2021年高二上学期期末考试 理科数学试题

2021年高二上学期期末考试理科数学试题

一、选择题（每小题3分，共30分）

2．若直线与互相平行，则的值是（）

A.-3

B.2

C.-3或2

D. 3或-2

3．当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（）

A．或B．或

C．或D．或

4．设双曲线x2–y2=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域（包含边界）为E,P(x,y)为该区域内的一个动点，则目标函数的取值范围为( )

A．[] B．[] C．[] D．[]

5.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）

A.2

B.3

C.

D.

6．设F1，F2是双曲线x2－4y2＝4a(a＞0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，，则a的值为( )

A．2 B.

5

2

C．1 D. 5

7．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）

A．B．C．D．

8．已知抛物线()与椭圆=1有一个相同的焦点，则动点的轨迹是（）

A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分

C．抛物线的一部分D．直线的一部分

9．若直线与⊙O : x 2+y 2= 4没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（ ）

A ．至多为1

B ．2

C ．1

D ．0

10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，若在双曲线的右支上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二．填空题：（每小题4分，共24分）

11．已知AB 是过椭圆x 225＋y 216

＝1左焦点F 1的弦，且，其中 是椭圆的右焦点，则弦AB 的长是________．

12．直线被圆所截得的弦长为 .

13．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 . 14．已知是抛物线的焦点，过且斜率为的直线交于两点．设，则的值等于 ．

15．已知是椭圆的两焦点，为椭圆上一点，若，则离心率 的最小值是________

16．以下关于圆锥曲线的命题中：

①设、为两个定点，为非零常数， ，则动点的轨迹为双曲线;

②设过定圆上一定点，作圆的动点弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆；

③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线与椭圆有相同的焦点。其中真命题的序号是_________．（写出所有真命题的序号）

三．解答题：（共46分）

17．已知拋物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与

双曲线的两焦点的连线垂直，拋物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，6，求拋物线方程和双曲线方程．

18．已知圆以为圆心且经过原点O．

(1)若，写出圆的方程；

(2)在(1)的条件下，已知点的坐标为，设分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标．

19．已知点是⊙：上的任意一点，过作垂直轴于,动点满足。

（1）求动点的轨迹方程；

（2）已知点，在动点的轨迹上是否存在两个不重合的两点、，使(O是坐标原点)，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。

20．已知椭圆G ：x 24

＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；

(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．

参考答案

1．A

2．A 3．C 4．D 5．A 6．C

7．C 8．C 9．B 10．D

11．8

12．

13．或

14．3

15．

16．③④

17．解：设拋物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， ∵点⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，6在拋物线上，∴6＝2p ·32，∴p ＝2， ∴所求拋物线方程为y 2＝4x .

∵双曲线左焦点在拋物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点⎝ ⎛⎭

⎪⎫32，6在双曲线上，

∴⎩⎪⎨

⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫322a 2－ 6 2b 2＝1a 2＋b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝14b 2＝34，

∴所求双曲线方程为x 214－y 2

3

4＝1，即 18．解：由题知，圆方程为，

所以圆方程为

则直线与直线的交点的坐标为．

19．解：（1）设，依题意，则点的坐标为

又

∴

∵ 在⊙上，故

∴

∴ 点的轨迹方程为

（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点满足 ，则是线段MN 的中点，且有

又 在椭圆上 ∴ 两式相减，得 ∴

∴ 直线MN 的方程为

∴ 椭圆上存在点、满足，此时直线的方程为

20．解： (1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝

a 2－

b 2＝ 3. 所以椭圆G 的焦点坐标为(－

3，0)，(3，0)． 离心率为e ＝c a ＝3

2.

(2)由题意知，|m |≥1.

当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫1，－32. 此时|AB |＝ 3.

当m ＝－1时，同理可得|AB |＝

3. 当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．

由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －m ，x 2

4＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.

设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则

x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2

. 又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得

|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以|AB |＝

x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2

]