：利用不等式的性质证明不等式 一、单选题
1．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）设,a b ∈R ，则“||1+≤a b ”是“||1a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．（2021·浙江·模拟预测）已知a ，b R ∈，则“a b b ->”是“1
2
b a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．（2021·上海长宁·二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．
命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；
命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题
D ．p 是假命题，q 是真命题
5．（2021·浙江·模拟预测）已知x ，y ∈R ，则“2
214
x
y +≤”是“12x y +≤”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．（2021·全国·模拟预测）已知a ∈R ，()21ln 0ax x a x --+≤在1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立，则实数a 的取值范围为
（ ） A ．1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．11,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,3⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
7．（2021·浙江·模拟预测）已知0a b >>，给出下列命题： 1a b =，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知,a b ∈R 且满足13
11a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是
（ ） A ．[0,12]
B ．[4,10]
C ．[2,10]
D ．[2,8]
9．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知,,a b c ∈R 且0,++=>>a b c a b c ，则22
a c ac +的取值范围是（ ）
A ．[)2,+∞
B ．(],2-∞-
C ．5,22⎛⎤
-- ⎥⎝⎦
D ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
10．（2022·浙江·模拟预测）若实数x ，y 满足1
522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩
，则2x y +的取值范围（ ）
A ．[1,)+∞
B ．[3,)+∞
C ．[4,)+∞
D ．[9,)+∞
二、多选题
1．（2021·江苏·扬州中学模拟预测）已知两个不为零的实数x ，y 满足x y <，则下列说法中正确的有（ ） A ．31x y ->
B ．2xy y <
C ．x x y y <
D ．
11
x y
> 2．（2021·福建·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A ．设,x y R ∈，则“222x y +≥”是“1≥x 且1y ≥”的必要不充分条件
B ．2
π
α=
是“cos 0α=”的充要条件
C ．“3x ≠”是“
3x ≠”成立的充要条件
D ．设R θ∈，则 “1212
π
π
θ-
<
”是“1
sin 2
θ<
”的充分而不必要条件 3．（2021·广东·石门中学模拟预测）设,a b 为正实数，下列命题正确的有（ ） A ．若221a b -=，则1a b -<；
B ．若11
1b a -=，则1a b -<；
C 1a b =，则1a b -<；
D ．若33
1a b -=，则1a b -<.
4．（2021·江苏南京·二模）已知0a >，0b >，且221a b +=，则（ ） A ．2a b +≤B ．
1
222
a b -<< C ．221log log 2
a b -
D ．221a b ->-。